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第2课时　验证勾股定理及其简单计算
●复习导入　(1)勾股定理的内容是__直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方__．
(2)上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索，发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法了，这节课我们也将验证勾股定理．
【教学与建议】教学：复习勾股定理内容；回顾上节课的探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证；介绍世界上有数百种验证方法，激发学生的兴趣．建议：引导学生回顾勾股定理的内容，教师强调还需进行验证．
●置疑导入　伽菲尔德是美国的第二十任总统，同时他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法．
问题：如图，伽菲尔德是这样验证勾股定理的，你能写出验证理由吗？
【教学与建议】教学：本节课巧妙引用“总统”证法引出如何验证勾股定理，激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲．建议：利用梯形的面积等于三个直角三角形的面积和来证明．
命题角度1　勾股定理的验证
拼图验证其思路就是利用两种方法表示组成的图形的面积，根据“大的图形的面积等于各个组成部分的面积的和”得出关系式．
【例1】如图是由4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c，你能利用这个图形验证勾股定理吗？
解：假设b＞a，该图形的面积有两种求法：一种为正方形的面积＋两个直角三角形的面积，一种为两个正方形的面积＋两个直角三角形的面积．
根据两种求法的面积相等可得c2＋2×ab＝b2＋a2＋2×ab，化简得c2＝b2＋a2.
命题角度2　勾股定理与折叠问题
图形的折叠问题实际上是对称问题，解决的关键是抓住对称的性质．利用勾股定理来列方程，灵活运用数形结合、方程等数学思想，对线段长度、图形面积等问题进行求解．
【例2】(1)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置，如果BC＝6，那么线段BE的长度为(D)
A．6 B．6 C．2 D．3
　　　
(2)如图，在长方形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为____．
命题角度3　运用勾股定理解决实际问题
针对实际问题中的长度求解时，需要注意在直角三角形中，线段间的数量关系及位置关系．
【例3】(1)为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为2.5 m的木梯，准备把梯子架到2.4 m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为(A)
A．0.7 m B．0.8 m C．0.9 m D．1.0 m
(2)交警在限速70 km/h的某城区路段观测点查超速．某一时刻小汽车刚好行驶到路边车速检测仪A正前方60 m的B处，过了4 s后，测得该小汽车的位置C与车速检测仪A之间的距离为100 m，则这辆小汽车__超__速．(选填“超”或“没超”)
高效课堂　教学设计
1．掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题．
2．经历勾股定理观察、猜想、验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想．
3．通过勾股定理解决实际问题，培养学生的探究意识和合作交流习惯．
▲重点
熟练应用拼图法验证勾股定理．
▲难点
用勾股定理解决问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
伽菲尔德是美国的第二十任总统，同时他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法．
问题：伽菲尔德是利用上图“总统”证法验证勾股定理的，你能利用它验证勾股定理吗？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】拼图验证勾股定理
如下课件中图①是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c.请你开动脑筋，用它们拼出一个正方形，对勾股定理进行验证．
　
　　　
问题1：图②中正方形ABCD的边长是__a＋b__，正方形ABCD的面积可表示为__(a＋b)2__．
问题2：图②中正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，因此正方形ABCD的面积还可以表示为__4×ab＋c2__．
问题3：观察两种表示方法，它们表示的是同一个图形的面积，所以结果应__相等__．
问题4：现在，你能验证勾股定理吗？
问题5：利用图③如何验证勾股定理？
【探究2】自主探究：深入了解勾股定理的证法
先阅读教材第4页下面的内容和第5页“做一做”的内容，然后完成下面的问题．(投影P4图1－4、P5图1－5和图1－6)
问题1：画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流．
合作探究
问题2：为了计算教材P4图1－4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P5图1－5、图1－6.
(1)将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；
(2)教材图1－5、图1－6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式，与同伴进行交流．
(3)你能分别利用教材图1－5、图1－6验证勾股定理吗？
解：(3)图1－5：(a＋b)2＝×4＋c2，化简得：a2＋b2＝c2；
图1－6：×4＋(b－a)2＝c2，化简得：a2＋b2＝c2.
问题3：你能利用“总统”证法(如课件图)验证勾股定理吗？
解：＝＋＋
a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2，∴a2＋b2＝c2.
【归纳】勾股定理的证明方法有300多种，必须是直角三角形的三边才能满足a2＋b2＝c2.
同学们可以阅读教材P7－8其他证明勾股定理的方法．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】(教材P5例题)我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
【方法指导】
(1)根据题意画出简单的示意图如图所示：
(2)在直角三角形中已知什么边？要求什么边？
在直角三角形中已知斜边和一条直角边，要求另一条直角边．
(3)如何计算敌方汽车的速度？
由题意，得AC＝__400__m__，AB＝__500__m__，由勾股定理，得BC＝__300__m__，
所以汽车的速度为__300÷10＝30(m/s)__．
【例2】(教材P6随堂练习)如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？
【方法指导】利用勾股定理求出斜边OM，OQ的长，再计算造价预计．
解：在Rt△MON中，由勾股定理，得OM2＝MN2＋NO2，
即OM2＝302＋402＝2 500，
∴OM＝50 km.
在Rt△OPQ中，由勾股定理，得OQ2＝OP2＋PQ2，
即OQ2＝502＋1202＝16 900，
∴OQ＝130 km，
5 000×(50＋130)＝900 000(万元).
答：该沿江高速公路的造价预计是900 000万元．
◆活动4　随堂练习
1．放学以后，小红和小颖分别沿着东北方向和西北方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40 m/min，小红用15 min到家，小颖用20 min到家，小红和小颖家的距离为(C)
A．600 m B．800 m
C．1 000 m D．不能确定
2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠CBD＝90°，AD＝4，AB＝3，BC＝12，则以DC为边的正方形DCEF的面积是__169__．
　　　　　
3．如图，一架云梯长10 m，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6 m，要使梯子顶端离地面8 m，则梯子的底部在水平方向要向左滑动__2__m.
4．如图，受某次台风的影响，一棵高18 m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部12 m处，这棵树断裂后有多高？
解：设这棵树断裂后高x m.
根据题意，得x2＋122＝(18－x)2，
解得x＝5.
答：这棵树断裂后高5 m．
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：谈谈本节课的收获与体会．
教学说明：学生先独立完成小结，在学生回答的过程中，老师引导学生将本节课的知识系统化．
作业：课本P6习题1.2中的T1、T3.
勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积入手，师生共同探究得到方法1，最后由学生独立探究得到方法2，这样使学生较容易地突破了本节课的难点．

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