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21.2.3　因式分解法
●类比导入　在新城区规划建设过程中，测量土地时，发现了一块正方形土地和一块矩形土地，矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为90 m，测量人员说：“正方形土地的面积是矩形土地面积的.”你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？
【分析】设正方形土地的边长为x m．根据题意，得x2＝×90x.这个方程可以用配方法或公式法来解决．因为方程x2＝×90x没有常数项，有共同的因式x，可以用因式分解法求解．
【归纳】用因式分解将方程化为两个一次式的乘积等于0的形式．
【教学与建议】教学：类比已学过的一元二次方程的解法，探求更简便的解法，引入因式分解法．建议：利用具体问题列出了一元二次方程后，可以让学生思考怎样解答．
●复习导入　1.根据要求解下列方程：
(1)x2－6x＝0(公式法)；　(2)4x(x－2)－5(x－2)＝0(配方法)；　(3)9y2－25＝0(直接开平方法)．
2．对下列式子进行因式分解：
(1)x2－x＝__x(x－1)__；
(2)4x2－64＝__4(x＋4)(x－4)__；
(3)x2＋8x＋16＝__(x＋4)2__；
(4)3x2－12x＋12＝__3(x－2)2__；
(5)x2＋5x＋6＝__(x＋2)(x＋3)__；
(6)x2－8x－20＝__(x＋2)(x－10)__．
3．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.根据这一性质，你能快速解出下列方程吗？
(1)x2－6x＝0；
解：x(x－6)＝0，x1＝0，x2＝6；
(2)4x(x－2)－5(x－2)＝0；
解：(x－2)(4x－5)＝0，x1＝2，x2＝；
(3)9y2－25＝0.
解：(3y＋5)(3y－5)＝0，y1＝－，y2＝.
【教学与建议】教学：通过复习解方程和因式分解的方法，再根据a·b＝0得到a＝0或b＝0的性质尝试分解因式解方程，讲解因式分解法．建议：让学生理解用因式分解法解一元二次方程的原理和特点．
命题角度　利用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程，其原理就是利用因式分解，把一元二次方程降次为两个一元一次方程．
【例1】解下列一元二次方程．
(1)(x＋4)2＝5(x＋4)；(2)y2－16＝0；(3)9m2－(m＋1)2＝0.
解：(1)x1＝－4，x2＝1；(2)y1＝4，y2＝－4；(3)m1＝－，m2＝.
【例2】选择合适的方法解下列一元二次方程：
(1)x2－2x＝99；(2)3x2＋5x－4＝0；(3)x2＋8x－9＝0.
解：(1)x1＝－9，x2＝11；(2)x1＝，x2＝；(3)x1＝1，x2＝－9.
高效课堂　教学设计
1．会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．
2．进一步体会转化的思想，能选择恰当的方法解一元二次方程．
▲重点
用因式分解法解一元二次方程．
▲难点
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便.
◆活动1　新课导入
1．若ab＝0，则__a＝0或b＝0__；若(x－a)(x－b)＝0，则方程的根为__x1＝a，x2＝b__．
2．分解因式：
(1)2x2－2x＝__2x(x－1)__；(2)9x2＋12x＋4＝__(3x＋2)2__．
3．将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法呢？
(1)提公因式法：am＋bm＋cm＝__m(a＋b＋c)__；
(2)公式法：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__，a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．
◆活动2　探究新知
1．教材P12　问题2.
提出问题：
(1)物体落回地面是什么含义？
(2)结合物体落回地面的含义，请列出方程；
(3)如何解方程10x－4.9x2＝0？(要求同学们尝试用配方法或公式法解)
(4)方程10x－4.9x2＝0有更简便的解法吗？
学生完成并交流展示．
2．解方程：①3x2＋x＝0；②4x2＝－8x.
提出问题：
(1)方程3x2＋x＝0中有常数项吗？方程左边可用何种方法分解因式？如何解该方程？
(2)②中方程整理后与①中方程特征相同吗？请解此方程；
(3)如何用因式分解法解一元二次方程？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
提出问题：
(1)上述方程的解法中运用了什么方法？
(2)如何利用由“a·b＝0，得a＝0或b＝0”使二次降为一次？
(3)由ab＝1，得a＝1或b＝1是否成立？说明理由；
(4)什么叫因式分解法？利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
1．对于一元二次方程，先因式分解使方程化为两个一次式的__乘积__等于0的形式，再使这两个一次式分别等于__0__，从而实现__降次__，这种解法叫做因式分解法．
2．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程右边化为__0__；②将方程左边分解成两个一次因式的__乘积__；③令每个因式分别为__0__，得两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
提出问题：
(1)解一元二次方程都有哪些方法？
(2)探究新知第2题中的两个方程可以用配方法或公式法来求解吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点．
(3)用因式分解法解一元二次方程需注意哪些细节问题？
配方法要先__配方__，再__降次__，公式法直接利用__求根公式__解方程；因式分解法要先将方程一边化为__两个一次因式相乘__，另一边为__0__，再分别使各一次因式等于__0__．配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为__一次方程__，即__降次__．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P14　例3.
例2　用因式分解法解下列方程．
(1)7x(3－x)＝2(x－3)；(2)16(x－7)2－9(x＋2)2＝0.
解：(1)x1＝3，x2＝－；(2)x1＝，x2＝34.　
例3　用适当的方法解下列一元二次方程．
(1)2(x＋3)2＝8；(2)4x2－4x＋1＝0；
(3)(3x－4)2＝9x－12；(4)x2－2x－99＝0.
解：(1)原方程系数化为1，可得(x＋3)2＝4，
由此可得x＋3＝±2，x1＝－1，x2＝－5；
(2)a＝4，b＝－4，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝16＞0，
方程有两个不等的实数根，x1＝，x2＝；
(3)移项，得(3x－4)2－(9x－12)＝0.
因式分解，得(3x－4)(3x－4－3)＝0.
于是得3x－4＝0或3x－7＝0，x1＝，x2＝；
(4)移项，得x2－2x＝99，
配方，得x2－2x＋1＝99＋1，(x－1)2＝100，
由此可得x1＝11，x2＝－9.
学生完成展示，教师评价强调：
解一元二次方程时，应当仔细观察方程的形式和系数特点，选取合适的方法解一元二次方程，有利于减少计算量，从而提高计算的正确性．在用公式法求解时，需先计算b2－4ac的值，若它小于0，则此方程无实根．一般先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，其次再考虑用公式法或配方法．
练习
1．教材P14　练习第1，2题．
2．解方程x－＝(－x)2最适合的方法是(　C　)
A．配方法 B．公式法
C．因式分解法 D．直接开平方法
3．直角三角形的两条直角边长分别为方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则直角三角形的斜边长为__5__．
4．已知：(x2＋y2)(x2＋y2－1)＝6，求x2＋y2的值．
解：x2＋y2＝－2(舍去)或x2＋y2＝3.
◆活动5　课堂小结
1．这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”．在今天的学习中，要逐步领会、掌握“转化”这一数学思想方法.
2．因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
3．归纳解一元二次方程不同方法的优缺点．
1．作业布置
(1)教材P17　习题21.2第6，10题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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