资源简介

9.5 多项式的因式分解
知识点一、因式分解
因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式；
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止；
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
例：
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
知识点二、公因式
公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式；
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
例
2．多项式中，各项的公因式是（ ）
A． B．
C． D．
知识点三、提公因式法分解因式
1. 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，如多项式就可以写成是与的积，即.
2. 提公因式法的实质就是乘法分配律的逆用，；
3. 用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式；
4. 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号；
5. 用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
例：
3．已知，，则代数式的值是（ ）
A．6 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6
知识点四、运用公式法分解因式
1. 运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法；
2. 逆用平方差公式：，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.
3. 逆用完全平方公式：，，即两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方.
例：
4．下列结论正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
C．a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b） D．a2﹣2b2＝（a+2b）（a﹣2b）
一.选择题（共8小题）
5．下列因式分解变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新的两位数与原两位数相加，则所得的和一定是（ ）
A．11的倍数 B．奇数 C．偶数 D．9的倍数
7．已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（ ）
A．16 B．22 C．34 D．36
8．－的结果最接近于（ ）
A． B． C． D．
9．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知实数a，b同时满足，则b的值是（ ）
A．2或 B．2 C．或6 D．
11．已知，则的值为（　　）
A．57 B．120 C． D．
12．已知，那么的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
二.填空题（共10小题）
13．分解因式： ．
14．已知实数，满足，，则 ．
15．已知长方形的周长为12，面积为8，若长方形长为a，宽为b，则a2b+ab2＝ ．
16．已知，则 ．
17．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，，，，），请把9表示为两个正整数的平方差的形式 ．
18．若xy=-3，x+y=5，则2x2y+2xy2= ．
19．若m2＝n+2022，n2＝m+2022（m≠n），那么代数式m3－2mn+n3的值 ．
20．若，则m — n的值为 ．
21．若，，则 ．
22．已知a，b，c是的三边，，则的形状是 ．
三.解答题（共14小题）
23．因式分解：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)
24．已知，且．
(1)求xy的值；
(2)求的值．
25．一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作．
小明的证明思路 因为_①　　 ②　　， 又因为代数式②，都能被3整除， 所以能被3整除．
(1)能被11整除吗？请说明理由；
(2)小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．
26．定义：若，则称m与n是关于3的巧数．.
(1)1与 　　是关于3的巧数，与 　　是关于3的巧数（填一个含x的代数式）；
(2)若，，判断a与b是否是关于3的巧数，并说明理由；
(3)若，，且c与d是关于3的巧数，若x为正整数，求非负整数k的值．
27．一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
(1)通过计算图2中阴影部分的面积可以得到的数学等式是 ；
(2)利用图3解决下面问题,若，，则 ．
(3)如图4，四边形，，是正方形，四边形和是长方形，其中的面积是，，，求图中阴影部分的面积．
28．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”．如：①8=32-12；②16=52-32；③24=72-52，因此8，16，24 都是“友好数”．
(1)48是“友好数”吗 为什么
(2)若一个“友好数”能表示为两个连续奇数2k+1和2k-1（k为正整数）的平方差，则这个“友好数”是8的倍数吗 为什么
29．定义：对于整数n，在计算时，结果能被15整除，则称n为15的“亲和数”，例如9是15的“亲和数”，因为，30能被15整除；不是15的“亲和数”，因为，不能被15整除．
(1)填空：4 　　15的“亲和数”； 　　15的“亲和数”；（填“是”还是“不是”）；
(2)当n在到5之间时，直接写出使是15的“亲和数”的所有n的值；
(3)求出1到2021这2021个整数中，是15的“亲和数”的个数．
30．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是______；
(2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片______张，3号卡片______张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是______；
(4)小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为______．
31．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式（利用公式法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
32．如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的小长方形，2块是边长为的大正方形．
（1）观察图形，可以发现代数式可以分解因式为______；
（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为，宽为的小长方形的面积是15．
①则图中1块边长为的小正方形和1块边长为的大正方形的面积之和为______；
②试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和．
33．阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+7x+12=　 　；
（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；
（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是　 　．
34．请看下面的问题：把分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢．
19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得．
人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”，请你依照苏菲·姬曼的做法，将下列各式因式分解．
(1)；
(2)．
35．拼图是一种数学实验，我们利用硬纸板拼图，不仅可以探索整式乘法与因式分解之间的内在联系，还可以利用同一图形不同的面积表示方法来探索新的结论．
(1)观察下面图①的硬纸板拼图，写出一个表示相等关系的式子：____________________；
(2)用不同的方法表示图②中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式为____________________；
(3)两个边长为a，b，c的直角三角形硬纸板和一个两条直角边都是c的直角三角形硬纸板拼成图③，用不同的方法计算这个图形的面积．你发现a，b，c之间具有的相等关系为____________________.（用最简形式表示）
36．发现与探索：
（1）根据小明的解答将下列各式因式分解
小明的解答：
①
②
③
（2）根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式无论取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．
①说明：代数式的最小值为．
②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【详解】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解）逐项判断即可得．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、等式右边中的不是整式，不是因式分解，故此选项不符合题意.
