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9.8 整式乘法与因式分解综合练习（提优）
一．选择题（共8小题）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，则的值为（　　）
A．25 B．36 C．11 D．16
3．如果“□”，那么“□”内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，那么，代数式的值是（ ）
A． B．2022 C． D．3
5．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成下边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）．
A． B．
C． D．
6．关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（　　）
①当为关于x的三次三项式时，则；
②当多项式A与B的乘积中不含x 项时，则；
③；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
8．（n为非负整数）当，1，2，3，…时的展开情况如下所示：
…
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为展开式中所有项系数的和应该是（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
二．填空题（共10小题）
9．已知是一个完全平方式，那么m的值为
10．若，则的值为 ．
11．分解因式： ．
12．若，，则代数式的值为 ．
13．已知多项式与的乘积中不含项，则常数的值是 ．
14．若xy＝2，y﹣x＝1，则代数式2x2y﹣2xy2的值为 ．
15．已知（a－4）（a－2）=3，则（a－4）2+（a－2）2的值为 ．
16．如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若长方形的周长为，面积为，则图中阴影部分面积 ．
17．如图，正方形的边长为6，正方形的边长为a（点B、C、E在一条直线上），则的面积是 ．
18． 若规定符号 的意义是，则当 时，的值为
三．解答题（共10小题）
19．计算：
(1)；
(2)．
20．因式分解：
(1)
(2)
21．先化简，再求值：
（2x＋1）2﹣x（x＋4）＋（x﹣2）（x＋2），其中x＝﹣1．
22．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
23．【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c满足，那么a，b，c称为一组“商高数”
【问题解决】
(1)下列数组：①7，3，4；②3，4，6；③5，12，13，其中是“商高数”的有______（直接填序号）；
(2)“商高数”有很多的构造方法．求证：如果m，n为任意正整数，且m>n，那么，，2mn一定是“商高数”；
(3)①若按（2）中的方法构造出的一组“商高数”中最大的数与最小的数的差为32，求n的值；
②若按（2）中的方法构造出的一组“商高数”中最大数是（p是任意正整数），则这组“商高数”中的最小数为______（用含p的代数式表示）
24．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：．甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为．
(1)求正确的a、b的值．
(2)计算这道乘法题的正确结果．
25．学习《整式的乘法及因式分解》之后，同学们已经掌握了“平方差公式”和“完全平方公式、”，其实在教材中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如，
；
；
；
当然了，我们知道整式乘法和因式分解是一个相反的过程．
【解题运用】
(1)在因式分解：　 　；
(2)因式分解：；
(3)设x，y满足等式，求的值；
(4)已知，，求的值．
26．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”．
(1)44和2022这两个数是“和谐数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
(3)求不超过2022的所有“和谐数”之和．
27．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．
(1)由图1中的大正方形的两种面积表示方法可得到因式分解的等式 　 　；
(2)先画出一个面积为的几何图形，再根据图形的面积将代数式因式分解：　 　；
(3)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
①用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，这个等式是：　 　；
②已知，请利用上面的等式求．
28．完全平方公式进行适当的变形后，可以解决很多的数学问题．
如：若x满足，求的值．
解题思路：由得，
可设，，则，，
∴；
(1)请仿照上面的方法求解下面问题：
①若x满足，求的值；
②若x满足，求的值；
(2)应用上面的解题思路解决问题：如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，负指数幂和合并同类项法则分别判断即可．
【详解】解：A、，原计算正确，故此选项符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，负指数幂和合并同类项，正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键．
2．D
【分析】根据完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
