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8.3 同底数幂的除法
知识点一、同底数幂的除法
1.同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（，m、n都是正整数，且m＞n）；
2.底数a可以是一个数，也可以是单项式或多项式，但不能是0；
3.当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，如（，m、n、p都是正整数，且m＞n＋p）.
例：
1．计算的结果是（　　）
A．m B．m2 C．m3 D．m5
知识点二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1.即.
底数a不能为0，无意义，任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.
例：
2．计算：（　　　）
A．1 B．0 C．2020 D．﹣2020
知识点三、负整数指数幂
任何不等于零的数的－n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即（，n是正整数）；
1.当底数a为小数时，可以先将a化为分数的形式再计算；
2.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立：
（，m、n为整数）；
（，m为整数）；
（，m、n为整数）.
例：
3．计算：20190﹣（）﹣2＝ ．
知识点四、用科学记数法表示绝对值小于1的数
一般地，用科学记数法可以将一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中，n是负整数.
用科学记数法表示绝对值小于1的数的步骤：
1.确定a：a是绝对值大于或等于1且小于10的数；
2.确定n：
（1）n的绝对值等于原数中左起第一个非0数字前所有0的个数（包括小数点前面的那个0）；
（2）小数点向右移动到第一个不为0的数字后，小数点移动了几位，n的绝对值就等于几；
3.将原数用科学记数法表示为（，n是负整数）的形式.
例：
4．香包刺绣又称陇绣，是庆阳地区妇女的一项传统技艺．绣线多采用产地范围生产的蚕丝线、棉线、麻线等，织成蚕丝线的蚕丝截面可近似地看成圆，直径约为，蚕丝线的截面面积为．其中数据用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
一．选择题（共10小题）
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．在物联网时代的所有芯片中，0.000000014m芯片已成为需求的焦点．把它用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．纳米是非常小的长度单位，1纳米米，新型冠状病毒直径约为78纳米，用科学记数法表示该病毒的长度，下列结果正确的是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知，，则代数式值是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
12．下列运算结果是a6的是（　　）
A．﹣（a2）3 B．a3+a3
C．（﹣2a）3 D．﹣3a8÷（﹣3a2）
13．1nm为十亿分之一米，而个体中红细胞的直径约为0.0000077m，那么人体中红细胞直径的纳米数用科学记数法表示为（ ）
A．7.7×103nm B．7.7×102nm
C．7.7×104nm D．以上都不对
14．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共10小题）
15．若，，则 ．
16．用科学记数法表示： .
17．计算： ．
18．若（n为正整数），则的值为 ．
19．已知，，则的值为 ．
20．若，则a的值是 ．
21．如果(x﹣1)x+4＝1成立，那么满足它的所有整数x的值是 ．
22．已知，，则代数式值是 ．
23．已知：，，求的值为 ．
24．纳米是一种长度单位，1纳米=米，已知某植物的花粉的直径约为3500纳米，那么用科学记数法表示该花粉的直径为 米．
三．解答题（共10小题）
25．若，，求的值．
26．整式化简
(1)
(2)
27．(1)若，求的值；
(2)已知，，求y的值；
(3)若为正整数，且，求的值．
28．已知，．
(1)求和的值；
(2)已知，求的值．
29．计算：
(1)
(2)
30．（1）已知，，，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．
（2）请探索使得等式成立的x的值．
31．小明学习了“第八章 幂的运算”后做这样一道题：若，求的值．他解出来的结果为，老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？
小明解答过程如下：
解：因为1的任何次幂为1，所以，．且
故，所以
你的解答是：
32．“已知am=4，am+n=20，求an的值．”这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得： am+n=aman，所以20=4an， 所以an=5．
请利用这样的思考方法解决下列问题：
已知am=3，an=5，求下列代数的值：
（1）a2m+n； （2）am-3n．
33．已知ax ay=a4，ax÷ay=a
(1)求x+y与x﹣y的值．
(2)求x2+y2的值．
34．根据已知求值．
(1)已知，求m的值．
(2)已知，求的值．
(3)已知，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可．
【详解】解： ．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算，底数不变，指数相减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．A
【分析】根据零指数幂的运算法则计算即可．
【详解】(﹣2020)0=1．
故选：A．
【点睛】本题考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的运算法则是解题的关键．
3．-3
【分析】根据负整数指数幂解答即可．
【详解】20190﹣（）﹣2＝1﹣4＝﹣3，
故答案为：﹣3
【点睛】本题考查零指数幂和负整数指数幂的运算，解题关键是熟练掌握以上运算性质.
