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第一章　勾股定理
1　探索勾股定理
第1课时　探索勾股定理
●情景导入　我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边．对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系；那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理．出示动画，请同学们观察动画，我国科学家曾向太空发射勾股图，试图与外星人沟通．如图，在2002年的国际数学家大会上采用弦图作为会标，这个弦图为什么会有如此大的魅力呢？它蕴含着怎样的迷人奥妙呢？
【教学与建议】教学：复习三角形，展示弦图，点燃学生的求知欲．建议：让学生思考弦图的构成，为探索勾股定理埋下伏笔．
●置疑导入　做一做：观察图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm.请你用直尺测量出边AB的长度．
　　　
填一填：观察图②，以△ABC的三边为边分别作正方形，S①＝__16__cm2，S②＝__9__cm2，S③＝__25__cm2，__S③__＝__S①__＋__S②__．
想一想：结合以上行为，在Rt△ABC中，试着探索出Rt△ABC的三边满足怎样的数量关系．
【教学与建议】教学：构造正方形，利用正方形的面积能让学生快速地发现勾股定理，同时也为后续利用面积法验证勾股定理做了铺垫．建议：提前观察地板镶嵌图案等方式感受勾股定理的存在，理解并探索勾股定理．
命题角度1　利用勾股定理求长度
在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
【例1】(1)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(A)
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC＝__8__．
命题角度2　利用勾股定理求面积
在处理几何问题时可以根据图形的性质，通过代数的运算“算”出结果．
【例2】(1)如图，字母A所表示的正方形的面积是(C)
A．49 B．25 C．24 D．74
　　　
(2)如图，三块正方形竹板的顶点相接触构成一个直角三角形，若两个小正方形竹板的面积分别为81 cm2和99 cm2，则大正方形竹板的面积为__180__cm2.
命题角度3　勾股定理与面积问题
求与直角三角形有关的图形面积，往往需要借助勾股定理求第三条边的长，再求出图形的面积．
【例3】(1)如图，S阴影＝__16__．
　　　
(2)如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是__19__．
命题角度4　利用勾股定理解决实际问题
熟练掌握直角三角形三边关系并且灵活运用这一定理解决实际问题．
【例4】(1)如图，做一个长80 cm，宽60 cm的长方形木框，需在相对角的顶点加一根加固木条，则木条的长为(B)
A．90 cm B．100 cm C．105 cm D．110 cm
　　　
(2)在高为5 m，坡长为13 m的楼梯表面铺上地毯，地毯的长度至少为__17__m.
高效课堂　教学设计
1．用数格子的方法探索直角三角形的三边关系，掌握勾股定理的内容．
2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思维过程，体会数形结合和从特殊到一般的思想方法．
3．探索并理解直角三角形三边之间的数量关系，提高学生的推理能力．
▲重点
探索勾股定理并利用勾股定理解决问题．
▲难点
在方格纸上通过计算图形面积的方法探索勾股定理．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
请同学们观察动画，我国科学家曾向太空发射勾股图，试图与外星人沟通．如图，在2002年的国际数学家大会上采用弦图作为会标，它为什么会有如此大的魅力呢？它蕴含着怎样迷人的奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
1．在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三边长，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴交流．
2．(1)观察课本图1－2，正方形A中有__9__个小方格，即A的面积为__9__平方单位．(投影课本图1－2)
正方形B中有__9__个小方格，即B的面积为__9__平方单位．
正方形C中有__18__个小方格，即C的面积为__18__平方单位．
(2)你是怎样得出上面的结果的？学生思考交流并加以回答．
(3)图1－2中，A，B，C的面积之间有什么关系？
学生交流后形成共识，教师板书：SA＋SB＝SC.
【探究2】
我们也不难发现课本图1－2中的直角三角形是等腰直角三角形．如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种关系呢？(投影课本图1－3)
(1)教材图1－3中，A，B，C的面积是否还满足上面的关系？你是如何计算的？
答：A，B，C的面积还满足上面的关系，即SA＋SB＝SC，是通过数格子的方法计算的．
(2)如果直角三角形的两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？
答：仍然成立．
(3)你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？
【归纳】勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于__斜边的平方__．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么__a2＋b2＝c2__．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1)若a＝6，b＝8，求c的值；
(2)若a＝5，c＝13，求b的值．
【方法指导】运用勾股定理求解．
解：(1)由勾股定理，得c2＝a2＋b2＝62＋82＝100.
∵102＝100，∴c＝10；
(2)由勾股定理，得b2＝c2－a2＝132－52＝144.
∵122＝144，∴b＝12.
【例2】如下表，表中每行所给的三个数a，b，c，有a3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 …… 19，b，c
32＋42＝52 52＋122＝132 72＋242＝252 92＋402＝412 …… 192＋b2＝c2
【方法指导】运用勾股定理a2＋b2＝c2，及c＝b＋1求解．
解：由题意，得解得b＝，c＝，
∴当a＝19时，b＝180，c＝181.
◆活动4　随堂练习
1．求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度(口答)．
　　　
解：(1)400；(2)8.
2．如图，点E在正方形ABCD内，且∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C)
A．48 B．60 C．76 D．80
　　　　
3．如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行(B)
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
4．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9 cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是__81__cm2.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：1.你这节课的主要收获是什么？
2．在探索勾股定理的过程中，我们运用了哪些方法？
教学说明：梳理本节课的重要方法和知识点，加深对本节课知识的理解．
作业：课本P3随堂练习T1、T2，P4习题1.1中的T1、T2、T3、T4.
这节课从探究定理、总结定理到练习的处理都是引导学生完成的，多数学生在小组活动中表现积极，找出了许多解决问题的办法，乐于与小组其他成员合作，愿意与同伴交流自己的想法，有解决问题的自信心，不回避困难，教师参与到学生的活动中，使每个同学得到了不同程度的发展．

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