3．B
【分析】直接利用单项式除以单项式运算法则计算得出答案．
【详解】解：□×2ab=4a2b，
∴4a2b÷2ab=2a，
则“□”内应填的代数式是2a．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．D
【分析】先求解，，，再把原式化为，再代入求值即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴
；
故选D．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．
5．D
【分析】根据面积相等，利用两种方法来算阴影部分面积来验证等式成立即可．
【详解】解：由题意这两个图形的阴影部分面积相等，
左边阴影面积，
右边阴影面积，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，解题的关键是能利用两种方法来算阴影部分面积．
6．B
【分析】根据整式的加减混合运算即可判断①，根据整式的乘法运算即可判断②，将和代入即可判断③．
【详解】解：∵，，
∴，
∵为关于x的三次三项式，且e为非零常数，
∴，
解得：，说法①正确；
，
∵多项式A与B的乘积中不含x 项，
∴，
解得，说法②错误；
，
当时，，
当时，，
则，说法③错误．
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减混合运算，整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
7．C
【分析】由图可得五边形面积为正方形的面积加上梯形的面积，根据阴影部分面积为五边形面积减去空白部分两个三角形面积列式计算即可．
【详解】解：由图可知，五边形的面积正方形的面积梯形的面积
，
阴影部分的面积五边形的面积三角形的面积三角形的面积
，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键．
8．C
【分析】由“杨辉三角”得到：（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n．
【详解】解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1=20，
当n=1时，展开式中所有项的系数和为2=21，
当n=2时，展开式中所有项的系数和为4=22，

当n=9时，展开式的项系数和为=29=512，
故选：C．
【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．
9．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
【详解】解：，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
10．
【分析】首先对进行变形，转化为，然后代入后面的整式中，进行化简即可求解．
【详解】
①．
①等式两边同乘得，代回原式．
．
故答案为．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，整体代入是解决本题的关键，本题也可以先对后面的整式进行化简变形，然后代入即可．
11．
【分析】先利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解．
【详解】解：原式，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．
12．
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行分解，然后把，代入，即可求解．
【详解】解：
，
当，时，原式．
故答案为：-9．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．
13．
【分析】先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项系数等于零列式求解即可．
【详解】解：
∵不含项
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了多项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某项就让这一项的系数为零是解本题的关键．
14．-4
【分析】利用整体思想，对所求代数式进行化简，提出公因式2xy，整体代入即可，注意符号的变化
【详解】解：原式＝2xy（x﹣y）
＝﹣2xy（y﹣x）
∵xy＝2，y﹣x＝1
∴原式＝﹣2×2×1
＝﹣4
【点睛】本题运用了因式分解的知识和整体代入的数学思想
15．10
【分析】把（a－4）和（a－2）看成一个整体，利用完全平方公式求解．
【详解】（a－4）2+（a－2）2
=（a－4）2+（a－2）2－2（a－4）（a－2）+2（a－4）（a－2）
=
=（－2）2+2×3
=10
故答案为：10．
【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2求解，整体思想的运用使运算更加简便．
16．
【分析】由长方形的周长，面积为，确定，，通过观察图形分别用含有和的式子表示出阴影部分的面积、、，然后整理化简，通过完全平方公式计算出，从而求出值．
【详解】解：由题知，，．
，
，
，
，，，
阴影部分面积
．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用完全平方公式解决求阴影面积的问题，其中阴影部分的面积通过整理化简出和的形式是本题的关键，由和，利用完全平方公式变形计算出，从而求出面积．
17．##
【分析】的面积，分别代入计算即可．
【详解】解：的面积
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．9
【分析】根据题目的意思，可以得
再利用，可知，可得
