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21.2　解一元二次方程
21．2.1　配方法
第1课时　用直接开平方法解一元二次方程
●归纳导入　如图，将边长为x的正方形沿两边剪去两个宽度相同的矩形(阴影部分)，剩下的部分是一个边长为3的正方形，剪去部分的面积为7，求x的值．
【分析】设这个正方形的边长是x m．由题意列方程，得x2－7＝9.
【思考】你会利用平方根的知识解这个方程吗？
【解】设这个正方形的边长为x m.
由题意，得x2＝16.
根据平方根的意义，得x＝±＝±4，
∴原方程的解是x1＝4，x2＝－4.
∵边长不能为负数，∴x＝4.
即这个正方形的边长是4 m.
【教学与建议】教学：用学生身边的实际问题引入新课，激发学生的积极性，同时体现数学来源于生活并用之于生活．建议：讲解解方程的时候，引导学生用平方根的知识求解．
●复习导入　(1)如果x2＝a，那么x叫做a的__平方根__；求一个数a的__平方根__的运算叫做开平方．非负数a的平方根为__±__，非负数a的算术平方根为____．
(2)0.36的平方根是__±0.6__；18的平方根是__±3__；若x2＝5，则x＝__±__．
【教学与建议】教学：通过对平方根、开平方的复习，为进一步学习直接开平方法，起到承上启下的作用．建议：在复习中，让学生明确平方根、算术平方根的区别和联系，掌握求平方根的方法．
命题角度　用直接开平方法解一元二次方程
形如x2＝p(p≥0)的形式，可得x＝±；如果方程化成(nx＋m)2＝p(p≥0)的形式，那么可得nx＋m＝±.
【例1】解下列方程：
(1)(x－2)2－13＝108；
解：(x－2)2＝121，
x－2＝±11.
解得x1＝13，x2＝－9；
(2)x2＋10x＋25＝2.
解：(x＋5)2＝2，
x＋5＝±.
解得x1＝－5，x2＝－－5.
【例2】用配方法解x2－4x＝5的过程中，配方正确的是(D)
A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1
C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
【例3】4x2－20x＋m2是一个完全平方式，则m＝__±5__．
高效课堂　教学设计
1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程．
2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法．
3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
▲重点
运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．
▲难点
通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．
◆活动1　新课导入
求下列各数的平方根：
(1)144；　　　　　　　　　　(2).
解：原式＝±12; 解：原式＝±.
◆活动2　探究新知
1．教材P5　问题1.
提出问题：
(1)一个正方体有几个面？若一个正方体的棱长为x dm，则这个正方体的表面积是多少？
(2)本题中的等量关系是什么？请概括该等量关系，列出方程；
(3)你能根据平方根的意义解方程x2＝25吗？本题中负值为什么要舍去？
学生完成并交流展示．
2.教材P6　第1个探究．
提出问题：
(1)(__±__)2＝5，据此思考如何解方程(x＋3)2＝5呢？
(2)可考虑令y＝x＋3，则方程变为y2＝5，先解出y的值，再求x的值；
(3)由方程(x＋3)2＝5可得到哪两个一元一次方程？
(4)上述所解方程有什么共同点？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．一般地，对于方程x2＝p，(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个__不相等__的实数根__x1＝－，x2＝__；(2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个__相等__的实数根__x1＝x2＝0__；(3)当p＜0时，根据平方根的意义，方程__无__实数根．
提出问题：
(1)一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是如何转化为一次的？
(2)请谈谈如何降次．
2．直接开平方，把一元二次方程“降次”化为__两个一元一次__方程．
◆活动4　例题与练习
例1　解方程：
(1)x2－36＝0；
(2)2y2＝100；
(3)16p2－5＝0.
解：(1)x1＝6，x2＝－6；
(2)y1＝5，y2＝－5；
(3)p1＝，p2＝－.
例2　解方程：
(1)2(2x－1)2－10＝0；
(2)y2－4y＋4＝8；
(3)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.
解：(1)由2(2x－1)2－10＝0得(2x－1)2＝5，
直接开平方得2x－1＝±，
∴原方程的根为x1＝，x2＝；
(2)原方程可化为(y－2)2＝8，直接开平方得y－2＝±2，
∴原方程的根为y1＝2＋2，y2＝2－2；
(3)原方程可化为4(3x－1)2＝9(3x＋1)2，
两边开平方得2(3x－1)＝±3(3x＋1)，
∴2(3x－1)＝3(3x＋1)或2(3x－1)＝－3(3x＋1)，
∴x1＝－，x2＝－.
例3　已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的值和另一个根．
解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，
∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2，
∴原方程为(x－3)2＝9，
∴另一个根为x＝0.
练习
1．教材P6　练习．
2．若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为(　C　)
A．2　　　　B．－2　　　　C．±2　　　　D．不能确定
3．若实数a，b满足(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2的值为(　A　)
A．8　　　　B．8或－2　 　C．－2　　　　D．28
4．若代数式2x2＋3与2x2－4的值互为相反数，则x＝__±__．
◆活动5　课堂小结
1．本堂课解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，由平方根的定义将其降次为mx＋n＝±，再解两个一次方程即可求得解．
2．用直接开平方法解一元二次方程的基本思想是降次．
1．作业布置
(1)教材P16　习题21.2第1题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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