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3　正方形的性质与判定
第1课时　正方形的性质
●归纳导入　在小学学过有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形既是矩形又是菱形，它都有什么性质呢？
(1)边的性质：__正方形的四条边都相等__；
(2)角的性质：__正方形的四个角都是直角__；
(3)对角线的性质：__正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角__；
(4)对称性：__轴对称、中心对称__．
【教学与建议】教学：归纳矩形、菱形的性质探求正方形的性质．建议：通过演示操作，发现正方形与矩形、菱形之间存在的特殊与一般的关系．
●情景导入　做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
今天我们先来学习正方形的有关知识．
【教学与建议】教学：实际操作从矩形中折叠出正方形，感知正方形．建议：借助图形的特征从边、角、对角线、对称性上分析．
命题角度1　利用正方形的性质解决线段、角度的问题
正方形的四条边都相等，正方形的四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分．
【例1】(1)如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE＝BC，则∠BEC为(C)
A．45° B．60° C．67.5° D．82.5°
　　　　　
(2)如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别于正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E.若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__13__．
命题角度2　利用正方形的性质求解与面积有关的问题
利用正方形轴对称性可以将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．
【例2】(1)用两条直线四等分正方形的面积，不同的画法有(D)
A．一种 B．两种 C．三种 D．无数种
(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E，F是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J.则图中阴影部分的面积等于(B)
A．1 B． C． D．
命题角度3　利用正方形的性质求最小值
在矩形或正方形中，可以根据垂线段最短或根据两点之间线段最短求最小值．
【例3】(1)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为(B)
A．4 B．2 C．2 D．1
　　　
(2)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上的一个动点，PF＋PE的最小值是____．
命题角度4　正方形与其他图形的组合
综合运用正方形、矩形、三角形等图形的性质，考查综合运用所学知识推理论证的能力．
【例4】(1)如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为(B)
A． B．2 C．＋1 D．2＋1
(2)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是__30°或150°__．
高效课堂　教学设计
1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．
2．会利用正方形的性质进行相关计算和证明．
▲重点
探索正方形的性质定理．
▲难点
正方形的性质的应用方法．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
显示投影片：展示生活中有关正方形的图片(多幅幻灯片)．
教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：
1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形的四条边有什么关系？四个角呢？
2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？
3．正方形具有哪些性质呢？
学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片，进行联想．易知：正方形的四条边都相等(小学已学过)；正方形的四个角都是直角(小学已学过)．
试验活动：教师拿出矩形按下图折叠，然后展示，让学生发现：只要矩形有一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，框架变形过程中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】正方形的概念
问题：什么样的图形叫做正方形？
归纳：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．有一个角是直角的__菱形__是正方形．有一组__邻边相等__的矩形是正方形．
【探究2】正方形的性质
组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：
学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以具有菱形的一切性质．
归纳：正方形的性质：
(1)边的性质：对边__平行且相等__，四条边都__相等__．
(2)角的性质：四个角都是__直角__．
(3)对角线的性质：两条对角线__互相垂直平分__且__相等__，每条对角线__平分一组对角__．
(4)对称性：是__轴对称图形__，有__四__条对称轴，也是__中心__对称图形．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P21例1)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
【方法指导】正方形的性质及三角形全等的应用．
解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)，
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴BE＝DF；
(2)延长BE交DF于点M，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF.
∵∠DCF＝90°，
∴∠CDF＋∠F＝90°，
∴∠CBE＋∠F＝90°，
∴∠BMF＝90°，
∴BE⊥DF.
例2　如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，求DE的长．
【方法指导】过点E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长．
解：过点E作EF⊥CD于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠BDC＝45°，
∴∠EDF＝45°，∴EF＝DF.
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO＝EF.
又∵∠EOC＝∠EFC＝90°，EC＝EC，
∴Rt△CEO≌Rt△CEF.
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC＝，
∴CO＝AC＝，
∴CF＝CO＝，
∴DF＝DC－CF＝1－，
在Rt△DEF中，由勾股定理，得
DE＝＝－1.
◆活动4　随堂练习
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A)
A．对角线互相平分
B．对角线相互垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(C)
A．14　　　B．15　　　C．12　　　D．17
3．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，0)，则点C，D的坐标分别为__(1，0)__和__(1，1)__．(只写一组)
4．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DC，BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，求∠EAF的度数．
解：在Rt△ABF和Rt△AGF中，
AB＝AG，AF＝AF，
∴Rt△ABF≌Rt△AGF(HL)，
∴∠BAF＝∠FAG.
同理可证：∠GAE＝∠DAE，
∵∠BAD＝90°＝∠BAG＋∠GAD＝2∠FAG＋2∠GAE，
∴∠FAG＋∠GAE＝45°，
即∠EAF＝45°.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：你这节课的收获是什么？
教学说明：正方形的性质：四个角都是直角、四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，灵活运用其性质和定义解决数学问题．
作业：课本P22习题1.7中的T1、T2、T3、T4.
本节课让学生在知道正方形是特殊的菱形和矩形的基础上，小组讨论得出正方形的性质，有利于学生的自主学习．通过学生的动手操作，讨论如何剪成正方形，培养学生的动手能力和思维能力．

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