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9.4 乘法公式
知识点一、完全平方公式
1.完全平方公式：，，即两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
2.完全平方公式的推导：
（1）用多项式乘法法则进行推导，过程如下：
①；
②
（2）通过面积法推导完全平方公式：
①如图所示是一个边长为的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到；
②如图所示，边长为的小正方形的面积是，
它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到.
3.完全平方公式的结构特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
4.完全平方公式的常见变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
5.三项或三项以上的和（差）的平方可以转化为两项的和（差）的平方，如：
（1）；
（2）.
例：
1．如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
知识点二、平方差公式
1.平方差公式：，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
2.平方差公式的推导：
（1）用多项式乘法法则进行推导：；
（2）通过面积法推导平方差公式：
如图1所示，涂色部分的面积为，如图2所示，涂色部分的面积为，所以可以得到.
3.平方差公式结构特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差.
4.平方差公式的变化：
（1）位置变化：；
（2）符号变化：；
（3）指数变化：；
（4）系数变化：；
（5）增项变化：；
（3）连用公式：.
例：
2．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）

A．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2
C．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） D．（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab
巩固练习
一．选择题（共8小题）
3．下列关系式中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列不能用平方差公式运算的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则的值为（　　）
A．3 B．6 C．8 D．11
6．如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（ ）
A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2
7．如图，在边长为 a 的正方形中减去一个边长为 b 的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，大正方形与小正方形的面积之差是 80，则阴影部分的面积是（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
9．如图，4张边长分别为a、b的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（　　）
A． B．
C． D．
10．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2022﹣1的值为（　　）
A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2
二．填空题（共10小题）
11．计算 ．
12．若，，则 ．
13．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是 ．
14．如果是一个完全平方式，则的值是 ．
15．计算的结果是 ．
16．用8个一样大的矩形（长，宽）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案．图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的矩形，图案甲的中间留下了边长是的正方形小洞，则的值是 ．
17．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=20，ab=30，则阴影部分的面积为 ．
18．若是（k为实数）关于x的完全平方式，则的值为 ．
19．若，则 ．
20．我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
若……，请根据上述规律，写出的值等于 ．
三．解答题（共12小题）
21．计算：
(1)；
(2)．
22．已知代数式化简后，不含有项和常数项．
(1)求，的值．
(2)求的值．
23．如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：
(1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；
(2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．
24．在学方差公式”时，张老师出了一道题：计算嘉嘉发现把写成，把写成后可以连续运用平方差公式进行计算．
请根据上述思路，计算：
(1)；
(2)．
25．用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．
(1)用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；
(2)利用（1）中的结论计算：a+b＝3，ab＝，求a﹣b的值（a＞b）．
26．观察下列各式
(1)根据以上规律，则___________；
(2)你能否由此归纳出一般规律___________；
(3)根据以上规律求…+的结果．
27．现有3张卡片，它们可以拼成一个大的长方形（如图1）．
、
(1)你还能用三张卡片拼成其他的四边形吗？请画出草图；
(2)小明写出图1中大的长方形的周长为，小红写出大长方形的周长为，两位同学写的算式结果一样吗 为什么？
(3)如图2，有四张边长分别为a，b，c的直角三角形纸片，将它们拼成一个大的空心的正方形，利用这个大正方形解决问题：
①根据（2）中蕴含的思想方法写出一个关于a，b，c的等式；
②知小直角三角形纸片的面积为6，两条直角边之和为7，求中间小正方形的边长．
28．将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，末被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．
(1)当时，求长方形的面积；
(2)当时，请用含a，b的式子表示的值．
(3)若长度不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，而的值保持不变，则a，b满足的关系是
29．阅读以下材料：
；
；
…
(1)根据以上规律，　　；
(2)利用（1）的结论，求的值；
(3)利用（1）的结论，求的值．
30．图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是________（用、表示）；
(2)请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：________，②：________；
(3)观察图（2），请写出、、之间的一个等量关系________；
(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
31．探究应用：
(1)计算：
①；
②；
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你能发现一个新的乘法公式：______（请用含a，b的式子表示）
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
(4)直接用公式写出计算结果：______．
32．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1；型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形．
