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8.5 幂的运算综合练习（提优）
一．选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C．0.75 D．﹣0.75
3．计算(－a3)2的结果是 （ ）
A．－a5 B．a5 C．a6 D．－a6
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若一个正方体的棱长为米，则这个正方体的体积为（ ）
A．立方米 B．立方米
C．立方米 D．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．纳米（）是长度的单位，，如果将在2022年底攻克工艺芯片技术的难关，其中等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则的值是（ ）
A．17 B．72 C．24 D．36
9．若a为正整数，则（ ）（其中括号内为a个a相乘）
A． B． C． D．
10．定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的个数为（ ）
①；
②；
③若，则；
④．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题
11．已知，，m，n为正整数，则 ．
12．已知，则 ．
13．已知，，则的值为 ．
14．已知，（m，n为正整数），则 ．
15．已知，，则 ．
16．如果，那么我们规定．例如：因为，所以．根据上述规定， ，若，，，且满足，则 ．
17．计算（﹣9）3×（﹣）6×（1+）3= ．
18．计算：＝ ．
19．若，则 ．
20．已知m，n，x，y满足，，则 ．
三．解答题
21．计算：
(1)；
(2)．
22．（1）计算：；
（2）已知，，求的值．
23．（1）已知，试求的值．
（2）已知，，求24m+2n的值．
24．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
(1)根据上述规定，填空：（5，125）＝，______（﹣3，1）＝______，（﹣2，）＝______．
(2)令（4，6）＝a，（4，7）＝b，（4，42）＝c，试说明下列等式成立的理由：（4，6）+（4，7）＝（4，42）．
25．比较与的大小，我们可以采用从“特殊到一般”的惠想方法：
(1)通过计算比较下列各式中两数的大小；（填“>”“<”或“=”）
①___，②___，③___，④___；
(2)由（1）可以猜测与（为正整数）的大小关系；
当___ 时，；当___时，；
(3)根据上面的猜想，则有___（填“>”，“<”或“=”）．
26．（1）若，求的值．
（2）若，求x的值．
27．若x=2m+2，y=3+4m．
（1）请用含x的代数式表示y；
（2）如果x=3，求此时y的值．
28．若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）若3x×9x×27x=312，求x的值．
（2）若x=5m﹣3，y=4﹣25m，用含x的代数式表示y．
29．阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若 (且)，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，，则，
∴，由对数的定义得
又∵，
∴．
请解决以下问题：
(1)将指数式转化为对数式_______；
(2)求证：；
(3)拓展运用：计算______．
30．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1
即S=22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据合并同类项和法则，同底数幂的运算法则，即可进行解答．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项和同底数幂的运算法则，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
2．B
【分析】根据积的乘方和同底数幂的乘法的逆运算即可求出答案．
【详解】解：
=
=
=
=-．
故选：B．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆用，同底数幂的乘法的逆用，有理数的乘方，有理数的乘法等知识点，能正确运用进行计算是解此题的关键．
3．C
【分析】根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.即可得出结果
【详解】，故选C.
【点睛】本题考查幂的乘方，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握幂的乘方法则，即可完成.
4．B
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐项进行判断即可．
【详解】解：A．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
B．，故原选项计算正确，此项符合题意；
C．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
D．，故原选项计算错误，此项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．B
【分析】根据正方体的体积公式计算，再根据幂的乘方，底数不变指数相乘进行计算即可得解．
【详解】解：正方体的体积
故选：B．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，按照幂的运算性质进行计算即可，比较简单，本题要注意科学记数法的表示形式．
6．B
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、，故符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，掌握相关的运算法则是解题的关键．
7．A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：因为1nm=10-3um，1um=10-3mm，
所以20nm=20×10-3×10-3=2.0×10-5nm．
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．C
【分析】先利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方变形，再把，代入计算．
【详解】解：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆运算解答是解题的关键．
9．A
【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方计算，即可求解．
【详解】解：．
故选：A
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
10．A
【分析】根据对数的定义和乘方意义解题即可．
【详解】解：①∵，
∴，故说法①正确，符合题意；
②设，，则，，
∴，即，
∴，
∴，即，故②正确，符合题意；
③设，则，，
∴，
∴，
∴，解得，故③说法正确，符合题意；
④设，，则，，
∴,
∴
故说法④正确，符合题意；
∴正确的说法有个，
故选：A．
【点睛】本题以新定义题型为背景，主要考查了学生的数的乘方的计算能力，在解答新定义题型的时候，首先一定要把定义理解透彻，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确．
11．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵2m=a，32n=b=25n，m，n为正整数，
∴25m+10n=(2m)5×(25n)2=a5b2，
故答案是：a5b2．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则．
12．8
【分析】根据幂的运算法则即可求解．
【详解】∵
∴
