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9.1 单项式乘单项式
单项式与单项式相乘
1.单项式乘单项式的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用；
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式；
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成；
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
例：
1．计算：
(1)
(2)．
巩固练习
一．选择题（共8小题）
2．下列计算正确的是（　　　）
A． B． C． D．
3．（　　）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A．2 B．3
C．2 D．4
5．下列计算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
6．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．下列运算：①；②；③；④，其中结果正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
二．填空题（共10小题）
10．计算 ．
11．化简的结果是 ．
12．计算：
13．计算： ．
14．计算： ． ． ．
15．若，则 ．
16．若，则的值为 ．
17．已知中不含x的二次项，则 ．
18．若单项式与的积为，则 ．
19．计算：(﹣3x2y2)2 2xy+(xy)3 =
三．解答题（共12小题）
20．计算：
(1)
(2)
21．观察下列式子，并完成后面的问题：
…
(1)______；
(2)利用你得到的（1）中的结论计算：
①
②
(3)．你能利用上述关系计算______．
22．计算：
(1)　　；
(2)　　；
(3)　　；
(4)　　．
23．算一算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)已知，求的值．
(5)已知，求x的值．
24．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）已知，求的值；
（4）计算：．
25．若与的积与是同类项，求m、n．
26．有一个长方体模型，它的长为，宽为，高为，它的体积是多少？
27．若，求的值．
28．若，则求的值．
29．三角表示，方框表示，求×．
30．由这样的式子不难想到，
(1)阅读并在每条横线上写出得出该式的依据．
＝①　　，
＝②　　，
＝③　　，
＝
(2)仿照上面解题过程求与的乘积．
31．市环保局将一个长为2×106分米，宽为4×104分米，高为8×102分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，那么请你想一想，能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若有，求出正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、幂的乘方可以解答本题；
（2）根据同底数幂的乘法和除法可以解答本题．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法和乘法、零指数幂、负整数指数幂，解题的关键是明确它们各自的计算方法，准确计算．
2．D
【分析】根据合并同类项，单项式的乘法，幂的乘方，对选项逐个求解即可．
【详解】解：，A选项错误，不符合题意；
，B选项错误，不符合题意；
，C选项错误，不符合题意；
，D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了合并同类项，单项式的乘法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
3．D
【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了积的乘方和单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键，注意积的乘方指数是相乘．
4．A
【分析】根据积的乘方的法则，可得计算结果．
【详解】解：∵
∴3m=9，3m+3n=15，
∴m=3，n=2，
故选：A．
【点睛】本题考查了积的乘方，积的乘方把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
5．B
【分析】根据幂的乘方、单项式的乘除法法则判断即可．
【详解】解：A、，正确，故本选项不符合题意；
B、，原计算错误，故本选项符合题意；
C、，正确，故本选项不符合题意；
D、，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查单项式的乘法、幂的乘方，掌握幂的乘方、单项式的乘法法则是解决问题的关键．
6．B
【分析】根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
7．B
【分析】分别根据合并同类项，积的乘方，单项式的除法，积的乘方法则求解．
【详解】解：①，故①是错误的；
②，故②是错误的；
③，故③是正确的；
④，故④是正确的；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，熟记运算法则是解题的关键，
8．B
【分析】根据单项式乘单项式、同底数幂的运算法则逐一计算即可得出答案．
【详解】解：A.，计算错误，不符合题意；
B.，计算正确，符合题意；
C.，计算错误，不符合题意；
D. ，计算错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．D
【分析】根据单项式乘以单项式、积的乘方、幂的乘方、负整数指数幂逐项判断即可．
【详解】解：A. ，则该选项错误，不符合题意；
B. ，则该选项错误，不符合题意；
C. ，则该选项错误，不符合题意；
D. ，则该选项正确，符合题意．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式、积的乘方、幂的乘方、负整数指数幂等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
10．
【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法解答．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整数指数幂运算，涉及了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、负指数幂等知识点，熟悉运算法则是解题的关键．
11．##
【分析】根据积的乘方运算法则和单项式乘多项式运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和单项式乘多项式运算法则，准确计算．
12．
【分析】先计算积的乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
13．
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14． ## ##
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式运算法则进行计算即可．
【详解】解：；
；
；
．
故答案为：；；；．
【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式运算法则．
