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9.3 多项式乘多项式
1.多项式与多项式相乘的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即．
（1）在进行多项式的乘法运算时，不要出现漏解的情况；
（2）要注意确定积中的每一项的符号，多项式中的每一项都包含它前面的符号；
（3）若结果中含有同类项，则一定要进行合并同类项，使得结果为最简形式．
2.特殊的二项式相乘：（为常数）；
3.多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并；
4.多项式乘多项式法则也适用于多个多项式相乘，即按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积和第三个多项式相乘，依次类推．
例1
1．如果在计算所得的结果中不含x的一次项，则常数m的值为（ ）
A． B． C． D．
例2
2．若关于的多项式与的乘积中，一次项系数为25，则的值（ ）
A．5 B．-5 C．3 D．-3
巩固练习
一．选择题（共8小题）
3．若，则常数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．－3 D．－2
4．若，则m的值为（　　）
A．-8 B．2 C．-2 D．-5
5．已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
6．下面四个整式中，不能表示图中（图中图形均为长方形）阴影部分面积的是（　　）
A． B． C． D．
7．有足够多张如图所示的类、类正方形卡片和类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．若与的乘积中不含x的一次项，则a的值是（ ）
A． B．0 C．3 D．9
9．已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．
10．从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
二．填空题（共10小题）
11．已知的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，则mn的值为 ．
12．若与的乘积中不含的二次项，则实数的值为 ．
13．若 的展开式中不含和项，则的值为 ．
14．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为，宽为的矩形，需要B类卡片 张．
15．对于实数a，b，c，d，规定一种运算=ad-bc，如=1×(-2)-0×2=-2，那么当=27时，则x= ．
16．已知“”是一种数学运算符号：为正整数，，如，，若，则 ．
17．若，则 ．
18．在数学课上，小明计算时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为 ．
19．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则本题的正确结果是 ．
20．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、．
（1）请比较与的大小： ．
（2）满足条件的整数有且只有4个，则 ．
三．解答题（共11小题）
21．计算：
(1)
(2)．
22．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，将阴影部分进行绿化．
(1)用含有、的式子表示绿化的总面积；
(2)若，，求出此时绿化的总面积．
23．观察下列各式：
①
②
③
由上面计算的结果找规律，完成填空：
(1)+______+______；
(2)利用这个规律进行计算：
24．聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形．
(1)请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽；
(2)如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．
25．如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为（2a﹣b）米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
(1)求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）
(2)求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）
(3)当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．
26．某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中．
(1)长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多少株？
(2)当，时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？
27．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．
(1)直接写出图2中阴影部分的正方形的边长为_________；
(2)观察图2，请直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系是______；
(3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①若，，求的值；
②若，求的值．
28．在运算中，我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度．在解答下列问题中，请探究其中的规律．
(1)计算后填空：_________；
_________；
_________；
(2)归纳猜想后填空：____________
(3)运用（2）中得到的结论，直接写出计算结果：______．
29．已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4

(1)猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+ +xn﹣1）＝　 　；
(2)应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝　 　；
②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+...+x2+x+1）＝　 　．
(3)判断2100+299+298+...+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．
30．以下关于的各个多项式中，均为常数．
（1）根据计算结果填写下表：
二次项系数 一次项系数 常数项
2 2
6
（2）已知既不含二次项，也不含一次项，求的值．
（3）多项式与多项式的乘积为，则的值为________．
31．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图①，可得等式：(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2.