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义；严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
2．C
【分析】分别对系数、字母a、字母b、字母c逐个分析即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：
系数的公因式为4，字母a的公因式为，字母b的公因式为b，, 字母c无公因式，
所以各项的公因式是．
故选：C．
【点睛】本题考查了求多项式的公因式，解题的关键是掌握求多项式公因式的方法．
3．D
【分析】将代数式提公因式，即可变形为，代入对应的值即可求出答案．
【详解】解：==3×（-2）=-6
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练提公因式以及整体代入求值是解决本题的关键．
4．C
【分析】利用完全平方公式，以及平方差公式判断即可．
【详解】解：A、原式＝a2+b2+2ab，不符合题意；
B、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；
C、原式＝（a+3b）（a﹣3b），符合题意；
D、原式＝（a+b）（a﹣b），不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解题的关键．
5．B
【分析】根据提公因式分解因式可得出A错误；根据完全平方公式可得B正确；根据平方差公式可得C错误；根据十字相乘法可判断D错误．
【详解】A、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．
6．A
【分析】用字母设出原两位数的十位数字和个位数字，表示出原两位数和新两位数的和，进行因式分解，看是哪个常数的倍数即可．
【详解】解：设原两位数十位上的数字是a，个位上的数字是b，则原两位数为10a+b，新两位数为10b+a，
∴这两个数的和为11a+11b=11（a+b），
∴所得的和一定是11的倍数，
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式；注意两位数的表示方法为：10×十位数字+个位数字．
7．D
【分析】由得.由于，据此列出关于m、n的方程组，求出每一组m、n的值，再求出相应的的值，即可找到的最大值.
【详解】由得
∵m，n均为正整数
或或或
或或或 或
解得或或或或或或或
∴或22或18或16
∴的最大值是36
故选：D
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将变形为.