15．
【分析】先根据同底数幂乘法对等式左边进行计算，再根据相同字母的指数相等列出方程组，解出m、n的值，代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
把代入，
可得：．
故答案为：
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、解二元一次方程组、求代数式的值，解本题的关键在熟练掌握各运算的法则．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
16．4
【分析】先利用单项式乘单项式法则计算，再根据等式得到指数间关系，最后求出．
【详解】解：∵
，
∴，
∴①，②．
∴，得．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键．
17．
【分析】首先利用单项式乘以多项式去括号，进而得出的系数为0，进而求出答案．
【详解】解：∵中不含x的二次项，
∴中，，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
18．-2
【分析】根据整式的乘法运算法则即可求解．
【详解】由题意，得，，
则．
故答案为：-2．
【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
19．18x5y5+x3y3
【分析】先算积的乘方，再算乘除，最后算加法．
【详解】原式==18x5y5+x3y3，故答案为18x5y5+x3y3
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂的乘方及同底数幂的乘法运算法则进行计算即可；
（2）先算幂的乘方，单项式乘单项式，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
21．(1)
(2)①；②
(3)24200
【分析】（1）观察不难发现，从1开始的连续自然数的立方和等于自然数的个数的平方乘比个数大1的数的平方，再除以4；
（2）①根据（1）中规律计算即可；②将算式化为，再根据（1）中规律计算即可；
（3）将原式变形为，再套用（1）中公式计算可得．
【详解】（1）解：，
，
，
；
故答案为：；
（2）①
；
②
；
（3）原式
，
故答案为：24200．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据题意得出数字的规律是从1开始的连续自然数的立方和等于自然数的个数的平方乘比个数大1的数的平方，再除以4是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．
（2）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．
（3）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．
（4）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．
【详解】（1）解：；
故答案为：．
（2）解：；
故答案为：．
（3）解：；
故答案为：．
（4）解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算即可；
（2）利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果；
（3）利用同底数幂的乘法进行计算，即可得出结果；
（4）由，得出，再利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案；
（5）利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，得出关于x的等式，进而得出x的值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：∵，
∴，
∴
；
（5）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握单项式乘单项式的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，是解决问题的关键．
24．（1）；（2）；（3）-27；（4）3
【分析】（1）利用单项式乘单项式的法则，合并同类项法则进行计算，即可得出答案；
（2）利用同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项法则，即可得出答案；
（3）利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则求出m的值，代入计算即可得出结果；
（4）利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）∵，
∴，
∴，
∴3+m=6，
∴m=3，
∴=-27；
（4）
=3．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，掌握单项式乘单项式的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则是解决问题的关键．
25．m=2，n=3
【分析】先求出与的积，再根据同类项的定义列出方程组，求出m，n的值即可．
【详解】解：∵，
又∵与的积与是同类项，
∴，
解得：m＝2，n＝3．
【点睛】此题考查了单项式乘单项式，用到的知识点是单项式乘单项式和同类项的定义，单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．
26．
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则求出即可．
【详解】解：长方体的体积为：．
答：这个长方体模型的体积是．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式以及科学记数法的表示方法，正运用同底数幂的乘法法则是解题关键．
27．
【分析】首先利用单项式乘法可得，进而得到，再把两个方程相加可得答案．
【详解】解：，
则，
∴，
即，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
28．．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
29．
【分析】根据题意理解三角和方框表示的意义，然后即可求出要求的结果．
【详解】解：×．
【点睛】本题考查单项式乘单项式的知识，关键是根据题意理解三角和方框所表示的意义．
30．(1)乘法交换律，乘法结合律，同底数幂乘法性质；
(2)
【分析】（1）观察等号前后的变化，确定运算依据；
（2）利用乘法的交换律，将数与数相乘，同底数幂相乘．
【详解】（1）解：①乘法交换律；②乘法结合律；③同底数幂乘法性质．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘及乘法运算律，合理地使用运算律，能使运算简便是计算本题的关键．
31．4×104
【详解】试题分析：根据2×106×4×104×8×102=（4×104）3可得，有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满，且棱长为4×104；
试题解析：
∵2×106×4×104×8×102=（4×104）3，
∴能；
因为这些废水的体积等于长方体的体积，即
2×106×4×104×8×102=（4×104）3，
所以，这些废水能否刚好装满一个正方体贮水池，且这个正方体的棱长为4×104dm
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