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8.2 幂的乘方与积的乘方
知识点一、幂的乘方
1．幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如是5个相乘，读作的2次幂的5次方；
2．幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘， （m、n是正整数）；
3．幂的乘方运算性质的逆用：（m、n是正整数）；
4．幂的乘方运算性质的推广：（m、n、p是正整数）．
知识点二、积的乘方
1．积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方；
2．积的乘方的运算性质：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（n是正整数）；
3．积的乘方的运算性质的逆用：（n是正整数）；
4．在积的乘方中，底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式；
5．积的乘方运算性质的推广：（n是正整数）．
巩固练习
一．选择题（共10小题）
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．计算：( )
A． B． C． D．
3．计算等于（ ）
A． B． C． D．2010
4．如果，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．14
5．已知，则的值是（　　）
A．6 B．18 C．36 D．72
6．若2m=3，2n=2,则4m+2n=( )
A．144 B．96 C．24 D．12
7．计算：结果为（　　）
A． B． C． D．
8．下列各选项中计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知2x＝6，4y＝5，那么2x+2y的值是（ ）
A．11 B．30 C．150 D．15
10．已知，则的值为（ ）
A．5 B．10 C．25 D．50
二．填空题（共10小题）
11．若，则的值为 ．
12．计算： ．
13．已知4×8m×16m=29，则m的值是
14．若单项式与单项式是同类项，则的值是 ．
15．若 ，则 ．
16．设，，．现给出实数a、b、c三者之间的四个关系式：
①；
②；
③；
④．
其中，正确的关系式 ．（请填写正确的序号）
17．若，则 ．
18．已知，则的值为 ．
19．有一个棱长的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的倍的速度膨胀，则秒后该正方体的体积是 立方厘米．
20．如果，那么 ；当时，则 ．
三．解答题（共10小题）
21．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
22．已知，求
23．若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
24．若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y．
25．若x=2m+1，y=3+4m．
（1）请用含x的代数式表示y；
（2）如果x=4，求此时y的值．
26．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以．
(1)若，请你也利用逆向思考的方法求出的值．
(2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：
小贤的作业
计算：．
解：．
①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：_____________．
②计算：．
27．根据乘方的意义“”可以推导出幂的相关运算法则．
（1）下面是“积的乘方”法则的推导过程，在括号里写出每一步的依据．
因为 （_______________________________）．
（________________________________）
（________________________________）
所以
（2）请你类比（1）的过程写出“幂的乘方”法则的推导过程（并写出每一步的依据）
28．由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：
(1)_________；
(2)_________；
(3)计算：．
29．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以
(1)根据上述规定，填空：　　，　　，
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，
所以，即，
所以．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：；
②猜想：　　　　（结果化成最简形式）．
30．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
(1)根据D数的定义，填空：D（2）＝ ，D（16）＝ ．
(2)D数有如下运算性质：D（s t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据合并同类项法则判定A；根据同底数幂乘法运算法则计算并判定B；根据积的乘方的运算法则计算并判定C；根据幂的乘方法则计算并D．
【详解】解：A、因为a，不是同类项，所以不能合并，所以此选项不符合题意；
B、因为，所以此选项不符合题意；
C、因为，所以此选项符合题意；
D、因为，所以此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同类项，幂的乘方和积的乘方，理解运算法则是解答关键．
2．C
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘方，掌握以上知识是解题的关键．
3．A
【分析】根据积的乘方与同底数幂的乘法以及乘法的结合律进行计算即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法与积的乘方，掌握同底数幂的乘法与积的乘方的逆用以及乘法结合律是正确解答的前提．
4．C
【分析】把左边的数化成底数是3的幂的形式，然后利用利用相等关系，可得出关于n的相等关系，解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方运算公式是关键．
5．B
【分析】先逆用幂的乘方，再逆用积的乘方计算即可．
【详解】解：当时，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用和积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．A
【分析】利用幂的乘方运算法则得出4m+2n=22（m+2n）=（2m×22n）2，进而将已知代入求出答案．
【详解】∵2n=2，
∴22n=4，
∴4m+2n=22（m+2n）=（2m×22n）2=（3×4）2=144．
故选A．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确应用运算法则是解题关键．
7．A
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则对式子进行运算即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方；解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．B
【分析】按照合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、分式的约分分别进行计算，作出判断即可．
【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、分式的约分，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．B
【分析】先逆用同底数幂的乘法法则，再逆用幂的乘方法则，把代数式变形后代入求值．
【详解】解：2x+2y
=2x×22y
=2x×4y
=6×5
=30．
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的运算，掌握法则的逆用是解决本题的关键．
10．A
【分析】根据同底数幂的除法先求出的值，再代入计算即可．
【详解】∵
∴
∴
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题幂的综合运算，熟悉同底数幂的除法、幂的乘方运算法则是解题的关键．
11．108
【分析】先将变形为，再代入进行计算．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：108．
【点睛】此题考查了同底数幂相乘运算的逆运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
12．
【分析】根据幂的乘方法则计算，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方，底数不变，指数相乘是解题的关键．
13．1
【详解】解：∵4×8m×16m =22×(23)m×(24)m=29，∴22+3m+4m=29，
∴2+3m+4m=9，∴m=1；
故答案为：1.