(1)由图②，写出所得的等式；
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，求a2＋b2＋c2的值；
(3)如图③，琪琪用2 张A型纸片，3 张B型纸片，5 张C型纸片拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为多少．(直接写出答案)
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据多项式乘多项式法则将其展开并合并，然后根据所得的结果中不含x的一次项，令含x的一次项的系数为0即可求出结论．
【详解】解：==
∵所得的结果中不含x的一次项，
∴m－6=0
解得：m=6
故选B．
【点睛】此题考查的是整式的乘法：不含某项问题，掌握多项式乘多项式法则和不含某项，即化简后，令其系数为0是解题关键．
2．B
【分析】计算多项式的结果后，其一次项系数为25即可求出m的值．
【详解】解：．
∵结果中一次项系数为25，
∴10-3m=25．
解得m=-5．
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
3．A
【分析】先根据多项式乘多项式运算法则将等式左边去括号整理，进而可求解．
【详解】解：∵
，
∴，则，
故选：A．
【点睛】本题考查整式的乘法、多项式，解答的关键是根据多项式乘多项式运算法则去括号．
4．B
【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，恒等原理等，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，恒等的两个代数式对应项系数相等，是求解的关键．
5．A
【分析】根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数为零与一次项的系数为的要求建立方程组，即可求解．
【详解】
∵多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0．
6．A
【分析】由图可得，阴影部分的面积可以用一个小正方形与两个小长方形的面积和，即阴影部分面积；然后把四个选项中的整式都用整式运算法则进行变形，则最终变形结果不是，就是不能表示图中阴影部分面积的整式．
【详解】解：由图可得，图中阴影部分可以用一个小正方形与两个小长方形的面积和，
即阴影部分面积；
∵，
，
，
又∵，
∴不能表示图中阴影部分面积的是，故A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式运算法则，准确计算．
7．C
【分析】计算，结果中项的系数即为需要类卡片的张数．
【详解】解：，
需要类卡片5张，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的乘法，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要类卡片的张数．
8．D
【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，得出，再求出a即可．
【详解】解：
，
∵与的乘积中不含x的一次项，
∴，
解得：
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，合并同类项后，让这一项的系数为0是解题关键．
9．B
【分析】先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案．
【详解】解：
；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出的取值范围是解题的关键．
10．A
【分析】原面积可列式为，第二年按照庄园主的想法则面积变为，又，通过计算可知租地面积变小了．
【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米），
第二年按照庄园主的想法则面积变为
平方米，
∵，
∴，
∴面积变小了，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，关键在于学生认真读题结合所学知识完成计算．
11．6
【分析】根据多项式乘多项式运算法则进行化简，然后令含x的一次项的系数为零以及常数项为即可求出答案．
【详解】解：
，
∵的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．
12．
【分析】利用多项式与多项式相乘，展开后合并同类项，再令含x的二次项系数为0，求解即可．
【详解】解：
，
∵与的乘积中不含的二次项，
∴，
解得：，
∴实数的值为．
故答案为：
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘积，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则与合并同类项是解本题的关键．
13．17
【分析】利用多项式乘以多项式计算法则展开，然后再合并同类项，进而可得、的值．不含二次项、三次项，说明二次项的系数与三次项的系数都为零，由此即可求出答案．
【详解】原式
，
∵展开式中不含和项，∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即合并同类项．最后根据不含哪项，则该项的系数为零，是解题的关键．
14．5
【分析】利用长乘宽，求出长方形面积，找出各个面积对应卡片，即可找出相应的数量．
【详解】解：长方形面积长宽，
，
由题可知：A类面积，类面积，类面积，
需要A类，类，类卡片分别是3，5，2．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡片数量．
15．22
【分析】由题中的新定义可知，此种运算为对角线乘积相减的运算，化简所求的式子得到关于x的方程，然后解方程即可求出x的值．
【详解】解：∵=27，
∴(x+1)(x-1)-(x+2)(x-3)=27，
∴x2-1-(x2-x-6)=27，
∴x2-1-x2+x+6=27，
∴x=22；
故答案为：22．
【点睛】本题考查了新定义运算，及灵活运用新定义的能力，根据新定义把所给算式转化为一元一次方程是解答本题的关键．
16．
【分析】根据所规定的运算进行求解即可．
【详解】解：，
，
则，
解得：或不符合题意，舍去，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．7
【分析】根据等式中等号两边同类项的系数相等求出、、的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
解得，
把代入得：，
∴，
∴，
∴ ，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，运用相关法则正确计算是解题的关键．
18．2
【分析】设被染黑的常数为a，利用乘法公式展开，根据一次项系数为0即可求出a的值．
【详解】解：设被染黑的常数为a，
则，
∵结果中不含有一次项，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，本题也可以通过平方差公式快速求解．
19．
【分析】根据甲的描述利用多项式乘以多项式的计算法则得到，根据乙的描述可得，由此得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值代入原多项式中求解即可．
【详解】解：∵由于甲抄错了的符号，得到的结果是，
∴，
∴，
∴，
∵乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴原多项式为，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，正确理解题意得到关于a、b的二元一次方程组是解题的关键．
20． ＞ 2
【分析】（1）根据矩形的面积公式计算出和，再求出差即可比较出大小；
（2）根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论．
【详解】解：（1），
，
为正整数，
,
故答案为：；
（2）由（1）得，，
有4个整数解
这4个整数为5，6，7，8，
