资源简介

*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
●情景导入　十一黄金周刚刚过去，相信同学们一定去过许多美丽、难忘的旅游景点，下面，老师带着大家到法国观光旅游好不好？(出示多媒体)让学生在聆听理查德·克莱德曼的《致爱丽丝》中欣赏：法国文化——埃菲尔铁塔，时装秀，红酒文化，巴黎圣母院．文化是相通的，科学更是这样．在16世纪的法国，诞生了一位伟大的数学家，让我们一起走进历史，了解伟人——代数学之父韦达.
【教学与建议】教学：借助情景，阅读了解历史中的代数学之父——韦达．建议：从轻松、愉快、高雅的氛围之中导入新课，自然过渡．
●归纳导入　解方程并填写下表．
(1)x2＋6x－16＝0；(2)2x2－3x＋1＝0；(3)5x2＋4x－1＝0.
方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
x2＋6x－16＝0 __2__ __－8__ __－6__ __－16__
2x2－3x＋1＝0 __1__ ____ ____ ____
5x2＋4x－1＝0 __－1__ ____ __－__ __－__
　　【归纳】方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根x1，x2与a，b，c之间的关系是x1＋x2＝－，x1x2＝.
【教学与建议】教学：求一元二次方程的根，明确一元二次方程根与系数之间的联系．建议：分小组计算．
命题角度1　根据根与系数关系求方程的解
利用一元二次方程根与系数的关系求得x1＋x2和x1x2的值，然后再将已知的根代入x1＋x2或x1x2中，求得另一根．
【例1】已知x＝2是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－2＝0的一个根，则m的值是__－8__，方程的另一个根是__－5__．
命题角度2　已知一元二次方程求含根的代数式的值
先将要求的代数式变形为含有两根之和或两根之积的式子，再利用根与系数的关系代入求值计算即可．
【例2】(1)若x1，x2是一元二次方程5x2＝4－2x的两根，则x1－x1x2＋x2的值是(D)
A．－ B． C．－ D．
(2)若方程x2＋3x－4＝0的两个根分别为x1，x2，则＋的值为____．
命题角度3　由两根关系式求参数的值
借助根与系数的关系求得参数的值．
【例3】(1)设x1，x2是关于x的方程x2－3x＋k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝__2__．
(2)若关于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且＋＝1，则m＝__3__．
(3)已知m，n是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则m2－n＋2 023的值是__2__027__．
命题角度4　根与系数的关系和根的判别式的综合应用
灵活运用根的判别式与一元二次方程根与系数的关系是解决方程中字母的取值等问题的关键．此知识作为考点出现在各地．
【例4】已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数m的取值范围；
(2)是否存在m使得x－x＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意，得Δ＝(2m－1)2－4×1×m2≥0，解得m≤；
(2)存在．∵x－x＝0，∴(x1＋x2)(x1－x2)＝0，∴x1＝x2或x1＝－x2.
①当x1＝x2时，Δ＝(2m－1)2－4×1×m2＝0，解得m＝；
②当x1＝－x2时，x1＋x2＝－(2m－1)＝0，解得m＝.
与(1)问所求m的取值范围矛盾，舍去．综上所述，m＝.
