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3　勾股定理的应用
●置疑导入　如图①，有一个圆柱，它的高等于8 cm，底面上圆的周长等于12 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
　　
(1)自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
(2)如图②，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？
(3)蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【教学与建议】教学：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短路程问题转化为平面最短距离问题，并利用勾股定理求解．建议：学生分小组合作探究蚂蚁爬行的最短路线，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法．
●情景导入　多媒体投影图片，引出问题：有一块长方形绿地，绿地周边是小路，在绿地旁边的B处有健身器材．居住在A处的居民为了走近路而不惜践踏草地直接从A到B.
(1)各位同学，你知道他们为什么不走绿地周边的小路吗？
(2)如图，假设入口A到拐角C处3 m，拐角C到健身器材B处4 m，你能计算出直接从A到B，他们少走了几步吗？(假设2步为1 m)
解：∵AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝25，
∴AB＝5 m，5×2＝10(步).
3＋4＝7(m)，7×2＝14(步).
14－10＝4(步).
答：他们少走了4步．
(3)今天我们共同研究一个类似的问题：如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁想吃在B处的食物，同学们想一想，蚂蚁怎么走最近？
【教学与建议】教学：让学生回顾勾股定理以及两点之间，线段最短的知识，为新课的学习做好铺垫．后面又以实际问题引领学生思考导入课题．建议：引导学生把问题转化成用“两点之间，线段最短”解决．
命题角度1　利用勾股定理求平面图形有关线段的长度
利用勾股定理求平面图形有关线段的长度问题，构造直角三角形求解．
【例1】(1)在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则BC＝__6或10__．
(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．
解：在Rt△ABD中，AD＝＝＝.
在Rt△ADC中，AC＝＝＝.
命题角度2　利用勾股定理解决最短路径问题
平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算．
【例2】(1)如图，在底面周长为12 m，高为8 m的圆柱体上有A，B两点，则从A点沿圆柱体表面到B点的最短距离为(C)
A．4 m B．8 m C．10 m D．5 m
　　　
(2)如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2 m、0.3 m、0.2 m，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是__2.5__m.
命题角度3　利用勾股定理解决实际生活中的长度问题
利用勾股定理求长度问题，关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．在构造的直角三角形中，利用勾股定理求解．
【例3】(1)小华想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2 m，当他把绳子的下端拉开10 m后，发现绳子刚好接触到地面，则旗杆的高度是(C)
A．10 m B．12 m C．24 m D．20 m
(2)你听说过亡羊补牢的故事吧？为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高0.9 m，宽1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需__1.5__m__长．
高效课堂　教学设计
1．能灵活运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题．
2．通过观察图形，探索图形间的关系，发展和培养空间观念．
3．在将实际问题抽象成几何图形时，渗透数学建模思想．
▲重点
应用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题．
▲难点
从实际问题中合理抽象出数学模型．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
多媒体投影图片，引出问题：有一块长方形绿地，绿地周边是小路，在绿地旁边的B处有健身器材．居住在A处的居民为了走近路而不惜践踏草地直接从A到B.
问题1：各位同学，你知道他们为什么不走绿地周边的小路吗？
问题2：如图，假设入口A到拐角C处3 m，拐角C到健身器材B处4 m，你能计算出小草受伤的代价是他们少走几步吗？ (假设2步为1 m)
解：AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝25，AB＝5 m，5×2＝10(步).
3＋4＝7(m)，7×2＝14(步).
14－10＝4(步).
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】直角三角形的判定
李叔叔想要检测如图所示的雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
(1)你能替他想办法完成任务吗？
(2)李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，点B，D之间的距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗？
(3)小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
解：(2)∵302＋402＝__502__，
∴__AD2＋AB2__＝__BD2__，
∴AD__⊥__AB.
(3)在AB，AD边上各量出较短的线段AB′，AD′，若__B′D′2＝AB′2＋AD′2__，则__AD⊥AB__.
【归纳】判断线段的垂直关系时，一般是把线段放到三角形中，利用勾股定理的逆定理证得直角三角形，进而得到线段的垂直关系．
【探究2】利用勾股定理求最短距离
吴老师在与同学们进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程．
如图，长方体的长为9 cm，宽为7 cm，高为12 cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表面爬到点C1处，怎样爬行，路线最短？
　　　　
方式一：按照图①方式进行展开，在Rt△AC1C中运用勾股定理计算AC1的长度；
方式二：按照图②方式进行展开，在Rt△AC2B中运用勾股定理计算AC2的长度．
你能求出最短路程吗？
AC＝__(7＋9)2＋122__＝__400__，
AC＝__72＋(9＋12)2__＝__490__．
∵AC∴AC1∴最短路程是图①方式．
【归纳】在立体图形中运用勾股定理解决实际问题，一定要注意转化思想的运用，通常采取的方式是将立体图形进行展开，从而转化为平面图形，接着通过构造直角三角形，运用勾股定理进行问题求解．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P13例题
【方法指导】运用勾股定理求解．
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长度为__x__m，AE的长度为__(x－1)__m.在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，由勾股定理得AE2＋CE2＝AC2，即__(x－1)2＋32__＝x2，解得x＝5.故滑道AC的长为__5__m.
【例2】如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8 cm，8 cm，12 cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒的表面爬到盒顶的点B处，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
【方法指导】展开长方体盒子，转化为平面图形，构造直角三角形，运用勾股定理求解．
解：当蚂蚁沿前面和上底面爬行时，最短路线如答图①所示．
此时，AC＝8 cm，BC＝12＋8＝20(cm).
AB2＝AC2＋BC2＝82＋202＝464.
　　　　
当蚂蚁沿前面和侧面爬行时，最短路线如答图②所示．
此时，AD＝8＋8＝16(cm)，BD＝12 cm.
AB2＝AD2＋BD2＝162＋122＝400，AB＝20 cm.
∵464>400，
∴蚂蚁爬行的最短路线为答图②的线段AB，要爬行的最短路程是20 cm.
◆活动4　随堂练习
1．小雨用竹竿扎了一个长40 cm、宽30 cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹竿作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需__50__cm.
2．如图，有两棵树，一棵高13 m，另一棵高8 m，两树相距12 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了__13__m.
　　　
3．如图，阴影部分的半圆的面积是多少？(π取3.14)
解：π×≈39.25.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：通过本堂课的学习，你有哪些收获？你有哪些困惑？
教学说明：同学们经历了运用勾股定理解决简单实际问题的过程，体会转化思想及数学和生活的密切联系．
作业：课本P14习题1.4中的T3、T4.
这节课老师从“入趣点”着手，通过学生身边熟悉的问题引入．同时本节课知识容量大，所以在教学中板书必不可少，它既能给学生的思维增添时间和空间，又可以规范学生解题的格式．

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