14．##0.125
【分析】先计算幂的乘方，再根据同类项的定义可求出的值，然后代入计算即可得．
【详解】解：，
单项式与单项式是同类项，
，
解得，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方、同类项、一元一次方程的应用，解题的关键是熟记同类项的定义：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数分别相同，那么这两个单项式是同类项．
15．15
【分析】根据幂的乘方的逆运算得出 ，再由同底数幂乘法的逆运算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴，
故答案为：15．
【点睛】题目主要考查幂的乘方的逆运算及同底数幂的乘法的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题关键．
16．①②④
【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
∴；
∴；
∴；
∴①②④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c的关系．
17．289
【分析】先逆用幂的乘方和同底数幂的乘法法则整理得出关于n的方程，再计算即可．
【详解】∵，
∴，
解得．
故答案为：289．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用和同底数幂的乘法及除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
18．9
【分析】先变形，再根据同底数幂的除法进行计算，最后代入求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
=9，
故答案为9．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方等知识点，能正确根据法则进行变形是解此题的关键．
19．
【分析】直接利用棱长变化规律进而得出秒后该正方体的棱长，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得，秒后该正方体的棱长为：，
故秒后该正方体的体积是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法运算．正确得出秒后该正方体的棱长是解题的关键．
20． 6 16
【分析】将整体代入即可求解，将转化为，把代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴；
∵，，
∴．
故答案为：6；16．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂乘方的逆运算，整体代入思想．
21．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用有理数乘法的分配律进行计算即可得；
（2）先去括号，再计算整式的加减即可得；
（3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得；
（4）先计算积的乘方与幂的乘方，再合并同类项即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：，
方程两边同乘以15去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了有理数的乘法、整式的加减、积的乘方与幂的乘方、解一元一次方程，熟练掌握各运算法则和方程的解法是解题关键．
22．
【分析】将已知的等式进行化简求出x与n的值，即可代入求得的值．
【详解】∵，
∴，解得，
∵，
∴，
∴，解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的运算，掌握运算法则并熟练运用是解题的关键．
23．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答．
【详解】（1）解：∵
，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把化为底数为2的幂，解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答；
（3）由可得，再根据幂的乘方运算法则解答即可．
【详解】（1）解： ，
，
解得；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握利用同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算对式子进行变形是关键．
25．（1）y=x2﹣2x+4；（2）12．
【分析】（1）将4m变形，转化为关于2m的形式，然后再代入整理即可；
（2）把x=4代入解得即可．
【详解】（1）∵4m=22m=（2m）2，x=2m+1，
∴2m=x﹣1，
∵y=4m+3，
∴y=（x﹣1）2+3，
即y=x2﹣2x+4；
（2）把x=4代入y=x2﹣2x+4得：y=x2﹣2x+4=12．
【点睛】本题考查幂的乘方的逆用及代数式求值，幂的乘方，底数不变，指数相乘．
26．(1)
(2)①；② 5
【分析】（1）运用逆用同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式进行计算即可；
（2）①根据题意得到是逆用积的乘方，写出公式即可；②逆用积的乘方进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）①逆用积的乘方，公式为：；
故答案为：
②
【点睛】此题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算法则，熟练掌握公式的逆用是解题的关键．
27．（1）乘方的意义，乘法交换律、乘法结合律，乘方的意义；（2）见解析
【分析】（1）根据乘方的意义“”和乘法交换律、乘法结合律可推得结果；
（2）根据乘方的意义可得，再根据同底数幂的乘法法则可得．
【详解】解：（1）因为 （乘方的意义）．
（乘法交换律、乘法结合律）
（乘方的意义）
所以
（2）（乘方的意义）
（同底数幂的乘法法则）
（乘法的意义或合并同类项）
【点睛】考核知识点：乘方的意义．理解乘方的意义，灵活运用乘方意义和同底数幂乘法法则是关键．
28．(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据乘方的定义求解即可；
（2）根据乘方的定义求解即可；
（3）首先根据乘方的定义将（﹣）2022，化成（﹣）2021×（﹣），再根据乘方的定义求解即可．
【详解】（1）解：（1）52×62＝=900= ，
故答案为：；
（2）解：m2×n2＝(mn)2，
故答案为：(mn)2；
（3）解：（﹣2）2021×（﹣）2022
＝（﹣2）2021×（﹣）2021×（﹣）
＝
＝
＝ ．
【点睛】本题考查乘方的定义，解答本题的关键是熟知乘方的定义．
29．(1)4，
(2)①见解析；②，
【分析】（1）根据新运算，计算，即可求解；
（2）①设，根据新运算可得，再根据同底数幂乘法，即可求证；②根据①中的结论，原式变形为，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴， ，
故答案为：4，．
（2）解：①设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②根据①中的结论，得：
．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，幂的运算，负整数指数幂，理解新运算是解题的关键．
30．(1)1，4；
(2)①；②，，，．
【分析】（1）根据题意的新定义解答；
（2）①根据解答；
②根据，，，解答即可．
【详解】（1）解：
故答案为：1，4；
（2）① D（a3）=，
②
【点睛】本题考查阅读题的理解，运用所给定义进行化简，对公式能够活学活用是解题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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