（1）选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式_______；
（2）请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
（3）选取1张型卡片，4张型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，则当与满足______时，为定值，且定值为________．（用含或的代数式表示）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】设AB＝x，AD＝y，根据题意列出方程x2+y2＝17，2（x+y）＝10，利用完全平方公式即可求出xy的值．
【详解】解：设AB＝x，AD＝y，
∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2
∴x2+y2＝17，
∵矩形ABCD的周长是10cm
∴2（x+y）＝10，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴25＝17+2xy，
∴xy＝4，
∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形面积、矩形面积和完全平方公式，恰当的设未知数，建立方程，设而不求，只求xy的值是解题关键．
2．C
【分析】分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案．
【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，
图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
故选择：C．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．
3．C
【分析】根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式，正确的计算是解题的关键．
4．D
【分析】根据平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2解答．
【详解】解：A、（x+1）（x-1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（-x+1）（-x-1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、（x+1）（-x+1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（1+x）不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
5．B
【分析】将变形为，同时将化为，可得出的值，再将分解因式，最后将和的值代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解的应用，求代数式的值，运用完全平方分式变形求值．灵活运用所学知识进行恒等变形是解题的关键．
6．C
【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可．
【详解】解：设AB=x，AD=y，
∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2，
∴x+y=6，x2+y2=20，
∴x2+y2=(x+y)2 2xy=20，
∴62 2xy=20，
∴xy=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式．
7．C
【分析】用代数式表示出两个图形阴影部分的面积，即可得出等式．
【详解】解：左图的阴影部分的面积为a2-b2，
右图的阴影部分的面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），
故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是得出等式的前提．
8．B
【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，将转化为，即，代入计算即可．
【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，
由于大正方形与小正方形的面积之差是80，即，
，
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
9．B
【分析】根据外面大正方形的面积减去中间小正方形的面积等于4个长方形的面积即可得．
【详解】解：由图可知，外面大正方形的面积减去中间小正方形的面积等于4个长方形的面积，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，找出图中的面积关系是解题关键．
10．B
【分析】根据（x-1）（x5+x4+x3+x2+x+1）=0，得到x6-1=0，求出x=±1，分两种情况代入到代数式求值即可．
【详解】解：∵（x-1）（x5+x4+x3+x2+x+1）=0，
∴x6-1=0，
∴x=±1，
当x=1时，原式=1-1=0；
当x=-1时，原式=1-1=0；
故选：B．
【点睛】本题考查了探索规律，平方差公式，多项式乘多项式，考查分类讨论的思想，根据条件求出x的值是解题的关键，不要漏解．
11．b
【分析】先算乘方，再算除法．
【详解】解：
故答案为：b．
【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的化简能力．
12．
【分析】利用平方差公式展开，求得的值即可．
【详解】解：∵，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，解题的关键是对多项式正确的因式分解．
13．4或-6
【分析】依据完全平方式的结构特点列出关于m的方程即可．
【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式，
∴，即
∴解得：m=4或m=-6，
故答案为：4或-6.
【点睛】本题主要考查的是完全平方式，掌握完全平方式的结构特点是解题关键．
14．±6
【分析】利用完全平方公式的结构特征即可得．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
15．4
【分析】运用平方差公式进行简便运算．
【详解】解：原式
．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．熟记公式结构是解题的关键．
16．##4平方厘米
【分析】利用甲、乙两图形的面积得出表示中间正方形小洞的面积，进而得出答案即可．
【详解】解：图形中甲、乙两图形的面积分别为：和，
故中间正方形小洞的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形的面积，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．
17．155
【分析】先由图形得出阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去两个三角形的面积，然后在化简计算过程中配成含有（a＋b）2和ab的式子，就能把a＋b＝20，ab＝30代入计算了．
【详解】解：∵a＋b＝20，ab＝30，
∴S阴影＝a2＋b2 a2 b(a＋b)，
＝(a2＋b2 ab)，
＝[(a＋b)2 3ab]，
＝(400 90)，
＝155，
故答案为：155．
【点睛】本题考查整式乘法与几何图形的面积计算，熟练掌握完全平方公式在化简计算中的常见变形方法是解题的关键．
18．10或26##26或10
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值，代入计算即可．
【详解】解：∵是（k为实数）关于x的完全平方式，，
∴，
当时，；
当时，；
综上所述，的值为10或26．
故答案为：10或26
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19．4045
【分析】设x＝2021﹣A，y＝2020﹣A，根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2即可求出答案．
【详解】解：设x＝2021﹣A，y＝2020﹣A，
∴x﹣y＝2021﹣A﹣2020+A＝1，
∵（2021﹣A）（2020﹣A）＝2022，
∴xy＝2022，
∴原式＝x2+y2
