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9.7 整式乘法与因式分解综合练习（基础）
一．选择题（共8小题）
1．下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列各式中，不能进行因式分解的是（ ）．
A． B． C． D．
3．已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
4．已知，，那么的值是（ ）
A．11 B．13 C．37 D．85
5．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
6．若A、B、C均为整式，如果，则称A能整除C．例如由，可知能整除．若已知能整除，则k的值为（ ）
A． B．1 C． D．4
7．如图，将一个长为，宽为的长方形沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，并将这四个小长方形拼成一个大正方形．观察拼图，下列等量关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．对于两个整式，，有下面四个结论：（1）当时，的值为；（2）当时，则；（3）当时，则；（4）当时，则或；以上结论正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题）
9．计算： ．
10．若b为常数，要使成为完全平方式，那么b的值是 ．
11．已知﹐则的值等于 ．
12．关于的二次三项式是一个完全平方式，则 ．
13．若满足，则代数式的值是 ．
14．分解因式： ．
15．小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是 ．
16．一个正方形的边长增加，它的面积增加了，则原来这个正方形的面积为 ．
17．已知是一个完全平方式，则m的值为 ．
18．如图，我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图揭示了（n为非负整数）展开式中各项系数的有关规律，请你猜想的展开式中含项的系数是 ．
三．解答题（共10小题）
19．计算：
(1)；
(2)．
20．因式分解．
(1)
(2)
21．已知，．
(1)分别求与的值；
(2)求代数式的值．
22．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：．甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为．
(1)求正确的a、b的值．
(2)计算这道乘法题的正确结果．
23．甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别记为，．
(1)请通过计算比较与的大小；
(2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长的和，设该正方形的面积为，试说明代数式的值是一个常数．
24．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如根据图①我们可以得到两数和的平方公式：，根据以上结论解决下列问题．
(1)如图②，点是线段上的一点，以、为边向外作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为__________．
(2)若x满足，求的值．
25．某市有一块长为，宽为的长方形空地，规划部门计划这块地在中间留出一块边长为的正方形地来修建雕像，剩余部分进行绿化．
(1)绿化部分的面积是多少平方米（用含，的式子表示）？
(2)若，满足，求绿化部分的面积．
26．把一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图1）
(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）
方法1：________________________．
方法2：________________________．
(2)根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式，，间的等量关系：________________．
(3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数，满足，，请求出的值
27．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3
(1)根据图2完成因式分解：________；
(2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长；
(3)图1中的两个正方形的面积之和为，两个长方形的面积之和为，与有何大小关系？请说明理由．
28．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
再如“”分法：
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：．
(2)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】运用同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，负指数的运算和单项式除以单项式的法则逐一判断即可．
【详解】解：A. ，故正确；
B.，故不正确；
C. ，故不正确；
D. ，故不正确；
故选A．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，负指数的运算和单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．D
【分析】根据分解因式的方法求解即可．
【详解】解：A、，可以因式分解，不符合题意；
B、，可以因式分解，不符合题意；
C、，可以因式分解，不符合题意；
D、不可以因式分解，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
3．D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【详解】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解：运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．D
【分析】根据，得到，进而求出的值，即可求出的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：85．
【点睛】本题考查完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．C
【分析】根据平方差公式的结构特征：逐项进行判断即可．
【详解】解：A．，能利用平方差公式，因此选项不符合题意；
B．，能利用平方差公式，因此选项不符合题意；
C．，两项符号都不一样，不能利用平方差公式，因此选项符合题意；
D．，能利用平方差公式，因此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确判断的前提．
6．B
【分析】根据能整除，设，运算得到同类项对应系数相等，即可得出答案．
【详解】解：∵能整除，
∴设，
整理得：，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意设出方程是本题的关键．
7．D
【分析】根据大正方形的面积等于小正方形的面积与大长方形的面积之和即可得．
【详解】解：大正方形的面积为，
小正方形的面积与大长方形的面积之和为，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式与几何图形，正确找出图形之间的关系是解题关键．
8．C
【分析】将代入代数式即可判断（1）计算，又根据平方根的定义即可判（2），利用因式分解即可判断（3）（4）．
【详解】解：
（1）当时，,故（1）正确；
（2）∵
又当时，
∴，故（2）不正确
（3）∵，
当时，则；故（3）正确
（4）∵
当时，
则
∴
即
∴或，故（4）正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，整式的加减，正确的计算是解题的关键．
