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8.4 幂的运算综合练习（基础）
一．选择题
1．禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A．16 B．25 C．32 D．64
5．可以表示为( )
A． B． C． D．
6．据报道，中国医学研究人员通过研究获得了纯化灭活新冠病毒疫苗，该疫苗在低温电镜下呈椭圆形颗粒，最小直径约为90nm，已知1nm＝10﹣9m，则90nm用科学记数法表示为（ ）
A．0.09×10﹣6m B．0.9×10﹣7m C．9×10﹣8m D．90×10﹣9m
7．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．18 D．9
9．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列运算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
12．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题
13．将代数式写成只含有正整数指数幂的形式： ．
14．计算： ．
15．已知，，则的值为 ．
16．一种病毒的直径约为米，米用科学记数法表示是 米．
17．已知，则
18．若，且，，则 ．
19．中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米=0.000000022米，用科学记数法将0.000000022写成 ．
20．计算 ．
21．已知，则的值为 ．
22．将表示成只含有正整数的指数幂形式为
三．解答题
23．计算
(1)；
(2)；
24．（1）若，求的值．
（2）若，求x的值．
25．已知，
(1)求和的值；
(2)求的值．
26．按要求解答下列各小题．
(1)已知，，求的值；
(2)如果，求的值；
(3)已知，求m的值．
27．若（且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求的值；
(2)如果，求的值．
28．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）已知，求的值．
29．解决下列问题：
(1)若4a-3b+7=0，求32×92a+1÷27b的值；
(2)已知x满足22x+4-22x+2=96，求x的值．
(3)对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b） （c，d）=ad-bc+2，例如：（1，3） （2，4）=1×4-2×3+2=0．当a2+a+5=0时，求（2a+1，a-2） （3a+2，a-3）的值．
30．神舟十三号飞船搭载实验项目中，四川省农科院生物技术研究所共有a粒水稻种子，每粒种子质量大约0.0000325千克；甘肃省天水市元帅系苹果的b粒干燥种粒，每粒种子质量大约0.002275千克，参与航天搭载诱变选育．
(1)用科学记数法表示上述两个数．
(2)若参与航天搭载这两包种子的质量相等，求的值．
(3)若这两包种子的质量总和为1.04千克，水稻种子粒数是苹果种子粒数10倍，求a，b的值．
31．若都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求的值；
(2)如果，求的值；
(3)若，用含的代数式表示．
32．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．
(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
2．C
【分析】利用同底数幂除法和幂的乘方的逆运算法则计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算法则是解本题的关键．
3．D
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方的运算法则准确计算即可．
【详解】∵不是同类项,
∴无法计算，
故A不符合题意；
∵，
∴故B不符合题意；
∵，
∴故C不符合题意；
∵，
∴故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，乘法，积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．D
【分析】利用幂的乘方和同底数幂相乘的法则把进行变形后，再整体代入即可．
【详解】解：∴，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了幂的乘方和同底数幂相乘的法则，熟练掌握法则是解题的关键．
5．D
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法分别计算可得．
【详解】解：A、不能表示为，此选项不符合题意；
B、，此选项不符合题意；
C、，此选项符合题意；
D、，此选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则．
6．C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：90nm=90×10-9m=9×10-8m．
故选：C．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
7．C
【分析】运用同底数幂的乘法运算法则即可求解．
【详解】A．，A选项错误，所以A选项不符合题意；
B．，B选项错误，所以B选项不符合题意；
C．，C选项正确，所以C选项符合题意；
D．，D选项错误，所以D选项不符合题意．
故选C
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法运算法则．
8．A
【分析】利用同底数幂的除法法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】∵，
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，解题的关键是对同底数幂的除法法则的掌握与灵活运用．
9．D
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，掌握以上运算法则是解题的关键．
10．C
【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及单项式的乘方法则逐一计算可得．
【详解】A．b4 b4=b8，此选项计算错误；
B．（x3）3=x9，此选项计算错误；
C．a10÷a9=a，此选项计算正确；
D．（﹣3pq）2=9p2q2，此选项计算错误．
故选C．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
11．B
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握表示方法是解题关键．
12．D
【分析】利用幂的乘方运算与积的乘方运算计算并判断．
【详解】解：，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项错误；
，D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算与积的乘方运算，解题的关键是掌握幂的乘方运算与积的乘方运算法则．
13．
【分析】直接利用负指数幂的性质化简得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
14．
【分析】根据化简绝对值，零次幂，负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了化简绝对值，零次幂，负整数指数幂，正确的计算是解题的关键．
15．##
【分析】根据同底数幂的除法公式的逆用和幂的乘方公式的逆用，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查同底数幂的除法公式和幂的乘方公式，解题的关键是熟知公式的逆用．
16．
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为(，n为正整数)，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为（，n为正整数)，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
