资源简介

11.1.2　三角形的高、中线与角平分线
11．1.3　三角形的稳定性
●类比导入　如图，在△ABC中，有一条线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段(AD，AE，…)中，有没有特殊位置的线段？
(1)在这些线段中，线段AD垂直于边BC；
(2)线段AE经过边BC的中点；
(3)线段AF平分∠BAC.
同学们通过观察、思考，找到了具有特殊位置的线段：三角形的高、中线和角平分线．这三条线段是三角形的重要线段．
【教学与建议】教学：从学生已有的知识出发，通过多媒体动画操作，培养学生从一般到特殊的转化思想．建议：教学中要鼓励学生动手实践，探究新知．
●复习导入　1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？怎样画？
2．已知在△ABC中，BC＝5 cm，高AD＝4 cm，求△ABC的面积．
3．请自学三角形的高、中线、角平分线的概念，你能将它们画出来吗？
学生自主学习课本的内容，画一画，弄清下面的问题：
(1)什么叫三角形的高？三角形的高与垂线有何区别与联系？三角形的高所在直线有什么关系？
(2)什么叫三角形的中线？连接两点的线段与过两点的直线有何区别与联系？三条中线的位置有什么关系？
(3)什么叫三角形的角平分线？三角形的角平分线与角的平分线有何区别与联系？三条角平分线的位置有什么关系？
(4)三角形的高、中线和角平分线分别是线段、射线、直线中的哪一种？
【教学与建议】教学：通过学生的动手操作、交流、讨论，掌握三角形的高、中线、角平分线的画法．建议：教学中让学生自学完成概念、表示方法、数学语言的教学．
●情景导入　在我们的生活中几乎随处可见三角形，它简单有用．如：人字型屋顶钢架、风筝骨架，并从中抽象出数学图形，为什么要构成三角形形状呢？三角形有什么特殊的性质，又有哪些特殊线段呢？
　　
【教学与建议】教学：创设现实情境，激发学生的学习兴趣．建议：列举生活中三角形的图例，抽象出三角形重要线段．
命题角度1　利用三角形的中线解决倍数问题
利用三角形的中线不仅可以解决线段的倍数关系问题，也可以解决面积的相等或倍数关系问题．
【例1】如果等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12 cm和21 cm两部分，那么它的底边长为__5__cm.
【例2】如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是__2__．
命题角度2　利用三角形的高解决三角形面积问题
当已知三角形的两条高求其他边长或已知一高与其他边长求另一高时，常用面积作为中间量．
【例3】如图，在△ABC中，BC边上的高是__AB__；
在△AEC中，AE边上的高是__CD__；
在△AEC中，EC边上的高是__AB__；
若AB＝CD＝4，AE＝5，则△AEC的面积S＝__10__，CE＝__5__．
命题角度3　利用三角形的稳定性解决生活中的应用问题
三角形的稳定性是三角形特有的性质．
【例4】下列图形中，不具有稳定性的是(B)
【例5】如图，为了让椅子更加稳固，军军在椅子的两侧各钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的数学原理是利用了三角形的__稳定性__.
命题角度4　三角形的高、中线、角平分线的综合应用
(1)关于角度的计算，如果有三角形的高这一条件时，要利用90°的角；见到角平分线这一条件时，要利用角相等．(2)关于线段、周长或面积比值的问题，要利用线段的中线或高线．(3)要利用方程思想、分类思想．
【例6】如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，AB＝3，AC＝5，DE＝2，点D到AB的距离是____．
【例7】如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3 cm，AC＝4 cm，BC＝5 cm，∠BAC＝90°.
(1)求AD的长；
(2)求△ABE的面积；
(3)求△ACE和△ABE的周长的差．
解：(1)∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
∴AB·AC＝BC·AD，
∴AD＝＝＝2.4(cm)；
(2)∵AE是△ABC的中线，
∴S△ABE＝S△ABC＝××3×4＝3(cm2)；
(3)∵AE为斜边BC的中线，∴BE＝CE，
∴△ACE的周长－△ABE的周长＝(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝4－3＝1(cm).
高效课堂　教学设计
1．掌握三角形的高、中线、角平分线的性质，并会运用这些性质解决问题．
2．准确画出三角形的高、中线与角平分线．
3．了解三角形具有稳定性．
▲重点
三角形的高、中线与角平分线的性质.
▲难点
三角形的高、中线与角平分线的应用．
◆活动1　新课导入
问题1：图中共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来．
答：图中共有5个三角形．分别是△ABC，△ABD，△ACD，△ADE，△CDE.
问题2：利用长为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm的四条线段可以组成几个三角形？为什么？
答：可以组成3个三角形．从四条线段中任选三条，共有四种选法：①2 cm，3 cm，4 cm；②3 cm，4 cm，5 cm；③2 cm，3 cm，5 cm；④2 cm，4 cm，5 cm.其中满足“三角形两边之和大于第三边”的只有第①，②，④这三组．
◆活动2　探究新知
1．给出一个△ABC，请你作出该三角形的高．
提出问题：
(1)如何作三角形的高？
(2)一个三角形有几条高？
(3)能用折纸的方法折出你准备好的三角形的高吗？
(4)通过画不同的三角形的高，你能发现什么特点？三角形的高一定在三角形的内部吗？
学生完成并交流展示．
2．给出一个△ABC，请你作出该三角形的中线．
提出问题：
(1)如何作一个三角形的中线？
(2)一个三角形有几条中线？
(3)分别作出不同三角形的中线，你有什么发现？
学生完成并交流展示．
3．给出一个△ABC，请你作出该三角形的角平分线．
提出问题：
(1)如何作一个三角形的角平分线？
(2)一个三角形有几条角平分线？
(3)三角形的角平分线与一个角的平分线有何区别？
(4)不同的三角形，它们的角平分线有何特点？
学生完成并交流展示．
4．教材P6　探究．
提出问题：(1)在图(1)，(2)，(3)中，哪些能扭动？哪些不能扭动？
(2)图(3)与图(2)的区别是对角添加了一根木条，达到了什么目的？说明了什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点与__垂足__之间的__线段__叫做三角形的高．
2．在三角形中，连接一个顶点和它所对边__中点__的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的__重心__．
3．在三角形中，一个内角的平分线和它的对边相交于一点，这个角的__顶点__与__交点__之间的线段叫做三角形的角平分线．
4．三角形的三条边确定后，三角形的形状就唯一确定，这就是三角形的__稳定性__.四边形具有__不稳定性__．
◆活动4　例题与练习
例1　下列说法正确的是(B)
①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、三条高和三条角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．
A．③④ B．③ C．②③ D．①④
例2　如图，已知△ABC，根据要求画图．
(1)画BC边上的高；
(2)画∠C的平分线；
(3)将△ABC分成面积相等的两部分．
解：如图．(1)线段AD即为所求；
(2)CE即为∠ACB的平分线；
(3)中线BF将△ABC分成面积相等的两部分．(答案不唯一)
练习
1．教材P5　练习第1，2题．
2．教材P7　练习．
3．下列说法：①自行车的三脚架；②三角形房架；③照相机的三角架；④门框的长方形架．其中利用三角形稳定性的有__①②③__．(填序号)
◆活动5　课堂小结
1．三角形的高、中线、角平分线的性质．
2．三角形的稳定性．
1．作业布置
(1)教材P9　习题11.1第8，9题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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