为正整数，
，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算、一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握多项式乘多项式、矩形的性质、正方形的性质等知识．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法运算法则和运算顺序即可进行解答；
（2）根据多项式除以单项式的运算法则和运算顺序即可进行解答．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多现实和多现实除以单项式，解题的关键是掌握多项式的乘法和除法运算法则．多项式乘以多项式，把前面一个多项式的每一项分别乘以后面一个多项式的每一项；多项式除以单项式，用多项式的每一项分别除以单项式．
22．(1)平方米
(2)196平方米
【分析】（1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式，列式求解即可；
（2）将，代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意得：
平方米；
（2）当，，
（平方米）．
【点睛】本题主要考查了列代数式，整式混合运算以及代数式求值，解题关键是熟练掌握相关运算法则．
23．(1)；
(2)
【分析】（1）根据规律可以发现右边一次项系数是左边两个多项式的常数项的和，右边的常数项是左边两个多项式的常数项的积，即可求解；
（2）先将每个括号内进行分组，再利用规律求解．
【详解】（1）∵，
故答案为：；．
（2）
=
=
=．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，解题关键是发现题中的规律．
24．(1)型卡片的长为：，宽为：
(2)所拼成的长方形的面积为364
【分析】（1）结合图形进行分析得出型卡片的长和宽即可；
（2）根据图形以及第（1）问求出的型卡片的长和宽即可表示拼出的长方形的面积．
【详解】（1）由题意得：型卡片的长：，宽为：；
（2）所拼成的长方形的面积为：
，
当，时，
原式=．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解答的关键是得出型卡片的长和宽．
25．(1)平方米
(2)平方米
(3)67平方米
【分析】（1）利用长方形面积公式直接计算即可；
（2）利用长方形面积公式直接计算即可；
（3）先将阴影部分面积计算出来，再代值进行计算即可求解．
【详解】（1）∵平方米，
∴长方形地块的面积为平方米；
（2）∵平方米，
∴雕像的面积为平方米；
（3）∵绿化部分的面积为平方米；
∴当a＝3，b＝1时，
（平方米），
∴绿化部分的面积为67平方米．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则，单项式与多项式相乘的运算法则．
26．(1)长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗株
(2)该种植基地这两块实验田一共种植了184株豌豆幼苗
【分析】（1）利用正方形的面积与长方形的面积，列式计算即可．
（2）把两块面积加起来化简后代入数值即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
答：长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗株；
（2）解：由题意得：，
当，时，原式，
答：该种植基地这两块实验田一共种植了184株豌豆幼苗.
【点睛】本题主要考查整式的乘法公式的应用，能够利用整式表示实际意义并列式计算是解题关键．
27．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；
（2）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图2中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到；根据等面积法即可求解．
（3）根据（2）的等量关系进行计算即可求解．
【详解】（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即，
故答案为：，
（2）正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即，阴影部分正方形的边长等于m-n，面积为；
，
（3）①，，
，
②，
，
即，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
28．(1)；；
(2)，
(3)
【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则进行计算即可；
（2）根据（1）的结果得出规律即可；
（3）根据得出即可．
【详解】（1）
故答案为：；；．
（2）
故答案为：，．
（3）
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的应用，主要考查学生的计算能力．
29．(1)
(2)①或-127；②
(3)1；详见解析
【分析】（1）根据一系列等式总结出规律即可；
（2）①利用得出的规律计算即可得到结果；
②所求式子变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）所求式子个位上数字为1，理由为：将所求式子变形后，利用规律计算，根据以2为底数的幂的个位数字，以2，4，8，6循环，用101除以4得到余数为1，即可得到结果个位上的数字为1．
【详解】（1）解：根据已知式子可以猜想：
．
故答案为：．
（2）解：①根据解析（1）可知，；
故答案为：-127；
②
故答案为：．
（3）解：个位数是1，理由如下：
2100+299+298+...+22+2+1
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，…，其结果以2，4，8，6循环，
∴101÷4＝25…1，
则个位上数字为2，即个位上数字为1．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，找出本题的规律是解本题的关键．
30．（1）5，，；（2）1；（3）．
【分析】（1）根据多项式乘以多项式即可求解；
（2）先用完全平方公式展开第一项，再进行多项式乘以多项式，合并同类项后使二次项系数和一次项系数为0即可求解；
（3）根据多项式乘以多项式的结果可以设多项式 M，再根据恒等式的意义即可求解；
【详解】（1）
∴一次项系数是5，
∴一次项系数是，
∴一次项系数是．
（2）
即不含二次项，也不含一次项，
，
解得，
．
（3）设，则
，
．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式， 解决本题的关键是准确进行计算，同时理解恒等变形；
31．(1)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；(2)45；(3)2a＋3b.
【分析】）（1）由题意及图②进行作答.（2）由（1）中答案知，(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，所以112＝ a2＋b2＋c2＋238，得出答案.（3）根据前两问答案进行作答.
【详解】(1)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，
(2)∵a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，
∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋ac＋bc)＝112－2×38＝45.
(3)2a＋3b.
【点睛】本题考查了图形面积与完全平方的综合运用，熟练掌握图形面积与完全平方的综合运用是本题解题关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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