4．C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】将用科学记数法表示为：．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定．
5．C
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法以及积的乘方运算法则对各选项进行计算即可．
【详解】解：A．，原选项计算错误，不符合题意；
B．，原选项计算错误，不符合题意；
C．，原选项计算正确，符合题意；
D．原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法以及积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
6．A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，指数由原数左边第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：根据题意得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，由原数左边第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．A
【分析】根据科学记数法的定义求解．
【详解】解：78纳米米，
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的特征是解题的关键．
8．C
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，负整数指数幂，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9．C
【分析】利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．
【详解】A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10．C
【分析】分别根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行计算即可．
【详解】解：A．原式，故本选项错误，不合题意；
B．原式，故本选项错误，不合题意；
C．原式，故本选项正确，符合题意；
D．原式，故本选项错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法（除法），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方，
11．B
【分析】根据可以得到然后再根据即可得到结果．
【详解】解：
两式相减，可得
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则的运用、代数式求值，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．
12．D
【分析】按照幂的乘方、积的乘方、同类项合并的法则、单项式除以单项式的法则逐项分析即可．
【详解】A、结果是﹣a6，故本选项不符合题意；
B、结果是2a3，故本选项不符合题意；
C、结果是﹣8a3，故本选项不符合题意；
D、结果是a6，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题是整式的运算，考查了幂的运算性质，合并同类项，单项式除以单项式，掌握这些知识是关键．
13．A
【分析】用科学记数法的表示方法表示即可.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.
【详解】解：∵1nm=10-9 m，
∴0.0000077 m =7.7×10-6 m=7.7×103 nm，
故选：A.
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.
14．C
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则计算并判定A；根据幂的乘方法则计算并判定B；根据同底数幂的除法运算法则计算并判定C；根据积的乘方与幂的乘方法则计算并判定D．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意，
B、，故此选项不符合题意，
C、，故此选项符合题意，
D、，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂除法、积的乘方等知识，掌握运算性质是正确解答的关键．
15．
【分析】逆用同底数幂的除法法则进行计算即可得到答案．
【详解】∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
16．-5.6×10
【分析】科学记数法是将一个数字表示成的形式，其中1≤|a|<10，n表示整数.
【详解】解：
故答案为
【点睛】本题考查了科学记数法，熟练掌握数字的科学计数表示是解题的关键.
17．2
【分析】去绝对值，计算零指数幂，再进行减法运算即可．
【详解】解：；
故答案为：2．
【点睛】本题考查绝对值和零指数幂．熟练掌握绝对值的意义，以及零指数幂的法则，是解题的关键．
18．8
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．
【详解】解：当时，
．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．
【分析】根据同度数幂的除法、幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
则
＝
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，逆用法则是解决本题的关键．
20．或##-2或-1
【分析】可以考虑三种情况：①零指数幂；②底数为1；③-1的偶数次方，分别解答即可．
【详解】解：当，时，；
当时，；
当时，，此时，，不符合题意；
综上，或．
故答案为：或
【点睛】本题考查零指数幂，有理数的乘方，体现分类讨论的数学思想，解题时注意不要漏解．
21．﹣4、2或0．
【分析】分情况讨论：当x+4＝0时；当x﹣1＝1时，分别讨论求解．还有﹣1的偶次幂都等于1．
【详解】当x+4＝0时，
x=-4，
原式变为（-4﹣1）0＝1成立，
当x﹣1＝1时，
x=2，
原式变为（2﹣1）6＝1成立，
即x＝﹣4或x＝2，
当x＝0时，
原式变为（0﹣1）0+4＝（﹣1）4＝1成立，
故本题答案为：﹣4、2或0．
【点睛】主要考查了零指数幂的意义，非零数的零次幂等于1,1的任何次幂等于1，-1的偶次幂等于1，-1的奇次幂等于-1.
