资源简介

8.1 同底数幂的乘法
1.同底数幂：底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式；
2.同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
对于任意的底数a，有（其中m、n都是正整数）；
3.同底数幂的乘法性质的逆用：；
4.三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，如；
拓展：幂的运算常见的变形：
（1）；
（2）.
5.当幂的底数不同时，优先化成相同底数，再利用同底数幂的乘法的运算性质计算；
6.当底数为负数时，先根据指数的特点，判断出各个运算结果的符号再相乘，或转化为同底数幂再相乘.
例1.
1．计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2.
2．如果10m=12，10n=3，那么10m+n= ．
巩固练习
一.选择题（共10小题）
3．计算，结果为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式的计算结果为a7的是（　　）
A．（﹣a）2 （﹣a）5 B．（﹣a）2 （﹣a5）
C．（﹣a2） （﹣a）5 D．（﹣a） （﹣a）6
5．下列各式计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
7．计算的结果是（　　）
A．6m B．5m C． D．
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则的值是（ ）
A．6 B．9 C． D．
11．已知，则x的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．已知，那么（ ）
A．8 B．7 C． D．
二.填空题（共12小题）
13．计算： ．
14．已知am＝5，an＝2，则am＋n的值等于 ．
15．已知，则 ．
16．如果，，那么的值为 ．
17．计算 ．
18．若，求的值为 ．
19．规定a*b＝2a×2b，若2*（x+1）＝16，则x＝ ．
20．已知，则 .
21．规定，例如：，若，则x的值为 ．
22．已知m、n为正整数，且，则的值为 ．
23．若，则 ．
24．若4x=a，4y=b，则4x+y= ．
三.解答题（共8小题）
25．计算：
（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）
（2）（x﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5
26．我们约定a☆b＝10a×10b，如2☆3＝102×103＝105．
(1)试求12☆3和4☆8的值；
(2)（a+b）☆c是否与a☆（b+c）相等？并说明理由．
27．（1）已知：，，求的值．
（2）已知：，求的值．
28．（1）已知求的值．
（2）如果，求的值．
29．如果x、y是正整数，且
(1)求满足条件的整数x、y共有多少对？
(2)根据条件能否快速判断出的计算结果？
30．阅读以下材料：
对数的创始入是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若，则x叫做以a为底N的对数，记作．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：．理由如下：设，所以，所以，由对数的定义得，又因为，所以．
解决以下问题：
(1)将指数转化为对数式__________________；
(2)仿照上面的材料，试证明：；
(3)_________；_________．
31．定义：如果，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作．
(1)根据D数的定义，填空：　　，　　．
(2)D数有如下运算性质：，，其中．
根据运算性质，计算：
①若，求；
②若已知D（3）， ，试，的值（用含a、b、c的代数式表示）．
32．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
(1)根据上述规定，填空：
①（5，125）＝ ，（﹣2，﹣32）＝ ；
②若（x，）＝﹣3，则x＝ ．
(2)若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系
(3)若（m，8）＋（m，3）＝（m，t），求t的值．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】利用同底数幂的乘法直接得到答案．
【详解】解：原式=
=．
故选：A．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
2．36
【详解】10m+n=10m×10n=12×3=36，
故答案为36．
3．A
【分析】先将化为，然后根据同底数幂的乘法法则即可得出答案．
【详解】原式 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则．
4．C
【分析】根据同底数幂的乘法计算，逐项判断即可
【详解】解：A. （﹣a）2 （﹣a）5 =﹣a7 ，故该选项不正确，不符合题意；
B. （﹣a）2 （﹣a5）=﹣a7，故该选项不正确，不符合题意；
C. （﹣a2） （﹣a）5 =a7，故该选项正确，符合题意；
D. （﹣a） （﹣a）6 =﹣a7，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法计算，注意符号是解题的关键．
5．A
【分析】根据合并同类项法则和同底数幂的乘法法则结合选项求解．
【详解】解：、和不是同类项，不能合并，故本选项符合题意；
、，计算正确，故本选项不符合题意；
、，计算正确，故本选项不符合题意；
、，计算正确，故本选项不符合题意．
故选：
【点睛】本题考查了合并同类项和同底数幂的乘法运算，同底数幂乘法：．解答本题的关键是掌握合并同类项法则和同底数幂的乘法法则．
6．D
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可．
【详解】解：
＝
＝.
故选：D
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的法则的掌握与运用．
7．D
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：原式，
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握是解题的关键．
8．A
【详解】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9．B
【分析】根据同底数幂的乘法法则，即可求解．
【详解】解：∵5×10=50，，，，
∴2a×2b=2c，即：2a+b=2c，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法法则，熟练掌握上述法则是解题的关键．
10．B
【分析】先求得，进而根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求得答案．
【详解】，
，
故选：B
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
11．B
【详解】根据幂的乘方，可得同底数幂的乘法，根据同底数的幂相等，可得指数相等，可得答案．
【解答】解：由题意，得
，
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，利用幂的乘方得出同底数幂的乘法是解题关键．
12．C
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质的逆用解答即可．
【详解】解：am+n+2=am an a2=3×2×a2=6a2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．
13．
【详解】根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．
14．10
【分析】根据同底数幂的乘法公式的逆定理 代入运算即可．
【详解】解：∵am＝5，an＝2，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法公式逆定理，正确的掌握同底数幂的乘法公式的逆定理是解决问题的关键．
15．72
【详解】根据立方根的定义可得，根据等式的性质可得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：72．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
16．96
【分析】逆用同底数幂的乘法进行计算，进而得出答案．
【详解】解：当，时，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法的逆用，是解题的关键．
17．
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题关键是熟知同底数幂的乘法的计算法则．
18．18
【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【详解】解：因为，
所以．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
19．1
【分析】根据规定a*b=2a×2b，可得2*（x+1）=22×2x+1=16，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．
【详解】由题意得：
2*（x+1）=22×2x+1=16，
即22+x+1=24，
∴2+x+1=4，
解得x=1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．18
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行整理，再代入相应的值运算即可.
