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10.1 二元一次方程
知识点一、二元一次方程的概念
1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程．
2．二元一次方程具备以下几个特点：①是整式方程；②含有两个未知数；③含有未知数的项次数都是1．
例：
1．下列各式中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
知识点二、二元一次方程的解
1．一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解；
2．二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：；
3．一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
例：
2．关于x，y的二元一次方程3x﹣2y＝5的解有（　　）
A． B． C． D．
巩固练习
一．选择题（共8小题）
3．关于x、y的二元一次方程的自然数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
4．已知，用含y的代数式表示（　　）
A． B． C． D．
5．下列方程的解为 的是（　 　）
A． B． C． D．
6．关于，的方程和的解相同，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
7．已知方程是关于，的二元一次方程，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于x，y的二元一次方程，其取值如下表，则p的值为（ ）
x m
y n
t 5 p
A．17 B．18 C．19 D．20
10．二元一次方程中非负整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题）
11．方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ．
12．已知是方程的一个解，那么a的值是 ．
13．若是二元一次方程的一个解，则k的值为 ．
14．若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ．
15．若关于x，y的方程是二元一次方程，则的值是 ．
16．若是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 ．
17．将二元一次方程变形为用y表示x的形式为 ．
18．已知是方程的解，则代数式的值为 ．
19．若x与y的3倍的和是16，那么可用二元一次方程表示为 ．
20．若方程是关于x，y的二元一次方程，则 ．
三．解答题（共10小题）
21．若是关于x、y的二元一次方程，求的值．
22．已知是关于，的二元一次方程的一组解．
(1)求的值；
(2)请用含有的代数式表示．
23．已知二元一次方程
(1)把方程写成用含的代数式表示的形式，即______；
(2)填表，使、的值是方程的解；
0 1 2 3 4
(3)根据表格，请直接写出方程的非负整数解．
24．把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
(1)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值；
(2)类比“雅系二元一次方程”（，k是常数）的定义，对于一个“雅系二元一次不等式”（，k是常数）的“完美解集”为，请求出k的值．
25．把（其中、是常数，、是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
(1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”．
(2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值．
(3)是否存在使“雅系二元一次方程”与（为常数）的“完美值”相同，若存在，求出的值及此时的“完美值”，若不存在，请说明理由．
26．一批机器零件共558个，甲先做3天后，乙再加入，两人共同再做6天刚好完成．设甲每天做个，乙每天做个．
(1)列出关于，的二元一次方程．
(2)用含的代数式表示，并求当时，的值是多少？
(3)若乙每天做48个，则甲每天做多少个？
27．关于的二元一次方程组（是常数），．
（1）当时，求c的值．
（2）当时，求满足的方程的整数解．
（3）若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解．
28．关于x、y的方程：ax＋by＝c，当b≠0时，我们可用含x的代数式表示y，则原方程可变成y＝﹣，我们将变形后的式子叫做原方程的“一次明德式”，其中﹣叫做K系数，叫做L系数，例如：3x＋5y＝7，则可变成y＝﹣，则K系数为﹣，L系数为．
（1）二元一次方程的“一次明德式”为 ；
（2）关于x、y的二元一次方程nx＋2y＝5，当满足时，求n的取值范围；
（3）关于x、y的方程，当满足K系数与L系数都为正整数时，求整数n的取值．
29．某中学为了改造劳动实践基地，需要和两种规格的钢管．从建材市场购回一根长的钢管，将其截成长段，长段．
(1)列出关于，的二元一次方程；
(2)应该怎么样截这一根钢管更好？
30．若一个三位数，其个位数加上十位数等于百位数，可表示为t=100（x+y）+10y+x，则称实数t为“加成数”，将t的百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，组成一个新的三位数h．规定q=t﹣h，f（m）=，例如：321是一个“加成数”，将其百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，得到的数h=213，∴q=321﹣213=108，f（m）==12．
（1）当f（m）最小时，求此时对应的“加成数”的值；
（2）若f（m）是24的倍数，则称f（m）是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个，并求出所有的“节气数”．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
【详解】解：A、该方程是二元一次方程，符合题意；
B、该方程的未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意；
C、该方程不是整式方程，不符合题意；
D、当a=0时，该方程不是二元一次方程，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
2．A
【分析】二元一次方程的解有无限多个，能够使二元一次方程两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解．
【详解】解：将代入方程3x﹣2y＝5的左边，左边＝5，左边＝右边，所以是该方程的解，该选项符合题意；
将代入方程3x﹣2y＝5的左边，左边＝6，左边≠右边，所以不是该方程的解，该选项不符合题意；
将代入方程3x﹣2y＝5的左边，左边＝2，左边≠右边，所以不是该方程的解，该选项不符合题意；
将代入方程3x﹣2y＝5的左边，左边＝﹣25，左边≠右边，所以不是该方程的解，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题关键是掌握二元一次方程的解的定义．正确把已知数据代入是解题关键．
3．B
【分析】将方程整理为，将x的值依次代入，即可进行解答．
【详解】解：当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上：符合条件的自然数解有4组，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．
4．A
【分析】移项后得出，再方程两边都除以2即可．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解题的关键．
5．A
【分析】把的值代入方程计算，即可求解．
【详解】解：选项，，符合题意；
选项，，不符合题意；
选项，，不符合题意；
选项，，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握代入求值的方法，有理数的运算法则是解题的关键．
6．B
【分析】将两个二元一次方程联立成方程组，解这个方程组求得，的值，再将，的值代入代数式，计算即可得出结论．
【详解】解：∵关于，的方程和的解相同，
∴可得：，
解得：，
∴，
∴的值为．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解二元一次方程组、求代数式的值，根据题意，联立二元一次方程组，并求得，的值是解题的关键．
7．A
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．
【详解】解：是关于，的二元一次方程，
．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握含有两个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是二元一次方程．
8．D
【分析】将代入二元一次方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
9．B
【分析】将表格中的数据带入方程列出关系式，计算即可求出p的值．．
【详解】根据题意得，
∴
∴
故选：B．
【点睛】此题考查了代入法解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组准确代入计算是解题关键．
10．C
【分析】选取系数绝对值较大的未知数y，依次从0取值，计算x的值，直到x的值为负数为止.