利用上面两个式子，不断降次，即可求得结果
【详解】
∵，∴，∴

【点睛】本题主要考查降次能力，当然学了一元二次方程，也可以通过先解一元二次方程求得m的值，代入表达式即可求解
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的乘除法，计算即可；
（2）根据多项式乘以多项式法则计算即可．
【详解】（1）解：
=
=；
（2）（a-5）(2a+1)
=2a2+a-10a-5
=2a2-9a-5
【点睛】本题了考查了整式的乘法，解题的关键是掌握相关法则，熟练计算．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
21．当时，代数式的值为1
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
当时，
原式=
【点睛】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22．(1)5
(2)23
(3)110
【分析】（1）将根据即可求解；
（2）先用求出，再根据即可求解；
（3）根据即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴；
（3）∵
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式以及立方和公式．
23．(1)③
(2)见解析
(3)①4；②2p＋5
【分析】（1）根据“商高数”定义逐个判定即可；
（2）计算，则，即可得出结果；
（3）根据，则，，所以，，是“商高数”，再由是最大的数，比较与大小即可得出最小的数．
【详解】（1）解：①∵，
∴7，3，4不是“商高数”；
②∵，
∴3，4，6不是“商高数”；
③∵，
∴5，12，13是“商高数”，
∴是“商高数”的有③．
（2）解：m，n为正整数，且m>n，
∴，，2mn均为正整数．
又∵，
∴．
∴，，2mn是“商高数”．
（3）解：①∵，，
∴为最大数，
若为最小数，
∴，
∴，
∵n为正整数，
∴；
若为最小数，则，
∴
∵m、n为正整数，
∴舍去，
综上，．
② ∵，
∴，
，
由（2）得，，是“商高数”，
∵是最大数，，
又∵p是任意正整数
∴，
∴，
∴这组“商高数”中的最小数为．
【点睛】本题考查新定义，整式的运算，理解新定义，掌握完全平方公式的应用是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值；
（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【详解】（1）
．
．
∴，
∴；
（2）
．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，解题时要细心．
25．(1)；
(2)；
(3)12；
(4)322．
【分析】（1）根据题干中的公式进行因式分解即可得到答案；
（2）根据题干中的公式进行因式分解即可得到答案；
（3）利用因式分解得到，求得，即可求出的值；
（4）根据已知条件分别求得，，将其代入分解后的式子即可计算求值．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：；
（3）解：，
，即，
，
，
故的值为12；
（4）解：，，
，
，
，
故的值为322．
【点睛】本题考查了因式分解—运用公式法，正确的理解已知条件中的公式是解题关键．
26．(1)44是和谐数，2022不是和谐数，理由见解析
(2)由2k+2和2k构造的和谐数是4的倍数，理由见解析
(3)256036
【分析】（1）根据“和谐数”的定义进行判断即可；
（2）根据“和谐数”的定义列式，然后通过因式分解证明即可；
（3）先求出不超过2022的最大“和谐数”是，然后根据所给式子得出规律解答即可．
【详解】（1）解：44是和谐数，2022不是和谐数；
理由：∵，
∴44是和谐数，
∵，，
∴不存在两个连续偶数的平方差等于2022，
∴2022不是和谐数．
（2）由2k+2和2k构造的和谐数是4的倍数，
理由：∵，
∴由2k+2和2k构造的和谐数是4的倍数．
（3）不超过2022的最大“和谐数”是，
∵4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，．．．，
∴不超过2022的所有“和谐数”之和为：．
【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘方，因式分解的应用，利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而使计算简化．
27．(1)
(2)
(3)①；②80
【分析】（1）用两种方法表示同一个图形面积即可．
（2）用两种方法表示同一个图形面积相等即可得解．
（3）①用两种方法表示同一个立体图形体积即可．②将a3+b3用a+b，ab表示即可．
【详解】（1）（1），
故答案为：；
（2）图形为：
根据图得：，
故答案为：；
（3）①，
故答案为：；
②∵，
，
∴．
解得：．
【点睛】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键．
28．(1)①12，②6
(2)
【分析】（1）①设，，利用进行解答即可；②设，，利用进行解答即可；
（2）由 利用 进行求值，即可得到答案．
【详解】（1）解：①设，，
则
∴
②设，，
则
∴
（2）∵点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，
∴
结合题意可得：
∴
∴
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值或图形面积，根据图形特点构造出符号完全平方公式变形特点要求的等式是解本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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