【详解】解：当时，
.
故答案为：18.
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
21．3
【分析】根据规定可得关于x的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
即，
∴，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，有理数的混合运算以及解一元一次方程，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
22．6
【详解】∵，
∴＝╳＝2╳3＝6；
故答案是6．
23．81
【分析】将x+3y看作一个整体并求出其值，然后逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．
【详解】∵x+3y-4=0，
∴x+3y=4，
∴3x 27y=3x 33y=3x+3y=34=81．
故答案为：81．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，底数不变指数相加，熟记性质并灵活运用是解题的关键，要注意整体思想的利用．
24．.
【分析】根据同底数的幂的乘法法则，代入求值即可.
【详解】由题意，，
.
故答案为.
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，底数不变，指数相加.
25．（1）b7；（2）（x﹣y）3（y﹣2）7．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则进而计算得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则进而计算得出答案．
【详解】解：（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）
＝b2×b2×b3
＝b7；
（2）（x﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5
＝（x﹣y）3（y﹣2）7．
【点睛】本题考查幂的相关计算，有时候需要有整体思想，把底数可以为多项式的.
26．(1)12☆3＝；4☆8＝；
(2)相等，理由见解析．
【分析】（1）根据定义的新运算和同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）根据定义的新运算和同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：12☆3＝；
4☆8＝；
（2）相等，
理由：∵（a＋b）☆c＝，a☆（b＋c）＝，
∴（a＋b）☆c＝a☆（b＋c）．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
27．（1）10；（2）27
【分析】（1）利用同底数幂乘法的法则将化成，代入计算即可得出答案；
（2）由，可得，再把变为，代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴
；
（2）∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
28．（1）20；（2）81
【分析】（1）根据同底数幂相乘的逆运算计算，即可求解；
（2）根据同底数幂相乘，幂的乘方计算，即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
29．(1)正整数x、y共有4对；
(2)的计算结果是32
【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，再根据x、y都是正整数讨论；
（2）根据指数的和为解答．
【详解】（1）∵，
∴，
∵x、y是正整数，
∴时，，
时，，
时，，
时，，
∴正整数x、y共有4对；
（2）∵，
∴
∴的计算结果是32．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟记性质是解题的关键．
30．(1)；
(2)证明见详解；
(3)1；0．
【分析】（1）根据定义直接写出对数式即可；
（2）先设logaM＝m，logaN＝n，根据对数的定义可表示为指数式为：M＝am，N＝an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：loga（M·N）＝logaM+logaN和的逆用，将所求式子表示为：log2（2×4÷8），计算可得结论．
【详解】（1）解：将指数转化为对数式：．
故答案为：；
（2）证明：设logaM＝x，logaN＝y，
∴M＝ax，N＝ay，
∴，
由对数的定义得，
又∵x﹣y＝logaM﹣logaN，
∴；
（3）∵，
∴；
由题意：；
故答案为：1；0．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
31．(1)1；4
(2)①3；②
【分析】本题属于阅读题，根据给出的定义进行运算或化简．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
（2）解：①，
；
②，， ，
，
．
【点睛】主要考查阅读题的理解，运用所给公式进行化简，要对公式能够活学活用，考查学生的理解运用解题能力．
32．(1)①3；5；②2
(2)a＋b＝c
(3)24
【分析】（1）①根据有理数的乘方及新定义计算；
②根据新定义和负整数指数幂计算；
（2）根据题意得：4a=5，4b=6，4c=30，根据5×6=30列出等式即可得出答案．
（3）根据题意得：mp＋q＝mr，再根据同底幂的乘法逆运算即可解得.
【详解】（1）解：①∵53=125，(-2)5=-32，
∴（5，125）＝3，（﹣2，﹣32）＝5，
②∵，
∴（2，）＝﹣3，
∴x=2，
故答案为：①3；5；②2；
（2）∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，
∴4a=5，4b=6，4c=30
∵5×6＝30，
∴4a 4b=4c
∴a＋b＝c．
（3）设（m，8）＝p，（m，3）＝q，（m，t）＝r，
∴mp＝8，mq＝3，mr＝t，
∵（m，8）＋（m，3）＝（m，t），
∴p＋q＝r，
∴mp＋q＝mr，
∴mp mr＝mt，
即8×3＝t，
∴t＝24．
【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘法，解题的关键是熟悉同底数幂的乘法及逆运算规则．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