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第3课时　矩形的性质与判定的综合应用
●归纳导入　分小组归纳平行四边形、菱形和矩形的性质定理和判定定理．它们都有一些特殊的性质，每一种图形都有对应的线段相等、对应的角相等．线段和角之间的关系不是孤立的，它们可以相互转化．因此，我们要学会灵活地运用这些知识，利用它们不断的化未知为已知，进而解决相应的问题．下面我们就来试一试．
【教学与建议】教学：从知识的作用入手，让学生感受到所给特殊图形中隐含的条件．建议：结合具体问题教学生去思考、分析问题．
●复习导入　(1)矩形的定义：
(2)矩形的性质：①对边平行且相等；②四个角都是直角；③对角线互相平分且相等；④既是轴对称图形，又是中心对称图形．
推理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
(3)矩形的判定方法：
学习数学除了要记住这些概念和定理，更重要的是能灵活地运用它们解决实际问题．
【教学与建议】教学：通过对矩形定义、性质和判定的复习，让学生对知识及其生成的过程进行回忆、巩固．建议：给学生一定时间思考相关定理的生成过程．
命题角度1　利用矩形的性质进行相关的计算和证明
由矩形的性质得到相等的线段或角．
【例1】如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DF＝BE，∴四边形BFDE为平行四边形．
又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；
(2)∵四边形BFDE是矩形，∴∠BFC＝90°.
∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝＝5.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5，
∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA.
又∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.
命题角度2　矩形中的折叠问题
矩形中折叠问题的本质：(1)折叠前后两部分是全等的；(2)利用轴对称的性质；(3)找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系．
【例2】(1)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF.若AB＝4，BC＝8，则D′F的长为(C)
A．2 B．4 C．3 D．2
　　　　　　
(2)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E.若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积是__10__．
命题角度3　矩形中最值问题
通常利用矩形的轴对称性作对称点，将不同线段转化到同一直线或同一三角形中．
【例3】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC＋PD的最小值为__4__．
高效课堂　教学设计
1．运用矩形的性质进行相关计算和证明．
2．运用矩形的判定定理解决相关数学问题．
▲重点
矩形的性质及判定的运用．
▲难点
综合运用矩形的性质及判定定理．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
(出示课件)
问题1：矩形的性质及判定有哪些？
问题2：如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是__90°__．
问题3：在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB＝__60°__，若OA＝3 cm，则CD＝__3__cm__．
◆活动2　实践探究　交流新知
(多媒体出示)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长．
展示问题：
问题1：矩形有几个性质？
问题2：矩形的对角线__相等__．
问题3：AE，AD在Rt△AED中，且AD＝6，可以找__∠ADB__＝30°.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝DO＝__BD__(矩形的对角线相等且互相平分)，
∠BAD＝90°(矩形的四个角都是__直角__).
∵ED＝3BE，∴BE＝__OE__．
又∵AE⊥BD，∴AB＝__AO__，∴__AB__＝__AO__＝__BO__，
即△ABO是__等边__三角形，∴∠__ABO__＝60°，
∴∠ADB＝90°－__∠ABO__＝90°－60°＝30°.
在Rt△AED中，∵∠ADE＝30°，
∴AE＝__AD__＝×__6__＝__3__．
归纳：综合应用矩形的性质定理，要注意根据题意灵活选择性质定理．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P17例4)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．
【方法指导】矩形的判定定理、等腰三角形的性质的综合应用．
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD＝∠BAC，∠CAN＝∠CAM，
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝(∠BAC＋∠CAM)＝×180°＝90°.
在△ABC中，
∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
例2　如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
(1)求证：四边形ADBE是矩形；
(2)求矩形ADBE的面积．
【方法指导】矩形的性质与判定的综合应用．
解：(1)∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形；
(2)∵BC＝6，AD是BC边上的中线，∴BD＝BC＝3.
在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3，由勾股定理，得
AD＝＝＝4.∴S矩形ADBE＝BD·AD＝3×4＝12.
◆活动4　随堂练习
1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝3，则AC的长是(C)
A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8
　　　　　
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF.若OE＝5，则OF＝__5__．
3．如图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.
(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是__BE∥CF(答案不唯一)__(添加一个即可)，并证明；
(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．
解：(1)∵H是BC的中点，∴BH＝CH.
∵BE∥CF，∴∠EBH＝∠BCF.
又∵∠BHE＝∠CHF，
∴△BEH≌△CFH(ASA)；
(2)BH＝EH.理由如下：连接EC，BF.
∵△BEH≌△CFH，∴BH＝CH，EH＝FH，
∴四边形BFCE是平行四边形，
又∵BH＝EH，∴EF＝BC，∴四边形BFCE是矩形．
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课你的主要收获是什么？
教学说明：综合运用矩形的性质和判定解决数学问题．
作业：课本P18随堂练习、P19习题1.6中的T3、T4、T5.
本节课在复习前一节课内容的基础上，利用矩形的性质和判定解决具体问题，在例题的选择和设计上，注重知识向能力的转化，让学生主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，同时训练学生清晰、有条理地表达自己的思考过程，从而培养学生的推理能力和分析问题的能力．

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