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第3课时　菱形的性质与判定的综合应用
●置疑导入　问题(1)菱形的对角线有什么位置关系？(2)菱形的对角线可以将菱形分割成什么样的三角形？(3)知道AC，BD的长度，能求出菱形ABCD的面积吗？
【教学与建议】教学：把菱形问题转化为三角形的问题进行研究．建议：让学生明确菱形的对角线将菱形分成四个全等的三角形．
●复习导入　(1)菱形的概念：有一组__邻边相等__的平行四边形叫做菱形．
(2)菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角．
(3)菱形的判定方法：①一组__邻边相等__的平行四边形是菱形；②对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；③四条边__相等__的四边形是菱形．
【教学与建议】教学：复习菱形的性质与判定，导入综合应用．建议：多媒体展示答案．
命题角度1　菱形对称性的有关计算
在菱形计算题中，可用“对称”的方法找到相等的线段或角、图形等．
【例1】如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别是6和8时，则阴影部分的面积为__12__．
命题角度2　求菱形的面积
菱形面积的两种计算方法：①菱形的面积＝底×高；②菱形的面积等于对角线乘积的一半．
【例2】(1)如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝8，则菱形ABCD的面积与周长分别为(B)
A．96，4 B．48，8
C．36，8 D．20，4
(2)若菱形的一个内角为60°，一条较短的对角线长为6 cm，则另一条对角线长为__6__cm__，这个菱形的面积为__18__cm2__．
命题角度3　利用菱形的性质解决找规律问题
一内角为60°的菱形中较短对角线长等于菱形的边长，较长对角线长等于边长的倍．若将菱形旋转，则此规律循环出现．
【例3】如图，在直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1.现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2 024次，点B的落点依次为B1，B2，B3，B4，…，则点B2 024的坐标为__(1__350，0)__．
命题角度4　菱形性质与判定的综合应用
熟练掌握菱形的性质与判定，灵活解决菱形线段、周长、面积等问题．
【例4】如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF.
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AE＝6，BF＝8，CE＝，求 ABCD的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE.
同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形；
(2)过点F作FG⊥BC于点G.
∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，
∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4.
∴BE＝＝5.
∵S菱形ABEF＝AE·BF＝BE·FG，∴FG＝.
∴S ABCD＝BC·FG＝(BE＋EC)·FG＝×＝36.
高效课堂　教学设计
1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题．
2．掌握菱形面积的求法．
3．经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法．
▲重点
菱形的性质与判定的理解和掌握．
▲难点
菱形的性质与判定的综合应用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
提出问题：我们已经研究了一个特殊的平行四边形——菱形，它的定义是什么呢？有哪些性质呢？
(多媒体投影问题和答案)
问题1：菱形的定义：__有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形__
问题2：菱形的性质：(边)__对边平行且四条边相等__
(角)__对角相等，邻角互补__
(对角线)__对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角__
(对称性)__既是轴对称图形，也是中心对称图形__
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
【提示】先证明它是平行四边形，再证明邻边相等．
【探究2】若纸条的宽度是3，∠ABC＝60°，你会求菱形的面积吗？你有几种不同的方法？与同学交流．
方法一：菱形是特殊的平行四边形，可以用__底×高__求菱形的面积．
解：过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，∠B＝__60°__，AE＝__3__，设BE＝x(x＞0)，则AB＝__2x__．由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2，即(2x)2＝32＋x2，解得x＝____，∴BE＝____，AB＝__2__，S菱形ABCD＝BC·AE＝__2×3__＝__6__.
方法二：菱形的对角线互相垂直，可以用__AC·BD__，求菱形的面积．
解：连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E.
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC是__等边__三角形．
由方法(1)可知AB＝2，∴AB＝BC＝AC＝2，∴OA＝____．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OB＝＝＝__3__，
∴BD＝2OB＝2×__3__＝__6__．
S菱形ABCD＝2S△ABC＝AC·OB×2＝AC·BD＝×2×__6__＝__6__．
归纳：菱形面积的计算公式：①如图，S菱形ABCD＝AB·DE，即菱形的面积等于底乘高；②S菱形ABCD＝AC·BD，即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P8例3)如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm.求：
(1)对角线AC的长度；
(2)菱形ABCD的面积．
【方法指导】(1)根据菱形的性质可得BD⊥AC，BE＝DE＝BD，然后利用勾股定理计算出AE的长，进而可得答案；
(2)将菱形分割成两个三角形或四个直角三角形，进而求出整个菱形的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，
∴∠AED＝90°(菱形的对角线互相垂直)，
DE＝BD＝×10＝5(cm)(菱形的对角线互相平分)，
∴AE＝＝＝12(cm)，
∴AC＝2AE＝2×12＝24(cm)(菱形的对角线互相平分)；
(2)菱形ABCD的面积＝△ABD的面积＋△CBD的面积＝2×△ABD的面积＝2××BD×AE＝2××10×12＝120(cm2).
例2　如图，在△ABC中，AB＝BC，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．
(1)求证：四边形BDEF是菱形；
(2)AB＝10 cm，求菱形BDEF的周长．
【方法指导】(1)根据三角形的中位线定理及菱形的定义可证出结论；
(2)根据中点的定义和菱形的四条边相等可得菱形BDEF的周长．
解：(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF＝BC，EF∥BC.
同理可证DE＝AB，DE∥AB.
∴四边形BDEF是平行四边形．
∵AB＝BC，∴EF＝DE，∴四边形BDEF是菱形；
(2)∵F是AB的中点，
∴BF＝AB＝×10＝5(cm)，
∵四边形BDEF是菱形，
∴BD＝DE＝EF＝BF，
∴菱形BDEF的周长为4×5＝20(cm).
◆活动4　随堂练习
1．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC＝2 cm，BD＝4 cm，则菱形ABCD的面积是__4__cm2.
　　　　
2．如图，菱形ABCD的边长是4 cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则S菱形ABCD＝__8__cm2.
3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，周长是8 cm.求：
(1)两条对角线的长度；
(2)菱形的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD∥BC.
∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，
∴∠ABC＝×180°＝60°，
∴∠ABO＝∠ABC＝30°.
∵菱形ABCD的周长是8 cm，
∴AB＝2 cm，
∴OA＝AB＝1(cm).
∴OB＝＝＝(cm)，
AC＝2OA＝2×1＝2(cm).
∴BD＝2OB＝2(cm)；
(2)S菱形ABCD＝AC·BD＝×2×2＝2(cm2).
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的主要收获是什么？
教学说明：菱形性质与判定的应用，要注意两者的区别与联系．
作业：课本P9随堂练习T1、T2习题1.3中的T1、T3.
通过复习回顾菱形的性质和判定，唤醒学生的记忆，然后给学生设置好一个个有梯度的问题，调动学生的求知欲，树立勇于战胜自我的信念．

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