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第2课时　正方形的判定
●复习导入　(1)正方形的定义：有一组邻边相等，且有一个角为直角的__平行四边形__叫正方形．
(2)正方形的性质：①__四__条边都__相等__；②__四__个角都是__直角__；③对角线__相等__，并且互相__垂直平分__，每条对角线__平分__一组对角；④是__轴对称__图形，且有__四条__对称轴．
(3)正方形是特殊的__矩形__，特殊的__菱形__，也是特殊的__平行四边形__，因而正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
(4)讨论：正方形的判定方法有哪些？
正方形的判定既判定四边形是__矩形__，又判定四边形是__菱形__．
【教学与建议】教学：通过复习正方形的定义和性质，导入学习正方形的判定．
●类比导入　我们学行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中．
【教学与建议】教学：通过填写，让学生理解正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形．建议：类比平行四边形、矩形、菱形与正方形的联系与区别．
命题角度1　添加条件判定正方形
结合四边形已知条件进行推理判定正方形．
【例1】(1)已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，下列四种选法错误的是(B)
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
(2)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需要增加一个条件是__AC＝BD(或AB⊥BC等)__(填一个即可)．
命题角度2　利用矩形判定四边形是正方形
在判定一个矩形是正方形时，找到对角线互相垂直或有一组邻边相等即可．
【例2】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB＝∠CBD；
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°.
又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．
∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN，∴四边形MPND是正方形．
命题角度3　利用菱形判定四边形是正方形
在判定一个菱形是正方形的时候，证明有一个直角或对角线相等即可．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：∵A(－2，0)，B(0，－2)，
∴OA＝2，OB＝2.
∴AB＝＝2.
同理可求得AD＝2，BC＝2，DC＝2.
∴AB＝BC＝CD＝DA.
∴四边形ABCD为菱形．
∵BD＝AC＝4，∴四边形ABCD为正方形．
命题角度4　特殊四边形的综合应用
正方形是一种特殊的四边形，利用正方形的性质探索线段、角之间的问题．
【例4】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于点E，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明理由；
(3)若点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由；
解：(1)∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.
又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE.
又∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；
(2)四边形BECD是菱形．理由如下：
∵D为AB中点，∴AD＝BD，
又∵CE＝AD，∴BD＝CE.
∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，
∵D为BA的中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，
由(2)知四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
高效课堂　教学设计
1．掌握正方形的判定方法，并会用正方形的性质及判定进行有关论证和计算．
2．了解正方形、平行四边形、矩形、菱形的联系与区别．
▲重点
正方形的判定方法．
▲难点
正方形性质与判定的综合运用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
宁宁在商场看中了一块方形纱巾，但不知是否是正方形，只见销售员阿姨拉起纱巾的一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，只见另一组对角也能完全重合，销售员阿姨认为是正方形，把纱巾给了宁宁．你认为宁宁看中的纱巾一定是正方形吗？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】探索正方形的判定条件：
学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡视其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法：
(1)直接用正方形的定义判定，即先判定四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；
(2)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
(3)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形．
归纳：有一组邻边相等，并且有一个角是__直角__的__平行四边形__是正方形；有一组邻边__相等__的__矩形__是正方形；有一个角是__直角__的__菱形__是正方形．
【探究2】正方形判定方法的应用
思考：判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．
(1)四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
(2)四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
(3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
方法一：对角线互相__平分__的四边形是平行四边形，对角线__相等__的平行四边形是矩形，对角线互相__垂直__的平行四边形是菱形，所以是__矩形__又是__菱形__的四边形是正方形．
方法二：
→正方形
方法三：由对角线互相垂直平分可知是__菱形__，由对角线互相平分且相等可知是__矩形__，而既是菱形又是矩形的四边形就是__正方形__．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P23例2)已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形．
【方法指导】平行四边形→矩形→正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴ BECF是菱形(菱形的定义).
在△EBC中，
∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°，
∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
例2　如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
【方法指导】(1)用AAS证明△BED≌△CFD；(2)先证明是矩形，再用邻边相等的矩形判定正方形．
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD.
∵D为BC边的中点，∴BD＝CD.
∴△BED≌△CFD(AAS)；
(2)∵∠A＝90°，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴四边形DFAE是矩形．
∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF.
∴四边形DFAE是正方形．
◆活动4　随堂练习
1．下列选项中不能判定四边形ABCD是正方形(对角线相交于点O)的是(C)
A．AB綊CD，AB＝AD，∠A＝90°
B．AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°
C．∠A＝∠B＝∠C＝90°，AC＝BD
D．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD
2．若一个正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是__8__．
3．如图，在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若BE＝4，则S四边形ABCD＝__16__．
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：1.你这节课的收获是什么？
2．可以运用哪些方法证明一个四边形是正方形？
教学说明：通过对比平行四边形、菱形、矩形研究正方形的判定方法．
作业：课本P25习题1.8中的T1、T2、T3、T4.
本节课通过动手操作和探究的过程，使学生亲自发现结果的来龙去脉．这样既发展了学生的动手操作能力，又训练了学生思维的层次性、灵活性，有助于创新能力的培养．

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