资源简介

第2课时　矩形的判定
●情景导入　小华想做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是他用两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作成矩形，你有什么办法可以验证他做的是矩形相框？看看谁的方法可行．
【教学与建议】教学：通过提出问题引发学生的思考，同时让学生感受在实际生活中矩形判定的应用．建议：先让学生提前完成相框的制作．
●置疑导入　(1)有一个角是__直角__的__平行四边形__是矩形．
(2)矩形的性质：①矩形的四个角都是__直角__，②矩形的对角线__相等__．
(3)提问：①对角线相等的平行四边形是矩形吗？②有三个角是直角的四边形是矩形吗？
【教学与建议】教学：通过对矩形定义的复习进一步感受什么是矩形，导入条件证明矩形的方法．建议：问题提出后给学生一定的思考时间，可以给出适当的引导．
命题角度1　补充条件判定矩形
如果给定平行四边形，那么补充的条件应是一个直角或对角线相等．
【例1】(1)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(B)
A．AB＝BE B．BE⊥DC
C．DC＝BE D．CE⊥DE
　　　
(2)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使 ABCD为矩形，则DB的长应该为__4__．
命题角度2　利用三个角是直角的四边形判定矩形
证明三个角是直角就可以判定四边形是矩形．
【例2】如图， ABCD的四个内角的平分线是分别相交于E，F，G，H，试说明四边形EFGH是矩形．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵AH，BH分别是∠DAB，∠ABC的平分线，
∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，
∴∠HAB＋∠HBA＝90°，∴∠H＝90°.
同理可求得∠HEF＝∠F＝∠FGH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
命题角度3　定义法判定矩形
先证明是平行四边形，再证明有一个角是直角就可以得到矩形．
【例3】如图， ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE，AC，若CA＝CB，求证：四边形AECF是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB綊CD.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE∥CF，且AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵CA＝CB，E为AB的中点，
∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
命题角度4　根据对角线判定矩形
利用对角线相等的平行四边形证明矩形．
【例4】如图，E为 ABCD外一点，AE⊥EC，BE⊥ED，对角线AC，BD交于点O，试说明 ABCD是矩形．
解：连接OE.
∵AE⊥EC，∴∠AEC＝90°.
又∵O为AC的中点，在Rt△ACE中，得OE＝AC，
同理OE＝BD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD为矩形．
高效课堂　教学设计
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．通过矩形定义、判定等知识解决简单的证明题和计算题．
▲重点
能够用综合法证明矩形的判定定理并利用定义和定理进行证明．
▲难点
矩形的判定证明方法及运用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
事例引入：小华想做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是他用两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制成矩形，你有什么办法可以验证他做的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】定义证明
教师：矩形的定义是什么？
学生：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
归纳：用矩形的定义判定：一个平行四边形有一个角是直角，这个图形是矩形．
【探究2】对角线相等的平行四边形是矩形．
(课件展示)如图，在 ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC＝DB.求证： ABCD是矩形．
注意：学生思考、交流后，教师可以适当地引导：给出的条件与矩形的定义相比，少了哪个条件？怎么办？
教师：分析后课件展示过程．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC.
又∵BC＝CB，AC＝DB，
∴△ABC≌△DCB(SSS)，
∴∠ABC＝∠DCB.
∵AB∥DC，
∴∠ABC＋∠DCB＝180°，
∴∠ABC＝∠DCB＝×180°＝90°，
∴ ABCD是矩形．
归纳：对角线相等的平行四边形是矩形．
【探究3】有三个角是直角的四边形是矩形
如图，已知∠A＝∠B＝∠C＝90°，则四边形ABCD是矩形吗？
学生：思考、交流后尝试给出证明过程．
教师：学生展示过程后点评、规范相应的步骤．
证明：在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
归纳：有三个角是直角的四边形是矩形．
试一试：
一位工人师傅在修理一个矩形桌面时，手上只有一把刻度尺，他怎样才能判断该桌面是个矩形？请说明如何操作，并画图写出证明过程．如果允许换工具，你还有其他方法吗？
学生1：用刻度尺测量对角线，如果相等则说明桌面是矩形．
学生2：也可以用角尺，测量有三个角是直角，即可说明桌面是矩形．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P15例2)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求 ABCD的面积．
【方法指导】先根据“对角线相等的平行四边形是矩形”判定 ABCD是矩形，再求出BC的长，从而可得 ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵△ABO是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.
∴OA＝OB＝OC＝OD＝4，
∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.
∴ ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)，
∴∠ABC＝90°(矩形的四个角都是直角).
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，
∴BC＝＝＝4，
∴S ABCD＝AB·BC＝4×4＝16.
例2　如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为点E，D.
求证：四边形AEBD是矩形．
【方法指导】根据角平分线的性质和平角的定义，得到∠EBD＝90°，再结合AE⊥BE，AD⊥BD，可以确定四边形的三个内角都是直角，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”就可以证明此四边形是矩形．
证明：∵BD，BE分别是∠ABC，∠ABP的平分线，
∴∠ABD＋∠ABE＝(∠ABC＋∠ABP)＝90°，
即∠EBD＝90°.
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形).
◆活动4　随堂练习
1．下列说法正确的是(D)
A．一组对边平行且相等的四边形是矩形
B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
2．如图， ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__AC＝BD(答案不唯一)__(只添加一个即可)，使 ABCD是矩形．
3．如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H四点．
求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵ ABCD的四个内角平分线分别相交于E，F，G，H四点，
由角平分线性质，得∠HAB＝∠DAB，∠ABH＝∠ABC，
∴∠HAB＋∠ABH＝(∠DAB＋∠ABC)＝90°，
∴∠H＝90°.
同理可求得∠HEF＝∠F＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：你这节课的主要收获是什么？学习了几种矩形的判定方法？
教学说明：有一个角是直角的平行四边形是定义判定．
定理判定：1.对角线相等的平行四边形是矩形．
2．有三个角是直角的四边形是矩形．
作业：课本P16随堂练习、习题1.5中的T1、T3.
本节课是以体现学生主体地位，培养学生的探索——猜想——证明的思维能力和综合论证能力，提高学生的归纳、概括及转化的思维能力为目的设计的，在教学中调动了学生学习的积极性，学生能够在老师的启发、引导下积极地去探求——思考——归纳总结，合作交流完成学习目标．

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