资源简介

9.2 单项式乘多项式
1.单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示为：．
2.单项式乘多项式的步骤：
（1）利用乘法分配律，转化为单项式乘单项式；
（2）将单项式与单项式相乘的结果相加．
3.单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题；
4.单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同；
5.计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号；
6.对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果．
例：
1．在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
一．选择题（共8小题）
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．
5．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A． B． C． D．
6．已知-4a与一个多项式的积是，则这个多项式是（ ）
A． B． C． D．
7．某同学在计算 加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是 ，由此可以推断出正确的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
8．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，则＝（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共12小题）
10．计算： ．
11． ．
12．某同学在计算多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加，得到的结果是，那么正确的计算结果是 ．
13．已知，则的值为 ．
14．若，则的值等于 ．
15．若，，，则 ．
16．计算： ．
17．若，则括号内应填的代数式是 ．
18．□，□内应填写 ．
19．已知A是多项式，若，则A= ．
20．计算2a(a+3b)的结果等于 ．
21．如果代数式中不含项，则 ．
三．解答题（共10小题）
22．计算：
(1)
(2)
23．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2.
24．已知A，B是关于x，y的多项式，某同学在计算多项式的结果时，不小心把表示B的多项式弄脏了，现在只知道，．
(1)试求B表示的多项式．
(2)若多项式的值与字母x的取值无关，求的值．
25．如图，为提高业主的宜居环境，某小区物业准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路，求小路的面积．（要求化成最简形式）
26．如图，已知M是线段AB的中点，点P在MB上，分别以AP，PB为边作正方形APCD和正方形PBEF．设，正方形APCD和正方形PBEF的面积之差为．
(1)直接写出AP=________， BP=_________（用含有a，b的代数式表示）
(2)用含，的代数式表示（结果要化简），并求出当时的值．
(3)若，设，是否存在有理数，使得能化简为？若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由．
27．先阅读下列材料，然后解决后面的问题：
材料1：一个三位自然数a，若十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个三位数a为“正态数”．例如：，因为，所以264是“正态数”．
材料2：如果一个数b是两个连续正整数n与的积，即，则称这个数b为“邻积数”．例如：，因为，所以30是一个“邻积数”．
(1)填空：最大的“正态数”是______；90______“邻积数”．（填“是”或“不是”）
(2)求既是“正态数”又是“邻积数”的数．
28．张老师让同学们计算“当，时，的值”；小刚说，不用条件就可以求出结果．你认为他说的对吗？
29．若关于x，y的多项式的值与字母x取值无关．
(1)求的值；
(2)已知∠AOB=m°，在∠AOB内有一条射线OP，恰好把∠AOB分成1：n的两部分，求∠AOP的度数．
30．（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？
（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）
31．阅读材料：
已知x2y＝3，求2xy(x5y2－3x3y－4x)的值．
分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故应用整体思想，将x2y＝3整体代入．
解：2xy(x5y2－3x3y－4x)
＝2x6y3－6x4y2－8x2y
＝2(x2y)3－6(x2y)2－8x2y
＝2×33－6×32－8×3
＝－24.
