资源简介

11.2　与三角形有关的角
11．2.1　三角形的内角
第1课时　三角形的内角和定理
●情景导入　用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B，C为定点，A为动点(如图所示)，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们观察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC，△A2BC，△A3BC，……，其内角会产生怎样的变化呢？从中你对△ABC三个内角的和有何猜想呢？在小学我们通过测量的方法得到三角形的内角和是180°，有没有能证明三角形的内角和是180°的方法呢？
【教学与建议】教学：创设情景，激发学生的学习兴趣，引出本节课要研究的内容．建议：教师进行演示试验，在观察的基础上猜测三角形的内角和是180°.
●归纳导入　如图①，将△ABC的三个内角剪下，随意将它们拼合在一起，你有几种拼合方法，经过拼合你能发现什么？
拼法一：如图②，把三个角的顶点重合，观察、发现：三角形的三个内角的和为180°.
拼法二：如图③，过点A作一条与BC平行的直线，你能通过推理发现三角形的三个内角的和为180°吗？
　　　　　　　　
【归纳】三角形内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．
【教学与建议】教学：推理验证，主体探究，探索三角形的内角和等于180°.建议：教师要留给学生足够的时间和空间，让学生自主探索解决方案．
●置疑导入　多媒体展示：(三兄弟之争)在一个直角三角形村庄里，住着三个内角，平时它们非常团结，有一天，老三不高兴了，对老大说：“凭什么你的度数最大，我也要和你一样大！”老大说：“这是不可能的，否则我们这个家庭就要被拆散，围不起来了！”“为什么呢？”老二、老三纳闷起来……
同学们，你们知道其中的道理吗？
【教学与建议】教学：通过创设问题情景导入课题，为本节课顺利学习三角形内角和定理及证明做好准备．建议：学生自主回答，小组讨论怎么证明三角形内角和定理．
命题角度1　根据三角形各角之间的关系求角的度数
此类问题主要是利用三角形的内角和定理构造方程进行计算．
【例1】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则这个三角形是(C)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法判定
【例2】如图，△ABC的三个内角的大小分别为x°，x°，3x°，则x的值为__36__．
命题角度2　三角形的内角与角平分线和高的综合运用
三角形内角和定理往往与三角形的高和角平分线相结合，综合平行线的性质，运用等量代换解决问题．
【例3】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为(C)
A．44° B．40°
C．39° D．38°
【例4】如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，点B，C，D在同一条直线上，FD∥EC，∠D＝42°，则∠B的度数是__50°__．
命题角度3　三角形内角和定理的证明
证明三角形内角和定理，可以用拼合法、平行线的方法设法把三个角集中在一起转化成平角．
【例5】如图，△ABC是任意一个三角形．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：过点A作EF∥BC.
∵EF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
∵∠1＋∠2＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
即∠A＋∠B＋∠C＝180°.
高效课堂　教学设计
1．探索并掌握三角形内角和定理．
2．学会运用三角形内角和定理．
▲重点
三角形内角和定理．
▲难点
三角形内角和定理的推导过程．
◆活动1　新课导入
1．问题：三角形的内角和是多少度？
2．在直角△ABC中，∠C＝90°，则∠A与∠B的关系是____∠A＋∠B＝90°__．
3．三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为__100°__．
本节课我们一起学习有关三角形内角和的有关知识．
◆活动2　探究新知
1．现在有一副三角板．
提出问题：
(1)每个三角板的每个角各是多少度？
(2)每个三角板三个内角的和各是多少度？
(3)猜一猜，任意一个三角形的三个内角和都相同吗？等于多少度？
学生完成并交流展示．
2．教材P11　探究．
提出问题：
(1)在图(1)中，直线l与△ABC的边BC有什么关系？
(2)在图(2)中，直线l与△ABC的边AB有什么关系？
(3)利用图(1)或图(2)能证明三角形的内角和定理吗？这样证明的依据是什么？
(4)你还能想出其他方法证明三角形的内角和定理吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
三角形的内角和定理：__三角形三个内角的和等于180°__．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P12　例1.
例2　教材P12　例2.
例3　若△ABC的一个内角∠A是另一个内角∠B的，也是第三个内角∠C的，求△ABC三个内角的度数．
解：依题意，得∠A＝∠B，∠A＝∠C，
∴∠B＝∠A，∠C＝∠A.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠A＋∠A＝180°，
∴∠A＝48°，∠B＝72°，∠C＝60°.
例4　如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的数量关系．
解：由折叠的性质，得∠CEF＝∠C′EF，∠CFE＝∠C′FE.
∴∠1＝180°－2∠CEF，∠2＝180°－2∠CFE，
∴∠1＋∠2＝360°－2(∠CEF＋∠CFE)＝360°－2(180°－∠C)＝2∠C，
即∠1＋∠2＝2∠C.
练习
1．教材P13　练习第1，2题．
2．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是(C)
　A．80° B．70° C．60° D．50°
　　　　　　
3．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC.若∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是(A)
A．40° B．35° C．50° D．45°
4．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__30°__．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，求∠BPC的度数．
解：∵∠A＝40°，∠ACB＝∠ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°.
又∵∠1＝∠2，∴∠BCP＝∠ABP，
∴∠2＋∠BCP＝∠2＋∠ABP＝∠ABC＝70°，
∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)＝180°－70°＝110°.
◆活动5　课堂小结
三角形的内角和定理．
1．作业布置
(1)教材P16　习题11.2第3，9题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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