9．
【分析】根据多项式乘多项式的法则进行解答即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
10．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定b的值．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，注意不要漏解．
11．
【分析】先将变形为，再根据多项式乘以多项式法则将进行运算并代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式运算及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题关键．
12．
【分析】完全平方的公式为，据此求解即可．
【详解】关于的二次三项式是一个完全平方式
故答案为：
【点睛】此题考查完全平方公式，解题关键是m的值有两个解．
13．
【分析】利用完全平方公式变形解题即可．
【详解】
故答案为：10．
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
14．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
15．
【分析】根据整式的四则运算法则求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】题目主要考查整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
16．36
【分析】设这个正方形的边长原来是，列方程得，求解即可．
【详解】解：设这个正方形的边长原来是，列式得
，
解得，
所以这个正方形的面积是，
故答案为：36．
【点睛】此题考查了正方形的性质，一元一次方程的应用，正确掌握正方形的性质是解题的关键．
17．16
【分析】根据完全平方公式的结构特征：进行求解．
【详解】解：∵完全平方式的特征是：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，
∴m等于的一半的平方．
∴．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的结构特点是解题的关键．
18．15
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得到含项的系数．
【详解】解：根据题意得：，
，
∴的展开式中含项的系数是15．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了整式乘法，以及规律型：数字的变化类，弄清“杨辉三角”中系数的规律是解本题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则化简，再合并同类项得出答案；
（2）直接利用平方差公式以及单项式乘多项式运算法则计算，再合并同类项得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接用完全平方公式公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
，
，
；
（2）解：
＝
＝
【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．
21．(1)，
(2)58
【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案．
（2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
【详解】（1）解：当，时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式以及完全平方公式，本题属于基础题型．
22．(1)
(2)
【分析】（1）按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值；
（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【详解】（1）解：∵甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为
．
∵乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为．
．
∴
∴
（2）解：．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，解题时要细心．
23．(1)；
(2)代数式的值是一个常数．
【分析】（1）依据长方形面积公式，分别计算出，，然后进行作差比较计算出即可判断；
（2）依据题意计算出正方形的周长，从而求出及即可．
【详解】（1）解：，
，
∵，
∴；
（2）由题意得：正方形的边长是：
，
∴，
∵
，
∴代数式的值是一个常数．
【点睛】本题考查了整式的四则混合运算；解题的关键是理解题意，正确列式计算．
24．(1)
(2)
【分析】（1）设，根据题意可得，进而根据完全平方公式变形即可求解．
（2）根据题意，，根据完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】（1）解：设，根据题意可得，
∴，
∴，
∴阴影部分面积面积为，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积以及完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
25．(1)
(2)
【分析】（1）绿化面积=矩形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果；
（2）根据多项式乘以多项式求出a与b的值，再将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：由题知，绿化部分的面积是
.
故绿化部分的面积是；
（2）解：∵，
即，
∴，，
∴．
故绿化部分的面积是．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意是解本题的关键．
26．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积；
（2）根据两种方法计算的阴影部分的面积相等即可得出三个代数式之间的等量关系；
（3）将，，代入三个代数式之间的等量关系，求出的值，即可求出的值．
【详解】（1）解：（1）方法1：由题意得：阴影部分为一正方形，其边长正好为，
∴阴影部分的面积，
方法2：图中阴影部分的面积用大正方形的面积减去四个小长方形的面积可得：；
（2）解：由图2得：
则；
（3）解：，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查完全平方公式和长方形的面积公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
27．(1)
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）根据图形的面积的两种表示方法，得出结果即可；
（2）根据所拼成的大正方形的面积为，得出边长即可；
（3）根据，即可得出．
【详解】（1）解：根据图2完成因式分解：．
故答案为：．
（2）解：由1号卡片1张、2号卡片4张、3号卡片4张拼出的大正方形，如图所示：
则有，
∴这个大正方形的边长为．
（3）解：；理由如下：
根据题意，得，，
则，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
28．(1)；
(2)是等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）根据“”分法即可得出答案；
（2）根据“”分法分解因式，得出或，即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，
，
∴或，
∴或，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查因式分解，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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