17．
【分析】根据，即可．
【详解】∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查幂的知识，解题的关键是掌握的运用．
18．
【分析】根据幂的乘方：底数不变指数相乘，先计算出，，再根据同底数幂相除：底数不变指数相减，将转化为除以即得．
【详解】∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法，解题关键是熟练掌握指数相减向同底数的幂相除转化，指数相乘向幂的乘方转化．
19．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】将0.000000022用科学记数法可表示为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
20．2
【分析】根据同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算把原式化为的形式，然后计算．
【详解】解：原式
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，灵活运用运算法则是解题关键．
21．1025
【分析】先化简，再逆用幂的乘方，进行求值即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：1025．
【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方，以及代数式求值．熟练掌握积的乘方，幂的乘方运算，是解题的关键．
22．
【分析】根据，即可．
【详解】∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查整数指数幂的知识，解题的关键是掌握．
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据负整指数幂、零指数幂和有理数混合运算的运算法则计算即可；
（2）根据有理数混合运算的运算法则和运算顺序计算即可；
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了负整指数幂、零指数幂和有理数混合运算等知识；熟练掌握其运算法则是解题的关键．
24．（1）；（2）
【分析】（1）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可；
（2）先将等式的左侧化为同底数幂的运算，利用指数相等进行求解即可．
【详解】解：（1）；
（2），
∴，
∴．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法和同底数幂的乘方运算．熟练掌握同底数幂的乘法和同底数幂的乘方运算法则是解题的关键．
25．(1)，
(2)
【分析】（1）根据幂的乘方的逆用可得出，，再根据同底数幂的除法法则可得出，从而得出，；
（2）将所求式子变形为，再整体代入求值即可．
【详解】（1）解：，
，，
，；
（2）解：
．
【点睛】本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的除法，利用完全平方公式求值等知识．掌握幂的乘方的逆用法则和同底数幂的除法法则是解题关键．
26．(1)4
(2)
(3)
【分析】（1）根据同底数幂相除的运算法则即可得到答案；
（2）将变成底数为3的幂，根据同底数幂相乘的法则即可得到答案；
（3）将8，变为底数为2的幂，再根据同底数幂相乘及相除的法则即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：由题意可得，
，
∵，
∴；
（3）解：由题意可得，
，
∴，
解得．
【点睛】本题考查同底数幂乘除的法则：同底数幂相乘底数不变指数相加，同底数幂相除底数不变指数相减．
27．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为的幂，再根据同底数幂的乘除法运算法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法运算法则把变形为解答即可．
【详解】（1）解：
，
，即，解得；
（2）解：
，即，解得．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法运算以及幂的乘方与积的乘方运算，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方运算对式子进行变形．
28．（1）；（2）；（3）9．
【分析】（1）应用幂的乘方与积的乘方及同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
（2）应用幂的乘方法则进行计算即可得出答案；
（3）应用幂的乘法法则可得，即可得出，再由已知可得，代入计算即可得出答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式；
（3），
由，
可得，
原式．
【点睛】本题考查了幂的乘方，及同底数幂乘法，熟练掌握幂的乘方及同底数幂乘法法则是解本题的关键．
29．(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）把所求式子中的幂化为同底的幂，利用同底数幂的乘除法则及已知，即可求得值；
（2）逆用同底数幂的法则，然后合并同类项，最后化为两个同底且幂相等的两个幂，则其指数相等便求得x的值；
（3）根据规定的运算法则，计算出（2a+1，a-2） （3a+2，a-3），整体代入即可求得结果的值．
【详解】（1）由4a-3b+7=0，得4a-3b= 7
（2）∵
即
∴
∴
即2x+2=5
解得：
（3）当a2+a+5=0时，
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、多项式的乘法运算，求代数式的值等知识，对于前两个题，当是不同底幂的乘除运算或加减 时，化成同底或同指数的幂，再利用幂的相关法则进行计算或合并同类项；当一边是幂一边不是幂时，两边均要化为同底的幂；第三小题关键是明白题中规定的运算法则．本题涉及整体代入法求代数式的值．
30．(1)0.0000325=3.25×，0.002275=2.275×
(2)
(3)a=4000，b=400
【分析】（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；
（2）根据题意可知0.0000325a=0.002275b,计算即可；
（3）根据题意列出方程组即可解答．
【详解】（1）解：0.0000325=3.25×，
0.002275=2.275×；
（2）解：由题意得，0.0000325a=0.002275b，
解得；
（3）解：由题意，得
，
解得：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．还考查了，二元一次方程(组)的应用．
31．(1)2
(2)3
(3)y
【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则进行计算，得出关于x的等式，进而即可得出结果；
（2）利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出结果；
（3）由，可得，把变形为y，代入即可．
【详解】（1）
∴x+3=5，
∴x=2；
（2）
∴
∴x+1=4，
∴x=3；
（3）
．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
32．(1)2，4，6
(2)
(3)
(4)证明见解析
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：，；
（3）由特殊到一般，得出结论：．
（4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论．
【详解】（1）∵，，
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵，，，，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）的结果可得，
故答案为：．
（4）设，，
则，
∴
，
∴，
∴．
【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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