请用上述方法解决以下问题：
已知ab＝3，求(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】利用单项式与多项式相乘的运算法则计算即可．
【详解】．
即“□”=．
故选B．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式，单项式乘多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．特别注意积的符号．
2．B
【分析】利用合并同类项的法则，单项式乘多项式的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、与y不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查合并同类项，单项式乘多项式，解答的关键是掌握相应的运算法则．
3．C
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项分别计算得出答案．
【详解】解：A、a a2＝a3，正确，不合题意；
B、，正确，不合题意；
C、，不是同类项不能相加减，因此原式计算错误，符合题意；
D、（x2）3＝x6，正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．A
【分析】利用单项式乘多项式的法则进行求解，再结合不含项，则其项的系数为0，从而求解．
【详解】解：
，
结果中不含有项，
，
解得 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则．
5．A
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【详解】解：∵左边
．
右边，
∴□内上应填写．
故选：A．
【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键．
6．D
【分析】根据-4a与一个多项式的积是得出这个多项式为，计算即可．
【详解】解：根据题意得这个多项式为：
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，是解题的关键．
7．A
【分析】先根据题意算出这个多项式，再与相加即可．
【详解】解：由题意知，
这个多项式为 ，
∴正确的计算结果为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解答本题的关键．
8．C
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可判断A；根据同底数幂的乘法法则计算即可判断B和C；根据单项式乘多项式法则计算即可判断D．
【详解】，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算正确，符合题意；
，故D计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查幂的混合计算，同底数幂的乘法，单项式乘多项式．掌握各运算法则是解题关键．
9．A
【分析】根据乘除法的互逆性首先求出B，然后再计算即可求解．
【详解】解：由题意，得，
所以，
所以．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了整式的乘法以及整式的加法，题目比较基础，基本计算是考试的重点．
10．
【分析】根据单项式与多项式的乘法法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式与多项式的乘法运算；解题的关键是熟记单项式与多项式相乘，用单项式与多项式中的每个项分别相乘，再把得到的积相加．
11．
【分析】用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】主要考查单项式与多项式的乘法法则，解题的关键是要注意符号的运算．
12．
【分析】根据抄错运算符号后的结果为，可求出多项式A，再根据多项式乘单项式的运算法则计算即可．
【详解】由题意可知多项式A为，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查整式的加减运算，多项式乘单项式．掌握运算法则是解题关键．
13．16
【分析】由变形为，代入，化简即可求值．
【详解】解：，，将代入得：
故答案为：．
【点睛】本题结合整式的运算考查了代数式的求值，关键是根据已知条件变形，运用消元法思想对目标代数式进行消元，由二元变为一元甚至常数．
14．
【分析】根据已知等式得出，将代数式化简然后整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴
．
故答案为：88．
【点睛】本题主要整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解决本题的关键．
15．
【分析】先将和表达出来，最后代入求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴
，
，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值和整式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键．
16．
【分析】把单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是单项式乘以多项式，掌握“单项式乘以多项式的运算法则”是解本题的关键．
17．3m-2##-2+3m
【分析】将等式的右边进行因式分解，即可求解．
【详解】∵，
∴括号内的代数式为3m-2，
故答案为：3m-2．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，掌握提公因式法是解答本题的关键．
18．
【分析】根据单项式乘多项式法则计算等号左边，再根据左右两边相等得出结论．
【详解】解：∵，
∴□内应填写，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的运算，掌握单项式乘多项式的法则，就是用单项式去乘多项式里面的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
19．
【分析】将x2y2﹣2x2y﹣3xy2利用提公因式法进行因式分解，再除以2xy即得A．
【详解】解：∵x2y2﹣2x2y﹣3xy2，
＝xy（xy﹣2x﹣3y），
∴A＝xy（xy﹣2x﹣3y）÷2xy，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式，关键在于学生要运用它的逆运算转化为多项式除以单项式．
20．
【分析】按照单项式乘多项式的法则进行即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的法则是关键．
21．
【详解】不含有项，说明项的系数为，依此可得关于的方程，解方程即可求解．
【分析】解：代数式中不含项，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，不含某项，说明整理后的这项的系数之和为，正确的合并同类项是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）先把除法化为乘法，再计算乘法运算即可；
（2）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
【点睛】本题考查的是有理数的乘除混合运算，整式的混合运算，掌握各自运算的运算顺序是解本题的关键，易错点是除法没有分配律．
23．﹣20a2+9a；-98
【分析】先计算整式的乘法，然后计算加减，最后代入求值即可.
【详解】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
当a＝﹣2时，
原式＝﹣20×4﹣9×2
＝﹣98.
【点睛】题目主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键.
