资源简介

2　矩形的性质与判定
第1课时　矩形的性质
●情景导入　利用多媒体展示一组生活中的图片，观察图中有哪些常见的平面图形，从而引出矩形，进而探究矩形的定义及性质．
【教学与建议】教学：从生活实例入手，感受生活中的矩形图案．建议：选择学生熟悉的图片，也可以利用教室中可以看到的实物，比如黑板、门、窗等．
●类比导入　观察思考，如图(1)将两长两短的四根木条用小钉铰合在一起，使等长的木条成为对边，这样就得到一个平行四边形，即 ABCD；转动这个四边形使A′B′⊥B′C′时如图(2)，就得到一个特殊的平行四边形，你能说出这时平行四边形A′B′C′D′是什么图形吗？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，它具有平行四边形所有的性质，这节课来探究它的特殊性质．
【教学与建议】教学：通过平行四边形教具类比到矩形，体会矩形与平行四边形的区别和联系．建议：在展示平行四边形教具的变化情况后让学生说出矩形的特征．
命题角度1　利用矩形的性质计算线段的长或角的度数
矩形的对角线相等且互相平分．
【例1】(1)如图，矩形ABCD对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为__4__cm；
　　　
(2)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝12，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为__3__．
命题角度2　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
利用直角三角形中线的性质计算线段长度或面积等．
【例2】(1)如图，一根长a m的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离__不发生__(选填“发生”或“不发生”)变化．
　　　　
(2)如图，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD＝__8__．
命题角度3　利用矩形的性质构造全等三角形
利用矩形的性质构造全等三角形，从而得到新的线段相等、角相等．
【例3】(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF.求证：OE＝OF.
证明：四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD.
∴∠ADC－∠ODC＝∠BCD－∠OCD，即∠EDO＝∠FCO.
在△ODE和△OCF中，
∴△ODE≌△OCF(SAS)，∴OE＝OF.
(2)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°，∴∠BFE＝∠CED，
∴∠BEF＝∠EDC.
在△EBF和△DCE中，
∴△EBF≌△DCE(ASA)，∴BE＝CD，∴BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD＝45°，
∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.
高效课堂　教学设计
1．了解矩形的定义，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．发现直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，并能运用矩形的性质．
▲重点
矩形的概念及性质．
▲难点
矩形的性质在解决问题中的应用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．平行四边形具有哪些性质？
2．菱形是特殊的平行四边形，它具有哪些性质？
3．今天我们继续学习另一种特殊的平行四边形——矩形，先来观看平行四边形角度变化的动画．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】矩形的定义
教师：同学们知道矩形特殊在什么地方吗？我们来看一下矩形的定义：(课件展示变化的过程)
归纳：有一个角是__直角__的__平行四边形__叫做矩形(通常也叫长方形)．
【探究2】矩形的性质定理
教师：同学们还有什么发现？
学生：矩形是特殊的平行四边形．
教师：所以矩形具有一般平行四边形的所有性质．
请同学们画一个矩形，结合图形探究一下，矩形除了具有一般平行四边形的性质外还有哪些特殊的性质呢？
学生动手画图，结合图形思考并给出结论．
教师结合学生给出的结论引导学生分别从边、角、对角线三个方面来探究．
我们说矩形是特殊的平行四边形，那么它特殊在什么地方？(展示矩形图形)
学生猜想：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
教师：同学们给出了两个特殊的性质，对不对呢？我们一起来验证一下：(课件展示)
矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O.
求证：(1)∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；
(2)AC＝DB.
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(　矩形的对角相等　)，
AB∥DC(　矩形的对边平行　).
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°.
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC(　矩形的对边相等　).
在△ABC和△DCB中，
∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB.∴AC＝DB.
归纳：
【探究3】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
教师：下面请同学们结合矩形的性质来填空．(课件展示)
练一练：如图，在矩形ABCD中：
①AB∥__CD__，AB＝__CD__，AD∥__BC__，AD＝__BC__；
②∠BAD＝∠__ADC__＝∠__BCD__＝∠__ABC__＝90°；
③AC＝__BD__＝2__OA__＝2__OB__＝2__OC__＝2__OD__．
教师：请同学们看图并思考：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是__OB__，它与斜边的关系是OB＝____AC.
学生：斜边AC上的中线是OB，它与斜边的关系是OB＝AC.
归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P13例1)如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5，求这个矩形对角线的长．
【方法指导】矩形性质的应用．
解：方法一：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝__BD__(矩形的对角线相等)，OA＝OC＝__AC__，OB＝OD＝__BD__(矩形的对角线互相平分)，
∴OA＝__OD__．
∵∠AOD＝120°，∴∠ODA＝∠OAD＝×(180°－120°)＝30°.
又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，
∴BD＝2__AB__＝2×__2.5__＝5.
故这个矩形的对角线的长为5.
方法二：∠AOD＝120°→∠AOB＝60°→OA＝OB＝AB→AC＝2OA＝2×2.5＝5.
例2　如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，AE＝BC.求证：CE＝EF.
【方法指导】CE，EF分别是BC，AE线段上的一部分，若AF＝BE，则问题得以解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，且AD∥BC，AD＝BC，∴∠1＝∠2.
∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°.∴∠B＝∠AFD.
又∵AE＝BC，AD＝BC，∴AD＝AE，
∴△ABE≌△DFA(AAS)，∴AF＝BE.
∵EF＝AE－AF，EC＝BC－BE，∴EF＝EC.
此题还可以连接DE，证明Rt△DEF≌Rt△DEC，得到EF＝EC.
◆活动4　随堂练习
1．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB，点G，H分别在AD，BC上，连接BG，DH，且BG∥DH，当等于多少时，四边形BHDG为菱形(C)
A． B． C． D．
　　　　　
2．如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为__5__．
3．教材P13随堂练习．
解：∵OA＝4，∴BD＝AC＝2OA＝8，AD＝BC＝＝＝2.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课你学到了什么？还有什么困惑吗？
教学说明：本节课学习了矩形的概念和性质定理，知道矩形的对角线互相平分且相等，并会灵活应用．
作业：课本P13习题1.4中的T1、T2、T3.
本节课在平行四边形及菱形的教学后，学生已经学会自主探索的方法，自己动手猜想验证矩形的一些特殊性质，对于一些相关矩形的计算也学会应用转化为直角三角形的方法来解决．
通过本节课的学习，学生能够接受有关矩形的知识．但是学生的动手操作能力还有待提高．

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