22．
【分析】利用幂的乘方与同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对所给的条件进行整理，从而可求得a，b的值，再求所求的式子的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴
＝
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
23．4
【分析】逆用同底数幂除法和幂的乘方的法则即得，法则是同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【详解】∵，，
∴．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了同底数幂除法和幂的乘方，熟练掌握同底数幂除法和幂的乘方运算法则，是解题关键．
24．
【分析】先把3500纳米化为3500×米，再根据科学记数法的定义，即可得到答案．
【详解】3500纳米=3500×米=米．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查科学记数法的定义，掌握科学记数法的形式：（，n为整数），是解题的关键．
25．
【分析】根据同底数幂的除法与幂的乘方的逆向公式进行相关的解答．
【详解】∵，，
∴
【点睛】本题考查了同底数幂除法公式的应用，掌握逆用同底数幂除法公式是关键．
26．(1)
(2)
【分析】（1）按照去括号、合并同类项的顺序计算即可；
（2）按照同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方的运算法则计算，然后合并同类项即可；
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了整式的加减、同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方等知识点；熟练掌握其运算法则是解题的关键．
27．(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法与除法的逆运算进行计算即可求解；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的除法进行计算即可求解；
（3）根据就的乘方进进行计算即可求解．
【详解】（1），
，
，
，
解得；
（2），
，
；
（3），
．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘除法及幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
28．(1)，
(2)3
【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的除法运算法则求解即可；
（2）利用平方差公式将原等式化为，再将代入求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
联立方程组得，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方、平方差公式、解二元一次方程组代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
29．(1)3
(2)
【分析】（1）先计算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再进行加减运算即可；
（2）先算乘方，再根据同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，同底数幂乘法法则：，同底数幂除法法则：，零指数幂：，负整数指数幂：，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
30．（1）；理由见解析
（2）或
【分析】（1）逆用幂的乘方和负整理指数幂运算法则将a、b、c化成同指数幂形式，再比较底数即可得出答案；
（2）根据底数为1或底数为，指数是偶数或底数不等于0，指数为0，求解即可．
【详解】（1）∵，，，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴当时，解得：
当且为偶数，无解；
当且，解得： ．
∴或．
【点睛】本题考查了负整数指数幂和有理数的乘方，熟记有关幂的乘方运算公式是解题的关键．
31．见解析
【详解】试题分析：此题要分三个情况进行讨论：①根据1的任何次幂为1；②根据-1的任何偶次幂也都是1；③任何不是0的数的0次幂也是1，分别求出的值即可．
试题解析：
①∵1的任何次幂为1，所以，，
故，所以；
②∵的任何偶数次幂也都是1，
∴，
∴，
当时，是偶数，，
∴；
③∵任何不为0的数的0次幂也是1，
∴，，
解得：，
综上：或或1．
32．（1）45；（2）
【分析】（1）逆用“同底数幂的乘法”和“幂的乘方”的运算法把化成结合已知条件即可求值了；
（2）逆用“同底数幂的除法”和“幂的乘方”的运算法则把化成结合已知条件即可求值了.
【详解】解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴.
33．(1)x+y=4，x﹣y=1；(2)x2+y2=8.5．
【分析】(1)根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可得答案；
(2)首先计算x、y的值，然后可得x2+y2的值．
【详解】(1)∵ax ay=a4，ax÷ay=a，
∴x+y=4，x﹣y=1；
(2)，
解得：，
x2+y2=8.5．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，关键是掌握计算法则．
34．(1)3
(2)
(3)8
【分析】（1）根据幂的乘方和同底数幂相乘，可得，从而得到，即可求解；
（2）根据同底数幂相除的逆运用，以及幂的乘方的逆运算，即可求解；
（3）根据题意可得，再由据幂的乘方和同底数幂相乘法则，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
（3）解：∵，
∴，
则．
【点睛】此题考查同底数幂的乘法及其逆运用、幂的乘方及其逆运用、同底数幂相除及其逆运用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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