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据减法的意义先列式求解，可得，从而可得答案；
（2）由于多项式的值与的取值无关，可得含的一次项与二次项的系数为0，可得，的值，再代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：
∴
．
（2）由于多项式的值与的取值无关，且，
所以，，
解得：，．
∴．
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某字母的值无关，求解代数式的值，理解题意，列出运算式与方程是解本题的关键．
25．小路的面积共有平方米．
【分析】根据小路的面积两个长方形面积中间重叠部分的正方形的面积计算即可．
【详解】解：小路的面积
（平方米）．
答：小路的面积共有平方米．
【点睛】本题考查单项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则．
26．(1)AP=a+b，BP=a-b
(2) 20
(3)能，k=2或k=-2
【分析】（1）利用线段的中点的含义先求解再利用线段的和差可得答案；
（2）直接利用大的正方形的面积减去小的正方形面积进行计算即可；
（3）先计算R+S=，把代入到R+S中，可得关于k的方程，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵M是线段AB的中点，
∴
∴AP=a+b，BP=a-b
故答案为：
（2）∵
∴S=（a+b）2-（a-b）2=4ab；-
当，时，S=4ab=20
（3）∵R+S=
=-
把代入到R+S中
∴=
∴
∴k=2或k=-2
【点睛】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义，完全平方公式的应用，整式的乘法，利用平方根的含义解方程，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
27．(1)990；是
(2)110或132
【分析】（1）根据“正态数”、“邻积数”的定义判断即可；
（2）先根据“正态数”定义设未知数表示这个三位数，再根据“邻积数”求值即可；
【详解】（1）∵若十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个三位数a为“正态数”
∴十位上的数字最大为9，且百位上的数字与个位上的数字之和为9
∴最大的“正态数”是990
∵
∴90是“邻积数”
（2）既是“正态数”又是“邻积数”的数百位上的数字为a、个位上的数字为b，则十位上的数字是（a+b），这个三位数是
∵这个三位数是“邻积数”
∴或
∵a为正整数、b为非负整数
∴或
∴既是“正态数”又是“邻积数”的数是110或132．
【点睛】本题考查了因式分解的应用和新定义，解题的关键是根据“正态数”设未知数表示三位数．
28．对，理由见解析．
【分析】先计算整式的乘法，再计算整式的加减即可得．
【详解】解：，
，
，
由此可知，所求式子的值与，的值无关，
所以小刚说得对．
【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
29．(1)116
(2)40°或80°
【分析】（1）不含x的项，所以40 m=0， n+2=0，然后解出m、n即可；
（2）把m和n代入，分∠AOP：∠BOP=1：2和∠AOP：∠BOP=2：1两种情况讨论，列式计算即可．
【详解】（1）解：由题可知：40 m=0， n+2=0，
解得：m=120，n=2，
∴m n2=120 22=116；
（2）解：由（1）得：m=120，n=2，
∴∠AOB=120°，
如图①，当∠AOP：∠BOP=1：2时，
∠AOP=∠AOB=40°；
如图②，当∠AOP：∠BOP=2：1时，
∠AOP=∠AOB=80°；
综上：∠AOP=40°或80°．
．
【点睛】本题考查了整式的加减，一元一次方程的解，以及角的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
30．（1）y2+4xy， ay2+4axy；（2）14yh+4xh，14yhb+4xhb．
【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每平方米地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可；
（2）求出客厅与卧室的面积，乘以高h，即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可．
【详解】解：（1）由题意知，两个卧室以外的部分面积为：
3y y+2y （3x﹣x﹣y）
＝3y2+4xy﹣2y2
＝y2+4xy（平方米）．
∴购买地砖所需的费用为：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）．
（2）客厅贴墙纸的面积为：（2y+6y）h＝8yh，
两个卧室贴墙纸的面积为：（4x+6y）h＝4xh+6yh，
∴贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米），
∴购买墙纸所需的费用为：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
31．﹣78.
【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案．
【详解】(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)
＝－4a3b3＋6a2b2－8ab
＝－4(ab)3＋6(ab)2－8ab
＝－4×33＋6×32－8×3
＝－78.
【点睛】本题考查了单项式乘多项式，整体代入是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