韦达定理
韦达定理是指一元n次方程中根和系数之间的关系，中学课本里一般特指一元二次方程的根与系数的关系．法国数学家韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的这种关系，因此人们把这个关系称为韦达定理．
早在公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解简单的一元二次方程了，古埃及的纸草文书中也有所提及，公元前480年，中国数学家使用配方法求得了二次方程的正根，还在方程的研究中应用了内插法，可惜的是，并没有提出通用的求解方法．
公元628年，印度数学家婆罗摩笈多出版了《婆罗摩修正体系》，给出了一元二次方程x2＋px＋q＝0的一个求根公式．公元820年，阿拉伯数学家花拉子米出版了《代数学》，书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，他把方程的未知数叫做“根”，承认方程有两个根，并有无理根存在．同样可惜，他未认识到虚根这个概念．
16世纪，意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根，与此同时，法国数学家韦达在研究二次方程时注意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，则这两个数就是这个方程的根．虽然，由于时代的局限性，韦达当时没能从理论上证明，但他的数学思想和数学著作都大大充实了数学宝库．
历史是有趣的，虽然韦达在16世纪就得出了这个定理，但是要证明这个定理却需要依靠代数基本定理，而代数基本定理却在1799年才被高斯第一次实质性地论证.1615年，韦达发表了关于方程论的著作《论方程的整理与修正》，书中对一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改进，并揭示了方程根与系数的关系．
韦达，1540年生于法国普瓦图，在欧洲被尊称为“代数学之父”，他致力于数学研究，第一次有意识地、系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，除推出一元方程在复数范围内恒有解外，他还给出了根与系数的关系．他最早系统地引入了代数符号，推动了方程论的发展．他用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，给出了三次方程不可约情形的三角解法．
其实，韦达从事数学研究只是由于爱好，然而这个爱好却助他取得了代数和三角学方面的巨大成就．韦达定理在建立方程、研究方程根的性质、解方程组，以及几何中涉及到两个量的和与积的问题等领域都被广泛应用．
高效课堂　教学设计
1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数．
2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接(或变形后)含有两根与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想．
▲重点
一元二次方程的根与系数的关系．
▲难点
让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系．
◆活动1　新课导入
(1)一元二次方程的一般形式：__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__；
(2)一元二次方程的求根公式：__x＝(b2－4ac≥0)__；
(3)一元二次方程的系数与根有着密切的关系，今天让我们进一步研究一元二次方程的根与系数a，b，c之间的关系．
◆活动2　探究新知
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
x2＋6x－16＝0 －8 2 －6 －16
x2－2x－5＝0 ＋1 －＋1 2 －5
2x2－3x＋1＝0 1
5x2＋4x－1＝0 －1 － －
2.教材P15　第1个思考．
提出问题：
(1)将方程(x－x1)(x－x2)＝0化成一般形式为__x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0__；
(2)将一般形式与x2＋px＋q＝0进行比较，由此可得p＝__－(x1＋x2)__，q＝__x1x2__．即x1＋x2＝__－p__，x1x2＝__q__；
(3)请归纳方程x2＋px＋q＝0的两根x1，x2与系数p，q之间的关系．
学生完成并交流展示．
3．教材P15　第2个思考．
提出问题：
(1)如果一元二次方程的二次项系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？你能证明你的猜想吗？
(2)由求根公式可知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，两根分别为x1＝，x2＝.观察两式右边，分母相同，分子是－b＋与－b－.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？x1＋x2＝__－__，x1x2＝____．
(3)由此你能得出方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有怎样的关系吗？把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两边同时除以a，能否得出该结论？为什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则有x1＋x2＝－，x1x2＝.
即：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于__一次项系数与二次项系数的比的相反数__，两个根的积等于__常数项与二次项系数的比__．
提出问题：
(1)方程的根是由什么决定的？
(2)在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ＝b2－4ac≥0呢？为什么？
◆活动4　例题与练习
例1　教材P16　例4.
例2　已知a，b为实数，且满足a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，求＋的值．
解：当a＝b时，＋＝2.当a≠b时，a，b可看作方程x2－2x－1＝0的两根，则a＋b＝2，ab＝－1，因此＋＝＝＝－6.因此＋的值为2或－6.
练习
1．教材P16　练习．
2．已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两根为m，n，则m2＋n2＝____．
3．设一元二次方程x2－7x＋3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝__7__，x1x2＝__3__，(x1－2)(x2－2)＝__－7__．
4．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数m的取值范围；
(2)是否存在m使得x－x＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(2m－1)2－4m2＝4m2－4m＋1－4m2＝－4m＋1≥0，∴m≤；(2)假使存在实数m使得x－x＝0，∴x1＋x2＝0或x1＝x2.当x1＋x2＝0时，－(2m－1)＝0，∴m＝＞(舍)；当x1＝x2时，Δ＝0，∴m＝.
◆活动5　课堂小结
一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－，x1x2＝.
1．作业布置
(1)教材P17　习题21.2第7题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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