8．A
【分析】将原式变形为，根据远大于1可将其值直接看作，从而得到答案．
【详解】
∵远大于1
∴可直接看作
∴的结果最接近．
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方运算法则．
9．C
【分析】根据因式分解定义解答．
【详解】解：A. x(x 1)=x2 x是整式乘法，故该项不符合题意；
B. x2+1=x(x+)出现了分式，所以也是错误，故该项不符合题意；
C. 是因式分解，故该项符合题意；
D. 不是整式乘法也不是因式分解，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解的定义：将一个多项式分解为几个整式的积的形式，叫将多项式分解因式，熟记定义是解题的关键．
10．B
【分析】由实数a，b同时满足，先消去a，求解b，再检验即可．
【详解】解： 实数a，b同时满足，
解得：
当时，不合题意，故舍去，
所以
故选：B
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，非负数的性质，掌握加减消元法是解决本题的关键．
11．D
【分析】根据提公因式法、完全平方公式即可解决此题．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
故选：D．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形应用、因式分解，熟练掌握完全平方公式、提公因式法是解决本题的关键．
12．C
【分析】利用因式分解将原式进行分解，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴
=
=
=
=
=
=
=﹣1+2023
=2022，
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解题本题的关键是掌握因式分解的方法．
13．##
【分析】利用平方差公式分解即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．
14．-1
【分析】根据完全平方公式对等式进行变形，结合偶数次幂的非负性，求出m，n的值，进而即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴m=1，n=2，
∵，
∴，
∴k=-1，
故答案是：-1．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，一元一次方程以及偶数次幂的非负性，掌握完全平方公式，是解题的关键．
15．48
【分析】根据长方形的周长为12，面积为8可得a＋b＝6，ab＝8，将a2b＋ab2因式分解后直接代入计算即可．
【详解】解：∵长方形的周长为12，面积为8，
∴2（a＋b）＝12，ab＝8，
∴a＋b＝6，ab＝8，
∴a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝6×8＝48，
故答案为：48．
【点睛】本题以长方形的周长和面积为背景考查了因式分解的应用，解题的关键是将a2b＋ab2因式分解．
16．36
【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．
【详解】∵，
∴原式=，
故答案是：36．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
17．
【分析】根据观察，奇数等于相邻两数平方差规律即可求解．
【详解】解：，，，，，
可观察出奇数等于相邻两数（相加等于奇数的相邻两数）平方差，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了探索规律，找出规律是解题的关键．
18．-30
【分析】对原式用提公因式法因式分解，然后把x+y、xy整体代入，即可求出原式的值．
【详解】解：2x2y+2xy2=2xy（x+y）．
∵xy=-3，x+y=5．
∴原式=2×（-3）×5，
=-30．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，整体代入是本题的关键．
19．
【分析】由已知条件求得，，，再将原式化成，连接两次代值计算便可得出答案．
【详解】解： ，，
，
，
，
，
，，
，，
原式
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值计算，因式分解的应用，关键是正确转化已知与未知式子，使其紧密联系起来，从而找到解决问题的途径．
20．3
【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m-n的值．
【详解】解：∵（x+3）（x+n）=x2+nx+3x+3n=x2+（n+3）x+3n，
∴，
解得：m=-2，n=-5，
则m-n=-2+5=3，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．
【分析】首先运用提公因式法进行因式分解，再进一步整体代入．
【详解】解：原式，
当，时，
则原式
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解再代数式求解的应用，要渗透整体代入的思想．
22．等腰三角形
【分析】把给出的式子两边加上，分解因式，分析得出，才能说明这个三角形是等腰三角形．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，
∴，
所以此三角形是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，配方法的应用是解题关键．
23．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）提公因式法，因式分解；
（2）先化简，再用公式法分解因式；
（3）先提公因式，再利用公式法因式分解；
（4）先提公因式，再利用公式法因式分解；