【详解】∵在方程中，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴方程的非负整数解为：，，，共有3个.
故选：C.
【点睛】本题考查了二元一次方程的非负整数解，选取系数绝对值较大的未知数来试根是解题的关键.
11．
【分析】根据二元一次方程的定义，可得，两即可求解．
【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．
12．2
【分析】把代入，即可求解．
【详解】解：把代入得：
，
解得：．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
13．
【分析】将代入此二元一次方程，即得出关于k的等式，解出k即可．
【详解】解：将代入，得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程的解的定义．掌握方程的解即是使等式成立的未知数的值是解题关键．
14．
【分析】根据二元一次方程的定义可知：未知数的系数不能等于零，未知数的最高次数为，然后进行求解即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义问题，掌握定义是解题的关键．
15．0
【分析】根据二元一次方程的定义含有两个未知数并且含未知数的项的次数为1的方程是二元一次方程，建立方程组计算即可．
【详解】解：∵关于，的方程是二元一次方程，
∴，
解得，
∴mn=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程组的解法，代数式的值，根据方程的定义构造方程组是解题的关键．
16．
【分析】根据二元一次方程的定义解答即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【详解】解：因为是关于x、y的二元一次方程，
所以且，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．
17．##
【分析】将看作已知数，求得，即可求解．
【详解】解：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，掌握等式的性质是解题的关键．
18．
【分析】根据二元一次方程的解的定义，得出，整体代入代数式求值即可求解．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．使得方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
19．
【分析】根据x与y的3倍的和是16，列二元一次方程即可．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
20．
【分析】根据二元一次方程的定义得出且且，再求出m、n即可．
【详解】∵方程是关于x，y的二元一次方程，
∴且且，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义和绝对值，能熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键．
21．
【分析】根据二元一次方程的定义，可得，，联立方程构造方程组，求出m和n的值，接下来将m和n的值代入计算即可．
【详解】解：依题意，得，
将，得，解得，
∴将代入，得，解得，
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义和解二元一次方程组，结合二元一次方程的定义求出m和n的值是解题的关键．
22．(1)4
(2)
【分析】（1）将将代入，得出关于a方程，解关于a的方程即可；
（2）把代入得，将n看作未知数，m看作已知数，解方程即可．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得：．
（2）解：∵，
∴原方程可变为：，
∴．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，准确计算．
23．(1)
(2)6， ，，1，
(3)
【分析】（1）要用含x的代数式表示y，就要把方程中含有x的项和常数项移到方程的右边，再把y的系数化为1即可．
(2)将x=0，1，2，3，4分别代入y=，求出y的值即可；
(3) 根据表格，直接写出方程的非负整数解即可；
【详解】（1）解：5x+3y=18，
得3y=18-5x，
所以 y=，
故答案为：；
（2）将x的值0，1，2，3，4分别代入y=中得到y的值分别为：6， ，，1， ；
∴填表如下：
0 1 2 3 4
6 1
故答案分别填：6， ，，1， ；
（3）由上表可知：方程的非负整数解为：；
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及方程的非负整数解，学会用含一个未知数的代数式表示另一个未知数是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，将代入即可求出m的值．
（2）由题意可得，即，解集为x＞2，符号未变向，可得，解方程即可求得k的值．
【详解】（1）解：由题意可得，将代入
有，
解得．
（2）解：由题意可得，
即，
∵完美解集为，
∴，
．
【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义，能正确理解题意，将所求问题转化为一元一次方程求解是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)存在，，
【分析】(1)根据题意可得，解方程即可求得；
(2)根据题意可得，再把代入，解方程即可求得；