＝（x﹣y）2+2xy
＝1+2×2022
＝4045，
故答案为：4045．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟练运用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，本题属于基础题型．
20．2
【分析】令时，，进一步可得结论．
【详解】解：∵……
∴当时，
……
=
∴
∴
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解答本题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可解答；
（2）利用多项式乘多项式的法则，进行计算即可解答．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了整式的除法，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．(1)0.5；
(2)
【分析】（1）先算乘法，合并同类项，即可得出关于、的方程，求出即可；
（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】（1）解：
，
∵代数式化简后，不含有项和常数项．，
∴，，
∴，；
（2）∵，，
∴
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．
23．(1)；
(2)
【分析】（1）根据拼图，用代数式表示出拼成的长方形的长，即可求得答案．
（2）用代数式表示变化后长方形的长与宽，再根据面积间的关系列方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
剪拼后所得的长方形的长为：，宽为：，
因此周长为：，
面积为：．
（2）由题意得，
，
解得，
a的值为．
【点睛】本题考查了列代数式、根据等量关系列一元一次方程，用代数式正确表示图形的边长、周长和面积是解题的关键．
24．(1)9999
(2)1
【分析】（1）将原式化为，连续利用平方差公式进行计算即可；
（2）将改写成后，连续利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
25．(1)4ab，(a+b)2 (a b)2，(a+b)2 (a b)2=4ab，用乘法公式说明成立的过程见详解
(2)a-b=2
【分析】（1）阴影部分的面积的两种计算方法：①利用四个长为a，宽为b的长方形面积之和即可得，②利用大正方形（边长为a+b）的面积减去小正方形（边长为a b）的面积即可得，由此即可得到等式，再利用完全平方公式进行说明即可；
（2）根据（1）中的结论、代入即可求出a b的值即可．
【详解】（1）解：阴影部分的面积的两种计算方法：
①其等于四个长为a，宽为b的长方形面积之和，即为4ab，
②其等于大正方形（边长为a+b）的面积减去小正方形（边长为a b）的面积，即(a+b)2 (a b)2，
所以得到的等式为(a+b)2 (a b)2=4ab，
用乘法公式说明成立的过程如下：
(a+b)2 (a b)2
=(a2+2ab+b2)-( a2-2ab+b2)，
= a2+2ab+b2- a2+2ab-b2，
=4ab；
（2）解：∵a+b=3，ab=，(a+b)2 (a b)2=4ab
∴32 (a b)2=4×，
∴(a b)2=4，
解得：a b=±2，
又∵a>b，
∴a b=2．
【点睛】此题考查了完全平方公式与几何图形，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
26．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）仿照已知等式求出所求原式的值即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可求出值．
【详解】（1）解：根据题意得：；
故答案为：
（2）根据题意得：；
故答案为：
（3）原式＝=；
【点睛】此题考查了平方差公式，规律型：数字的变化类，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
27．(1)见解析
(2)一样，理由见解析
(3)①；②25
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）分别化简小明和小红的结果，即可得出答案；
（3）①用两种方法表示四个三角形的面积和，可以得出答案；
②由题意得，，根据求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：小明的结果化简得：，
小红的结果化简得：
∴两位同学化简结果一样．
（3）解：①根据四个小直角三角形的面积之和可知：
，
即；
②由题意得：，则，
，
∵
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，列代数式，根据图形列出代数式，是解题的关键．
28．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据长方形的面积公式，直接计算即可；求出和的面积，相减即可；
（2）用含a、b的式子表示出和的面积，即可求得结论；
（3）用含a、b、的式子表示出，根据的值与AD的值无关，整理后，让的系数为0即可．
【详解】（1）解：长方形的面积为；
（2）解：
；
（3）解：∵，
整理，得：，
∵的值总保持不变，即的值与的值无关，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
29．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）读懂题意利用规律填空即可：
（2）利用（1）得到的规律把代入求解即可；
（3）利用（1）得到的规律把代入求出，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：∵；
；
……，
∴可以推出，
故答案为：
（2）解：∵，
∴当时，
，
∴；
（3）解：∵，
∴当时，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
30．(1)
(2)①②
(3)
(4)
【分析】（1）根据观察图形，可得小正方形的边长；
（2）根据正方形的面积公式，可得方法一，根据面积的和差，可得方法二；
（3）根据同一图形的面积的两种表示方法，可得答案；
（4）根据（3）中的等量关系，可得答案．
【详解】（1）图（2）中阴影部分的正方形的边长是，
故答案为：
（2）请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①，②，
故答案为：；
（3）由（2）中面积的两种表示方法可得：，
故答案为：
（4）由（3）得
又∵，
∴
∴
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．
31．(1)；
(2)
(3)C
(4)
【分析】（1）按多项式的乘法法则进行展开后，合并同类项即可得；
（2）根据（1）中的计算进行总结即可；
（3）根据（2）中总结的公式特点进行判断即可；
（4）利用（2）中的公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
．
（2）解：如中，，，，
∴发现的公式为：．
故答案为：
（3）解：A、，不符合（2）中公式规律，故不符合题意；
B、，不符合（2）中公式规律，故不符合题意；
C、，符合（2）中公式规律，故符合题意；
D、，不符合（2）中公式规律，故不符合题意．
故选：C
（4）解：根据公式，原式．
故答案为：
【点睛】本题考查了多项式乘多项式及探索规律题，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
32．（1）=；（2）见解析；（3）；．
【分析】（1）从个体和从整体两个方面计算大正方形的面积即可解题；
（2）利用因式分解将化为，结合长方形面积公式画图；
（3）设DG=x，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关解题．
【详解】解：（1）从个体看：大正方形面积为，从整体看，大正方形面积为，
故得到乘法公式：=，
故答案为：=；
（2）根据长方形面积公式画图如下：
；
（3）设DG=x，由图可知
，
若为定值，则S将不随x的变化而变化，
即，
，
此时
故答案为：；．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
答案第1页，共2页
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