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第2课时　直角三角形中两锐角的关系
●情景导入　如图，将一根旗杆MN竖直固定在地面上，为了安全起见，在旗杆的点A处安装拉线，使拉线AB与旗杆的夹角∠BAN＝60°，为了保证角度准确，在地面固定拉线端点B时，应使拉线与地面的夹角∠ABN的度数是多少？
【教学与建议】教学：创设有关直角三角形的问题情景体现了几何知识在实际生活中的应用．建议：学生可以结合三角形内角和知识解答，体现了新旧知识之间的联系，应用本节所学知识“直角三角形的两个锐角互余”解答更显简洁．
●归纳导入　我们学习几何知识，经常先学习一般图形，再重点学习特殊图形，先学习两角和的计算，再重点学习互余、互补．比如先学习两条直线相交，再重点学习两条直线垂直；先学习任意图形中的“三线八角”，再重点学习平行线中的“三线八角”．学习三角形也是一样的“套路”，先学习一般的三角形，再重点学习特殊的三角形，那么“特殊的三角形”有哪些呢？直角三角形有哪些特殊的性质呢？
【教学与建议】教学：通过对教材知识体系的编排，让学生明白学习几何知识的“一般套路”．建议：教师列举出几个“一般——特殊”的知识体系后，可以让学生仿照说出几个类似的例子．特殊的三角形有直角三角形、等腰三角形和等边三角形等．
命题角度1　直角三角形的性质
在直角三角形中，结合“同角或等角的余角相等”找出更多角的关系，从而解决有关角度的问题．
【例1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝20°，则∠A的度数为(D)
A．40° B．60° C．35° D．55°
【例2】如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF，∠DBC的度数．
解：∵CE⊥AF，∴∠DEF＝90°，
∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.
∵∠BDC＝∠EDF＝50°，
∴∠DBC＝180°－∠BDC－∠C＝180°－50°－30°＝100°.
命题角度2　直角三角形的判定
判定一个三角形是直角三角形的方法：(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形．
【例3】在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有__①②__．(填序号)
【例4】如图，E是△ABC的边AC上一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？
解：△ABC是直角三角形．
理由如下：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，
∴∠1＋∠A＝90°.
又∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°，
∴∠C＝180°－(∠2＋∠A)＝180°－90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
命题角度3　直角三角形的应用
利用直角三角形两个锐角互余解决方位角的问题．
【例5】如图，铁塔CD垂直竖立于地面，从A处观测铁塔顶部D处的仰角∠CAD＝45°，从B处观测D处的仰角∠CBD＝60°，点A，B，C在同一直线上．求∠ADB的度数．
解：由题意，得∠ACD＝90°，∠CAD＝45°，∠CBD＝60°，
在△ACD中，∠ADC＝90°－∠CAD＝90°－45°＝45°.
在△BCD中，∠BDC＝90°－∠CBD＝90°－60°＝30°，
∴∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝45°－30°＝15°.
一个火柴游戏
你能只用六根火柴摆出12个直角三角形吗？看到这个问题，可能很多同学都是随口就回答，不可能！但真的是这样吗？请大家不妨看下面的图：
通过清点发现，确实有12个直角三角形，你也可以用一张纸片进行验证，想一想怎么说明这12个三角形都是直角三角形．
高效课堂　教学设计
1．了解直角三角形两个锐角的关系．
2．掌握直角三角形的判定．
▲重点
了解直角三角形两个锐角的关系，掌握直角三角形的判定．
▲难点
掌握直角三角形的判定，会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算．
◆活动1　新课导入
三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°建立方程来解决．
◆活动2　探究新知
1．教材P13 　练习下面的内容．
提出问题．
(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A与∠B之间有什么关系？
(2)你能证明吗？如何证明？
学生完成并交流展示．
2．在△ABC中，若∠B＋∠A＝90°，那么△ABC是什么形状的三角形？并说明理由．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．直角三角形的两个锐角__互余__．
2．有两个角互余的三角形是__直角__三角形．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P14　例3.
例2　如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么．
解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，
∴△ADE是直角三角形，∴∠1＋∠A＝90°.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°，
∴∠C＝180°－(∠2＋∠A)＝180°－90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
例3　(1)如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.试猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；
(2)如图②，在△ABC中，如果∠BAC是钝角，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．
解：(1)∠1＝∠2.理由如下：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2；
(2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.
又∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.
练习
1．教材P14　练习第1，2题．
2．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE平分∠ABC交边AC于点E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的度数是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　A．15° B．20° C．25° D．30°
　　　　　
3．如图，将有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点分别放在长方形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是__12°__．
4．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形．
解：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠DFE的平分线，
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE，
∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°，
∴△EPF为直角三角形．
◆活动5　课堂小结
1．直角三角形的性质——两锐角互余．
2．直角三角形的判定——有两角互余的三角形是直角三角形．
1．作业布置
(1)教材P16　习题11.2第4，10题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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