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21.3　实际问题与一元二次方程
第1课时　传播问题与握手问题
●情景导入　一种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
①第一轮感染了多少台电脑？__x台__
②第一轮后共有多少台电脑被感染？__(x＋1)台__
③第二轮感染了多少台电脑？__(x＋1)x台__
④第二轮后共有多少台电脑被感染？__(1＋x)2台__
⑤列出方程．__(1＋x)2＝81__
【教学与建议】教学：通过教师提出问题，引导学生对问题进行深入探讨，最终找出题目中的等量关系．建议：教师可针对此问题一步步引导学生思考并解决．
●复习导入　1.解一元二次方程有哪些方法？怎样选择恰当的方法解方程？
2．用含x的代数式表示两个连续偶数(或奇数)________，表示三个连续整数________；个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c的三位数是________；n个球队参加足球比赛，采用双循环制，主办方一共需要安排________场比赛．
3．俗话说：“一传十，十传百”．疾病的传染相当迅猛，若每人每轮的传播速度相同，试完善下列表格．
开始生病的人数 1 1
第一轮传染的人数 10 x
第一轮传染后 生病的总人数 __1＋10__ __1＋x__
第二轮传染的人数 __(1＋10)×10__ __(1＋x)x__
第二轮传染后 生病的总人数 (1＋10)＋(1＋10)× 10＝__(1＋10)2__ (1＋x)＋(1＋x)x＝ __(1＋x)2__
第三轮传染的人数 __(1＋10)2×10__ __(1＋x)2x__
第三轮传染后 生病的总人数 (1＋10)2＋(1＋10)2× 10＝__(1＋10)3__ (1＋x)2＋(1＋x)2x＝ __(1＋x)3__
… … …
　　4.列方程解应用题的步骤有哪些？
【教学与建议】教学：本节重在建立数学模型，列方程解决问题，所以只需简单复习一下一元二次方程的解法，为本节构造一元二次方程模型的学习奠定基础．建议：类比用一元一次方程(组)解应用题的学习方法来学习本节内容．
命题角度1　传播与裂变问题
常见类型包括细胞分裂、信息传播、疾病传染等．
【例1】(1)某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是(C)
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)若有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，则每轮传染中平均每人传染了__10__个人．
命题角度2　握手问题
注意握手问题和“每两个人互送礼物”的区别与联系．
【例2】(1)有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是(A)
A．x(x－1)＝45 B．x(x＋1)＝45
C．x(x－1)＝45 D．x(x＋1)＝45
(2)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1 640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为(D)
A．x(x－1)＝1 640 B．x(x＋1)＝1 640
C．2x(x＋1)＝1 640 D．x(x－1)＝1 640
命题角度3　数字问题
常见类型有整数的和差倍分，列一元二次方程来求解．
【例3】有一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位上的数字的平方正好等于这个两位数，求这个两位数．
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x－3).
根据题意，得x2＝x＋10(x－3).
解得x1＝5，x2＝6.当x＝5时，x－3＝2.当x＝6时，x－3＝3.
答：这个两位数是25或36.
方程在海湾战争中的应用
1991年海湾战争时，有一个问题放在美军计划人员面前，如果伊拉克把科威特的油井全部烧掉，那么冲天的黑烟会造成严重的后果，这还不只是污染．满天烟尘，阳光不能照到地面，就会引起气温下降，如果失去控制，造成全球性的气候变化，可能造成不可挽回的生态与经济后果．五角大楼因此委托一家公司研究这个问题，这个公司利用流体力学的基本方程以及热量传递的方程建立数学模型，经过计算机仿真，得出结论，认为点燃所有的油井后果是严重的，但只会波及到海湾地区以至伊朗南部、印度和巴基斯坦北部，不至于产生全球性的后果．这对美国军方计划海湾战争起了一定的作用，所以有人说：“第一次世界大战是化学战争(炸药)，第二次世界大战是物理学战争(原子弹)，而海湾战争是数学战争．”
高效课堂　教学设计
1．会列出一元二次方程解决传播、握手、比赛问题，学会将实际问题转化为数学问题．
2．经过“问题情境——建立模型——求解——解答与应用”的过程，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力．
▲重点
列一元二次方程解决传播、握手等问题．
▲难点
找出传播、握手等问题中的等量关系．
◆活动1　新课导入
填空：若一人患流感，每轮能传染5个人，则第一轮过后共有__6__个人患了流感，第二轮过后共有__36__个人患了流感．
我们遇见过一些用列方程来解的实际应用问题，你能说说列方程解应用问题的步骤是怎样的吗？
◆活动2　探究新知
1．教材P19　探究1.
提出问题：
(1)本题中有哪些等量关系？如何理解两轮传染？
(2)若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么第一轮后，共有____人患了流感；第二轮后共有________人患了流感；
(3)本题中的等量关系是什么？请列出方程；
(4)请将所列出的方程进行化简并求解，为什么负值要舍去？
学生完成并交流展示．
2．教材P19　思考．
提出问题：
(1)上述问题中如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？n轮后呢？
(2)通过对上述问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？
3．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，求有多少人参加这次聚会．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
若原有a个传染源，每轮每个传染x人，传染n轮后的总人数为a(1＋x)n.
◆活动4　例题与练习
例1　某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
解：设每个支干长出x个小分支．
依题意可列方程1＋x＋x2＝91.
解这个方程，得x1＝9，x2＝－10(负根不合题意，舍去).
答：每个支干长出9个小分支．
例2　两个数的和是14，积是33，求这两个数．
解：设其中一个数为x，则另一个数为14－x.
由题意，得x(14－x)＝33，
解得x1＝3，x2＝11，
即这两个数分别为3，11.　
练习
1．教材P21　习题21.3第2，4，6题．
2．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场(　B　)
　A．4个　　　　B．5个　　　　C．6个　　　　D．7个
3．一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数是(　B　)
A．6 B．7 C．8 D．9
4．九(1)班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照照片780张，则九(1)班有__40__人．
◆活动5　课堂小结
1．“传播问题”的两种模型：
①传染源参与两轮传染；②传染源只参与第一轮传染．
2．总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：审、设、找、列、解、答，最后还要检验根是否符合实际意义．
1．作业布置
(1)教材P25　复习题21第7题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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