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
13．12
【分析】逆运用同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式对原式适当变形，再将值代入计算即可．
【详解】解：．
故答案为：12．
【点睛】本题考查幂的乘方公式的逆运用，同底数幂的乘法逆运用．熟练掌握相关公式是解题关键．
14．24
【分析】对进行变形可得，然后将已知条件代入即可．
【详解】解：原式．
故答案为：24
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算公式是解题的关键．
15．
【分析】根据逆用同底数幂的乘法与幂的乘法运算，进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方是解决本题的关键．
16． 3 80
【分析】由，根据规定易得(2，8)=3；由规定可得，根据同底数幂的运算及已知p+q=r，即可求得t的值．
【详解】∵
∴(2，8)=3
故答案为：3；
由规定得：
∴
∵p+q=r
∴
∴t=80
故答案为：80
【点睛】本题考查了同底数幂的运算，关键理解题意，能熟练进行同底数幂的运算．
17．﹣216
【分析】根据乘方的定义运算可计算出结果．
【详解】解：
故答案为：-216
【点睛】本题考查了乘方的运算性质，转化同指数幂相乘是解题的关键．
18．##
【分析】逆用积的乘方法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方法则的逆用，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键．
19．108
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．
【详解】∵
∴=108，
故答案为：108．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
20．
【分析】对进行通分、合并计算，然后结合已知条件进行整理，从而可求解．
【详解】解：∵1，
∴1，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的法则的掌握与应用．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，然后计算加减；
（2）先计算乘方，零指数幂，然后计算加减．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了整式的混合运算，有理数的乘方运算，零指数幂运算，掌握运算法则是解题的关键．
22．（1） （2）
【分析】（1）根据积的乘方与幂的乘方进行计算即可求解；
（2）根据逆用幂的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）∵，，
∴
．
【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方，掌握积的乘方与幂的乘方的运算法则是解题的关键．
23．（1）8；（2）2025
【分析】（1）根据已知式子求得，然后根据逆用同底数幂的乘法，以及幂的乘方运算进行计算；
（2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方进行计算即可求解．
【详解】（1）∵
∴
∴
；
（2）∵，，
∴
．
【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，解题的关键是熟练运用幂的乘方运算法则．
24．(1)3，0，
(2)见解析
【分析】（1）根据新定义的运算计算即可．
（2）由新定义可得：，，，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加可得，可得答案．
【详解】（1）如果，那么，，，，
，，．
故答案为：3，0，．
（2）由题意得：，，．
，
，
．
，，，．
【点睛】本题考查用新定义解题，理解新定义内涵，掌握同底数幂的乘法，零次幂，负整数指数幂的计算是求解本题的关键．
25．(1)①>；②>；③<；④<
(2)，
(3)<
【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据有理数比较大小的法则比较出其大小即可；
（2）由（1）中数量的大小总结出规律即可；
（3）由（2）中结论，即可求解
【详解】（1）解: ①,，
∴＞，
故答案为：＞
②，，
∴＞，
故答案为：＞
③，
∴＜，
故答案为：＜
④，，
∴＜，
故答案为：＜
（2）解：由（1）①②得：
当时，；
由（1）③④得：
当时，；
故答案为：，
（3）解：由（2）得：当时，，
∵2020＞2，
∴，
故答案为：＜
【点睛】本题考查的是负整数指数幂及有理数的大小比较，能根据（1）中有理数的大小总结出规律是解答此题的关键
26．（1）；（2）
【分析】（1）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可；
（2）先将等式的左侧化为同底数幂的运算，利用指数相等进行求解即可．
【详解】解：（1）；
（2），
∴，
∴．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法和同底数幂的乘方运算．熟练掌握同底数幂的乘法和同底数幂的乘方运算法则是解题的关键．
27．（1）y=x2﹣4x+7；（2）4．
【分析】（1）将4m变形，转化为关于2m的形式，然后再代入整理即可；
（2）把x=3代入解得即可．
【详解】解：（1）∵4m=22m=（2m）2，x=2m+2，
∴2m=x﹣2，
∵y=4m+3，
∴y=（x﹣2）2+3，
即y=x2﹣4x+7；
（2）把x=3代入y=x2﹣4x+7=4．
【点睛】本题考查幂的乘方的性质，解决本题的关键是利用幂的乘方的逆运算，把含m的项代换掉.
28．（1）x=2；（2）y=﹣x2﹣6x﹣5．
【分析】（1）先把 再利用题意列方程求解即可；
（2）把化为： 再把，从而代入可得答案．
【详解】解：（1）
∵
∴
∴
（2）∵
∴
∵
∴
【点睛】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，以及方程组中代入消元法，同时考查了利用完全平方公式的运算，掌握以上知识是解题的关键．
29．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据指数与对数的关系求解．
（2）根据指数与对数的关系求证．
（3）利用（1）、（2）中的对数运算法则求解．
【详解】（1）解：根据指数与对数关系得：．
故答案为：．
（2）解：设，则，
∴．
∴．
∴．
（3）解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关系是求解本题的关键．
30．（1）211﹣1
（2）1+3+32+33+34+…+3n=．
【分析】（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值．
（2）同理即可得到所求式子的值．
【详解】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，
将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211，
将下式减去上式得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1，
则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1．
（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n，
两边乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1，
下式减去上式得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=，
则1+3+32+33+34+…+3n=．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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