(3)根据题意可得，，即可分别解得，，可得，解方程即可求得n的值，据此即可解答．
【详解】（1）解：当时，
可化为
解得，；
（2）解：当时，
可化为，
把代入，解得；
（3）解：存在；
当时，
可化为，
解得，
当时，
可化为，
解得．
∵与（为常数）的“完美值”相同，
，
解得，
将代入得．
【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次方程的解法，理解题意，得到相关方程是解决本题的关键．
26．(1)
(2)，45
(3)30个
【分析】（1）根据工作总量=工作效率×工作时间，即可得出关于x，y的二元一次方程；
（2）将（1）中所列的二元一次方程变形后即可得出，再代入x=32求出y值即可；
（3）代入y=48，求出x即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可得
（2）由（1）可得，
当时，．
（3）当时，
，
．
答：若乙每天做48个，则甲每天做30个．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程．
27．（1）；（2），；（3）证明见解析．
【分析】（1）由题意，得，解得代入已知式可得，代入即可求得；
（2）当时，方程为，即x+3y=5，根据方程和解的范围即可求得；
（3）由题意，得，x、y均为正整数，则，a是正整数，则y-2是负整数，从而求得y=1，把y=1代入①得，ax=1，即可求得a=1，此时方程的正整数解是x=1，y=1．
【详解】解：（1），
，
，
将代入上式得，
解得，
．
（2）当时，，
原方程为，
即，
∴，
又∵，
，，．
（3），
，
整理得，
两边同时除以a得，
整理得，
是正整数，
，
，
，
即，
是正整数，
，
代入方程得，
则，
是正整数，a是正整数，
．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，绝对值的性质，熟知一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解答此题的关键．
28．（1）；（2）且；（3）n＝2或n＝4．
【分析】（1）直接将所给方程按照定义变形即可；
（2）将所给方程变形可求K与L，再由，可求n的范围，再注意n≠0，即可求解；
（3）将所给方程变形可求K、L，可知K＝2L，再由已知K系数与L系数都为正整数，即可求n的值．
【详解】解：（1）变形为，
∴二元一次方程4x﹣2y＝1的“一次明德式”为，
故答案为：；
（2）nx＋2y＝5变形为，
∴K＝，L＝，
∵K＋L≤4，
∴，
∴
∵nx＋2y＝5是二元一次方程，
∴n≠0，
∴且；
（3）由已知n﹣1≠0，
方程变形为，
∴K＝ ，L＝，
∴K＝2L，
∵K系数与L系数都为正整数，
∴是3的因数1或3，
∴n﹣1＝1或n﹣1＝3，
∴n＝2或n＝4．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解不等式以及解一元一次方程，理解新定义，并能将定义与所学二元一次方程的知识结合是解题关键．
29．(1)
(2)，，
【分析】（1）根据长和长的钢管的总长度等于，即可求解；
（2）根据，都是正整数，分别把，2，3，4，5，6，7代入（1）中方程，即可求解．
【详解】（1）解：长段，长段，根据题意得：
；
（2）解：∵，都是正整数，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴符合条件的解为：，，．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键．
30．（1）当x=0，y=1时，q小=9，此时对应的“加成数”是110；（2）这样的“节气数”有4个，分别为24，72．
【分析】（1）根据新定义，由求f（m）最小值，可知就是求q的最小值，根据定义表示q=t﹣h=100（x+y）+10y+x﹣（101y+11x）=9y+90x，可得结论；
（2）根据f（m）是24的倍数，f（m）=24n（n为正整数），得q=216n，由（1）中q=9y+90x，列方程，解方程可得结论．
【详解】（1）∵f（m）=，
∴当f（m）最小时，q最小，
∵t=100（x+y）+10y+x，h=100y+10x+x+y=101y+11x，
∴q=t﹣h=100（x+y）+10y+x﹣（101y+11x）=9y+90x，且1≤y≤9，0≤x≤9，x、y为正整数，
当x=0，y=1时，q小=9，此时对应的“加成数”是110；
（2）∵f（m）是24的倍数，
设f（m）=24n（n为正整数），
则24n=，q=216n，
由（1）知：q=9y+90x=9（y+10x），
∴216n=9（y+10x），
24n=y+10x，
①当n=1时，即y+10x=24，解得：x=2，y=4，则这样的“节气数”是24；
②当n=2时，即y+10x=48，解得：x=4，y=8，则这样的“节气数”是48；此时百位上的数为12，舍去.
③当n=3时，即y+10x=72，解得：x=7，y=2，则这样的“节气数”是72；
①当n=4时，即y+10x=96，解得：x=9，y=6，则这样的“节气数”是96；此时百位上的数为15，舍去.
①当n=5时，即y+10x=120，没有符合条件的整数解，
综上，这样的“节气数”有4个，分别为24， 72．
【点睛】本题考查了加成数和节气数的定义和应用，二元一次方程的整数解，理解新定义，并将其转化为二元一次方程是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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