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第3课时　几何图形问题
●情景导入　提起代数，人们自然就和方程联系起来，事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究．我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，取得了重要成果．我国古代数学家研究过二次方程的解法，当时的解法虽然与现代的解法不同，但已与现代的解法相似.
下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)．只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步”．答：“阔二十四步，长三十六步”．用已学过的知识解决这个问题．
解：设阔(宽)为x步，则长为(x＋12)步．根据题意，得x(x＋12)＝864.解得x1＝24，x2＝－36(舍去)．
【教学与建议】教学：在古代文献中有很多的方程应用型问题，题的内容来自生活，新颖有趣，有很高的数学价值和欣赏价值，通过本问题的引入，激起学生的学习兴趣．建议：引导学生积极思考问题，建立方程的思想．
●置疑导入　如图，小明把一张边长为20 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子．
(1)如果要求长方体的底面面积为256 cm2，那么剪去正方形的边长为多少？
(2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形的边长会发生什么样的变化？折成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
长方体的底面积 256 196 144 100 64 36 16 4
正方形的边长 2 3 4 5 6 7 8 9
长方体的体积 512 588 576 500 384 252 128 36
　　【教学与建议】教学：通过生活中的实际问题的导入，让学生感觉到数学与生活的联系，激起学生的学习兴趣．建议：让学生体会数学来源于生活，又应用于生活．
命题角度1　列一元二次方程解决等积变形问题
在列一元二次方程解决等积变形问题时，有三个等量关系：①图形周长改变，面积没变；②容器形状改变，但容积没变；③原料体积＝成品体积．
【例1】用一条长50 cm的绳子围成一个面积为200 cm2的矩形．设矩形的长为x cm，则可列方程为(B)
A．x(25＋x)＝200 B．x(25－x)＝200
C．x(50＋x)＝200 D．x(50－x)＝200
命题角度2　列一元二次方程解决与几何图形面积相关的问题
构建方程解决几何问题的关键是找到相等的数量关系．
【例2】小明用30 cm的铁丝围成一斜边等于13 cm的直角三角形，设该直角三角形一直角边长x cm.根据题意列方程为__x2＋(30－13－x)2＝132__．
命题角度3　列一元二次方程解决存在性问题
列一元二次方程解决存在性问题的一般步骤：先假设结论存在或成立，然后根据题意列出方程．根据方程根的情况，证明假设是否成立．
【例3】如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2 m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33 m.
(1)若墙长为18 m，要围成鸡场的面积为150 m2，则鸡场的长和宽各为多少米？
(2)围成鸡场的面积可能达到200 m2吗？
解：(1)设鸡场靠墙一边的长为x m．根据题意，得x(33－2x＋2)＝150.解得x1＝10，x2＝.当x＝10时，33－2x＋2＝15＜18，符合题意．当x＝时，33－2x＋2＝20＞18(不合题意，舍去).答：鸡场的长为15 m，宽为10 m；
(2)假设能达到200 m2.设垂直于墙的一边长为x m．根据题意，得x(33－2x＋2)＝200.整理，得2x2－35x＋200＝0.∵Δ＝(－35)2－4×2×200＝－375＜0，∴此方程无解，∴围成鸡场的面积不可能达到200 m2.
命题角度4　列一元二次方程解决运动型问题
运动型问题一般根据“路程＝速度×时间”求出图形中相应边的长度，再列方程解决问题．
【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝30 cm，AC＝40 cm，点P从点C开始沿CA边以4 cm/s的速度向点A移动，同时，另一点Q从点C开始沿CB边以3 cm/s的速度向点B移动，几秒钟后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？
解：设x s后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，则CP＝4x cm，CQ＝3x cm.根据题意，得×3x×4x＝×30×40×.解得x1＝5，x2＝－5(不符合题意，舍去).
答：5 s后，△PCQ的面积等于△ABC面积的.
高效课堂　教学设计
1．掌握用利润公式、面积法建立一元二次方程的数学模型的方法，并运用它解决实际问题．
2．进一步掌握通过探究等量关系，列出一元二次方程解决实际问题的能力．
▲重点
列一元二次方程解决利润问题与几何图形的面积问题．
▲难点
1．寻找利润问题中的等量关系．
2．将不规则图形分割或组合成规则图形，动点问题．
◆活动1　新课导入
1．提出问题：
(1)直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式又是什么？
(2)正方形的面积公式是什么？长方形的面积公式又是什么？
(3)梯形的面积公式是什么？
(4)菱形的面积公式是什么？
(5)平行四边形的面积公式是什么？
(6)圆的面积公式是什么？
2．如图，(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是__24__cm2__，高是__2__cm__，体积是__48__cm3__．
(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是__(10－2x)(8－2x)cm2__，高是__x__cm__，体积是__x(10－2x)(8－2x)cm3__．
3．一件进价为100元的衣服，按标价200元出售，每天能卖出10件，则每天所获利润为__1__000__元．现在为了尽快清仓，降价销售，若每降价10元，就能多卖出1件，则降价50元，每天可卖出__15__件，所获利润为__750__元．
◆活动2　探究新知
1．教材P20　探究3.
提出问题：
(1)本题中有哪些数量关系？
(2)如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？
(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
(4)如果将问题中的等量关系(四周彩色边衬所占面积是整个长方形面积的四分之一)转化为中央长方形面积与整个长方形面积之间的关系时，结论如何？由此你又能列出怎样的方程呢？
2．教材P21　思考．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．利润＝售价－进价；利润率＝×100%；售价＝进价×(1＋利润率)；总利润＝总售价－总成本＝单件利润×总销量．
2．在利用一元二次方程解几何图形面积的问题时，灵活运用“平移变换”，把分离的图形进行“整合”，使问题简化．
◆活动4　例题与练习
例1　某西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批良种西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可售出200 kg，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种良种西瓜每降价0.1元/kg，每天可多售出40 kg，另外每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克良种西瓜降价多少元？
解：设每千克良种西瓜降价x元，则有(3－x－2)·(200＋)－24＝200，解得x1＝0.2，x2＝0.3.∵为了促销，∴x＝0.3.
答：要想每天盈利200元，应将每千克良种西瓜降价0.3元．
例2　如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8 cm2
解：设x s后，可使△PCQ的面积为8 cm2，则AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm.根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P，Q同时出发，2 s或4 s后可使△PCQ的面积为8 cm2.
练习
1．教材P21　习题21.3第8，9题．
2．在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是(　B　)
A．x2＋130x－1 400＝0 B．x2＋65x－350＝0
　C．x2－130x－1 400＝0 D．x2－65x－350＝0
3．某种商品，平均每天可销售40件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每降价1元，则每天可多售5件．若每天要盈利2 400元，则每件应降价__4__元．
◆活动5　课堂小结
1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式和利润公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．
2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．
1．作业布置
(1)教材P26　复习题21第11，12题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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