【详解】（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）
．
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．注意，能提公因式的先提公因式，分解要彻底．
24．(1)2
(2)18
【分析】（1）先根据多项式乘以多项式的计算法则得到，再结合即可得到答案；
（2）根据（1）所求，结合进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，代数式求值，熟知相关计算法则是解题的关键．
25．(1)能被11整除，理由见解析；
(2)，
【分析】（1）根据给定的运算可表示出，即可得证；
（2）根据，再由都能被3整除，即可得证．
【详解】（1）解：能被11整除，理由如下：
根据题意，，
∴能被11整除；
（2）解：∵
，
∵都能被3整除，
∴就能被3整除，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，新定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
26．(1)2，；
(2)a与b是关于3的巧数，理由见解析；
(3)k的值为0或1或3或7．
【分析】（1）根据“关于3的巧数”定义列式计算即可；
（2）求出，再根据“关于3的巧数”的定义判断；
（3）根据已知列出方程，由x为正整数即可得到答案．
【详解】（1）解：，
1与2是关于3的巧数，
，
与是关于3的巧数，
故答案为：2，；
（2）
，
∴a与b是关于3的巧数；
（3）c与d是关于3的巧数，
，
x为正整数，k是非负整数，
或或或，
k的值为0或1或3或7．
【点睛】本题考查整式的加减，涉及新定义和一元一次方程，解题的关键读懂“关于3的巧数”的定义．
27．(1)
(2)36；
(3)阴影部分的面积为900．
【分析】（1）根据正方形的面积公式直接计算得出面积，或者用大正方形的面积减去周围小图形的面积，列等式即可；
（2）根据图形可知即为三个小正方形的面积；
（3）设阴影部分的面积为S，，则，，然后根据长方形面积公式可得，根据计算即可．
【详解】（1）解：根据图形得，
故答案为：；
（2）
；
故答案为：36；
（3）设阴影部分的面积为S，，
则，，
根据长方形的面积公式，得，
∴
．
答：阴影部分的面积为900．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，以及完全平方公式在几何图形相关计算中的应用，本题具有一定的综合性，难度中等．
28．(1)是，理由见解析
(2)是，理由见解析
【分析】（1）根据定义将48写成两个连续奇数的平方差形式，即可判定48是“友好数”；
（2）根据平方差公式计算得到多项式化简结果为8k，由此判断这个“友好数”是8的倍数．
【详解】（1）∵，
∴48是“友好数”；
（2）这个“友好数”是8的倍数，
=8k，
∵k为正整数，
∴为8的倍数，
∴这个“友好数”是8的倍数．
【点睛】此题靠出来平方差公式的应用，正确理解题意并掌握平方差的计算公式是解题的关键．
29．(1)是，是
(2)或4
(3)1到2021这2021个整数中，是15的“亲和数”的个数为404个
【分析】（1）根据亲和数定义即可求解．
（2）n在到5之间时，在至11之间，求解到11之间是15的“亲和数”即可求解．
（3）根据定义，写出“亲和数”的一般式，进行分析即可求解.
【详解】（1）解：∵，
∴15能够被15整除，故4是15的“亲和数”，
∵，
∴﹣45能够被15整除，故是15的“亲和数”．
（2）解：n在到5之间时，
∴在至11之间，
∴结合“亲和数”的定义可知，的个位数字为0或5，
∴或或或，
∴或或1.5或4，
∵n是整数，
∴或4．
（3）根据定义若数n是15的“亲和数”，则有：，
∴1到2021这2021个整数中，若n是15的亲和数，n的个位必定是4或者是9，
∴1到2021这2021个整数中，是15的“亲和数”的个数为404个．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，理解“亲和数”的定义是解题的关键
30．(1)
(2)2，3
(3)
(4)
【分析】（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是，
（2）由如图③可得要拼成一个长为，宽为的大长方形，即可得出答案，
（3）由图③可知矩形面积为，利用面积得出，
（4）首先根据题意得到长方形的面积，然后分解因式，进而求解周长即可．
【详解】（1）这个乘法公式是，
故答案为：；
（2）由如图③可得要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张，
故答案为：2，3；
（3）由图③可知矩形面积为，所以，
故答案为：；
（4）长方形的面积为，
∴周长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的几何应用，解题的关键是掌握数形结合的方法．
31．(1)；
(2)多项式的最小值是；
(3)的周长为
【分析】（1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可；
（2）设多项式等于y，变成一个一元二次函数，写成一元二次函数的顶点式，可以得出多项式的最值；
（3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可．
【详解】（1）解：
；
（2）设，
，
，
∴多项式的最小值是．
（3），
即，
，
，
∴，，，
∴的周长为．
【点睛】本题考查因式分解的应用，做题关键是掌握因式分解．
32．（1）（a＋2b）（2a＋b）；（2）①51；②54
【分析】（1）根据图中的面积关系，两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此可解；
（2）①用总面积减去5个小长方形的面积，即可得到答案；②利用完全平方公式，求出a+b=9，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵表示的是长方形的总面积，
