资源简介

第2课时　菱形的判定
●情景导入　如图，将两张等宽的纸条交叉，重合部分是四边形ABCD，试说明它是什么特殊平行四边形．
【教学与建议】教学：动手操作增强学生的感性认识，引入课题．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析．
●复习导入　什么样的四边形是平行四边形？它有哪些判定方法？
边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
那么，菱形的判定有什么方法呢？
【教学与建议】教学：通过复习平行四边形知识导入课题，作好知识的铺垫，激发学生对新知识的需求．建议：可以让学生先回答问题，再小组讨论菱形判定方法．
●类比导入　(1)如图①所示，用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．任意转动木条，围成的四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？
(2)继续转动木条，如图②所示橡皮筋围成的四边形是菱形？你能证明你的猜想吗？
【教学与建议】教学：类比操作感知菱形对角线的特征，引导学生得出菱形的判定方法．建议：在判定菱形的时候对角线应满足：①当确定四边形是平行四边形时，对角线互相垂直；②当不确定四边形是不是平行四边形时，对角线互相垂直平分．
命题角度1　先判定是平行四边形，再判定菱形
判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【例1】(1)如图，在 ABCD中，BD⊥AC，O为垂足，求证： ABCD为菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO(平行四边形的对角线互相平分).
∵BD⊥AC，∴AD＝CD(中垂线的性质).
∴ ABCD是菱形(菱形的定义).
(2)如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由．
解：四边形AEDF是菱形．理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形．
命题角度2　定义判定四边形是菱形
利用四边相等的四边形判定是菱形．
【例2】如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.判断四边形ABCD的形状并说明理由．
解：四边形ABCD为菱形．
理由如下：
由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，
∴四边形ABCD为菱形．
命题角度3　补充条件证明四边形是菱形
此类试题综合考查学生探索条件、倒序推理的能力．
【例3】如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE＝EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__①③__(填序号)．
高效课堂　教学设计
1．理解菱形的判定条件，掌握菱形的判定方法．
2．会利用菱形的判定方法进行有关的推理和计算．
▲重点
菱形的判定方法．
▲难点
菱形判定定理的应用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
什么样的四边形是平行四边形？它有哪些判定方法？
边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
那么，菱形的判定有什么方法呢？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．菱形的定义是什么？菱形有哪些性质？
2．运用菱形的性质进行菱形的判定，应具备几个条件？
两个条件：一是__平行四边形__；二是__有一组邻边__相等．
【探究2】菱形的判定定理1
阅读教材P5
问题1：命题的证明需要哪些依据？
问题2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？怎样证明？
(多媒体展示)
如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证： ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝__OC__．
又∵AC⊥BD，
∴直线BD是线段__AC__的__垂直平分线__，∴BA＝BC，
∴四边形ABCD是菱形(　菱形的定义　).
归纳：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【探究3】菱形的判定定理2
1．已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？你是怎么做的？思考并独立完成后，与同伴交流．
2．你所作的四边形是菱形吗？你能得到怎样的结论？你能证明这个结论吗？
(多媒体展示)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD.
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是__平行四边形__．
又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是__菱形__．
归纳：四边相等的四边形是菱形．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P6例2)已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.
求证： ABCD是菱形．
【方法指导】利用菱形的性质与判定及勾股定理的逆定理，关键是先根据勾股定理的逆定理得出△AOB为直角三角形．
证明：在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，
∴AB2＝OA2＋OB2，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角，∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
例2　如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．
【方法指导】小组讨论 教师引导[借助全等完成(1)，借助判定定理1完成(2)] 学生展示 教师评价．
解：(1)在△ABC和△ADC中，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，∴∠1＝∠2；
(2)四边形BCDE是菱形．理由如下：连接BE，DE.
∵BC＝DC，∠1＝∠2，∴OD＝OB，OC⊥BD.
∵OE＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形．
又∵OC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形．
◆活动4　随堂练习
1．如图，长方形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，AC，BC分别交于点E，O，F.
求证：四边形AFCE是菱形．
证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，EF⊥AC.
∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，∴EO＝FO，∴四边形AFCE是平行四边形．
∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．
2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
解：(1)∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，∴BE＝BC.∵EF＝BE，∴EF＝BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；
(2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，
又∵BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2，
∴菱形的面积为4×2＝8.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课你的主要收获是什么？还有哪些困惑？
教学说明：菱形判定定理的推导与证明．
作业：课本P7习题1.2中的T1、T2、T3.
经历菱形证明、猜想的过程，进一步提高学生的推理论证能力，体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学方法．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．

展开更多......

收起↑