∴＝（a＋2b）（2a＋b），
故答案为（a＋2b）（2a＋b）；
（2）①∵长方形纸板的面积为177，每块长为，宽为的小长方形的面积是15，
∴2a2+2b2=177-5×15=102，
∴a2+b2=51，
故答案是：51；
②∵ab=15，a2+b2=51，
∴(a+b)2= a2+b2+2ab=51+30=81，
∴a+b=9（负值舍去），
∴6a+6b=54，
∴图中所有剪裁线（虚线部分）长的和为54．
【点睛】本题主要因式分解的应用，关键是要看出表示的刚好是长方形的面积，可直接写成长乘宽，完成因式分解，还有牢记（a＋b） ＝a ＋2ab＋b 公式，应用此公式时要灵活多变．
33．（1）（x+3）（x+4）；（2）（x+2）（x﹣2）（x+1）（x﹣1）；（3）±7，±2．
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）将x2﹣3看作整体，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得；
（3）找出所求满足题意p的值即可．
【详解】解：（1）x2+7x+12=（x+3）（x+4），
故答案为：（x+3）（x+4）；
（2）原式=（x2﹣3﹣1）（x2﹣3+2）
=（x2﹣4）（x2﹣1）
=（x+2）（x﹣2）（x+1）（x﹣1）；
（3）若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，
则整数p的所有可能值是﹣8+1=﹣7；﹣1+8=7；﹣2+4=2；﹣4+2=﹣2，
故答案为：±7，±2．
【点睛】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．
34．(1)（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）
(2)（x+b）（x﹣2a﹣b）
【分析】（1）运用添项法因式分解，根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）运用添项法因式分解，根据完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解：x4+4y4＝x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；
（2）解：x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，
＝x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，
＝（x﹣a）2﹣（a+b）2，
＝（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），
＝（x+b）（x﹣2a﹣b）．
【点睛】本题考查了添项法因式分解，理解完全平方公式和平方差公式是解答关键．
35．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据大长方形的面积等于三个小正方形的面积与三个小长方形的面积之和即可得；
（2）方法一：图②中阴影部分的面积等于两个小长方形的面积之和；方法二；图②中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；
（3）方法一：利用直角梯形的面积公式求出这个图形的面积；方法二：这个图形的面积等于三个直角三角形的面积之和，由此建立等式，并利用完全平方公式进行化简即可得．
【详解】（1）解：由图可知，大长方形的面积等于三个小正方形的面积与三个小长方形的面积之和，
则，
故答案为：．
（2）解：方法一：图②中阴影部分的面积等于两个小长方形的面积之和，即，
方法二：图②中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即，
则可以得到的乘法公式为，
故答案为：．
（3）解：方法一：这个图形是一个直角梯形，它的面积为，
方法二：这个图形的面积等于三个直角三角形的面积之和，即，
则，
整理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积、乘法公式与图形面积，熟练掌握整式的乘法与乘法公式是解题关键．
36．（1）①（a-10）（a-2）；②（a-8）（a-2）；③（a-5b）（a-b）；（2）①见解析；②28
【分析】（1）仿照小明的解答过程、利用完全平方公式、平方差公式计算；
（2）仿照小丽的思考过程，利用完全平方公式、平方差公式计算、偶次方的非负性解答．
【详解】解：（1）①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-42
=（a-10）（a-2）；
②（a-1）2-8（a-1）+7
=（a-1）2-8（a-1）+16-16+7
=（a-5）2-32
=（a-8）（a-2）；
③a2-6ab+5b2
=a2-6ab+9b2-9b2+5b2
=（a-3b）2-4b2
=（a-5b）（a-b）；
（2）①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-16，
无论a取何值（a-6）2都大于等于0，再加上-16，
则代数式（a-6）2-16大于等于-16，
则a2-12a+20的最小值为-16；
②无论a取何值-（a+1）2都小于等于0，再加上8，
则代数式-（a+1）2+8小于等于8，
则-（a+1）2+8的最大值为8，
-a2+12a-8．
=-（a2-12a+8）
=-（a2-12a+36-36+8）
=-（a-6）2+36-8
=-（a-6）2+28
无论a取何值-（a-6）2都小于等于0，再加上28，
则代数式-（a-6）2+28小于等于28，
则-a2+12a-8的最大值为28．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