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10.2 二元一次方程组
知识点一、二元一次方程组的概念
1.二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；
2.二元一次方程组应同时满足的条件：
（1）方程组中每个方程都是整式方程；
（2）方程组中一共含有两个未知数；
（3）方程组中含有未知数的项的次数都是1.
3.二元一次方程组一共含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数，如也是二元一次方程组；一个方程组中的每个方程应该含有相同的未知数，如不是二元一次方程组.
1．已知方程组是二元一次方程组，求m的值．
知识点二、二元一次方程组的解
1.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解；
2.判断一对数值是否为二元一次方程组的解
检验一对数值是否为二元一次方程组的解，必须将这对数值代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解；若不满足其中的任何一个方程，则这对数值就不是这个方程组的解；
3.一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个.
2．已知方程组与有相同的解，求a，b的值．
巩固练习
一．选择题（共10小题）
3．若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是（ ）
A． B． C． D．
4．如果方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（　　）
A． B． C． D．
5．《九章算术》中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
6．若方程组的解x与y相等，则a的值等于（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．2
7．若干名学生一起去种树，如果每人种4棵，则还剩下3棵树苗：如果每人种5棵，则缺少5棵树苗．设学生有人，树苗有棵，根据题意可列出方程组（ ）
A． B． C． D．
8．方程组的解为则被和遮盖的两个数分别为（　　）
A．，6 B．2， C．2，6 D．10，
9．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
10．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
11．小张家在小王家西边100米，他们同时从各自家里出发，前往小张家西边的博物馆．设小张每分钟走x米，小王每分钟走y米，如果出发10分钟后两人同时到达了博物馆，并且小张3分钟行走的路程比小王5分钟行走的路程少210米，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
12．2022年世界杯足球赛举世瞩目，某大型企业为奖励年度优秀员工，预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共20张作为奖品，总价为74000元．已知小组赛门票每张2800元，决赛门票每张6400元，设该企业预定了小组赛门票张，决赛门票张，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共10小题）
13．如果实数，满足方程组，那么 ．
14．《算法统宗》是我国古代的重要的数学著作，几名学生要凑钱购买1本书．若每人出9元，则多了5元；若每人出8元，则少了2元．问学生人数和该书单价各是多少？设学生有x人，书的单价为y元，则可列方程组为 ．
15．已知方程组与有相同的解，则 ．
16．已知关于x、y的方程组的解满足，则 ．
17．若实数m、n满足方程组，则 ．
18．关于，的方程组有无数组解，则的值为 ．
19．若关于、的方程组有整数解，则正整数的值为 ．
20．关于x，y的方程组的解满足，则m的值为 ．
21．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 。
22．某种樱桃经过加工后出售，单价可提高20%，但重量会减少10%，现有未加工的该种樱桃50千克，将这些樱桃加工后出售比不加工直接出售可多卖32元，设加工前每千克售价x元，加工后每千克售价y元，根据题意可列方程组为 ．
三．解答题（共8小题）
23．二元一次方程组的解也是方程的解，求k的值．
24．已知二元一次方程（a，b均为常数，且a≠0）．
(1)当a＝3，b＝﹣4时，用x的代数式表示y；
(2)若是该二元一次方程的一个解，
①探索a与b关系，并说明理由；
②无论a、b取何值，该方程有一组固定解，请求出这组解．
25．若关于x，y的二元一次方程组，和有相同的解．
(1)求这两个方程组的解；
(2)求代数式的值．
26．对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
27．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值．
(1)按照小云的方法，的值为__________，的值为____________；
(2)请按照小辉的思路求出的值．
28．对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，xy＝ax﹣by，其中a，b 是常数．已知1&1＝1，32＝8．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
29．已知关于的方程组 ，
（1）若方程组的解满足方程，求的值；
（2）请你给出的一个值，使方程组的解中都是正整数，并直接写出方程组的解．
30．某超市代理销售两种鲜牛奶，这两种鲜奶的成本价和销售价如表格所示，它们的保质期为一天，当天未售出的鲜奶必须全部销毁．该超市某天用1320元购进两种鲜奶共200瓶，卖出180瓶，当天共获得570元的利润．
价格 类别 成本价（元/瓶） 销售价（元/瓶）
种鲜奶 5 8
种鲜奶 9 14
(1)求该超市这一天购进种鲜奶各多少瓶；
(2)小明列出方程来解决另一个问题，你认为小明要解决的问题可能是什么？小明所列的方程组解决这个问题能得出正确的答案吗？若可以，请求结果；若不可以，请列出正确的方程或方程组，不必求解．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．m=5
【详解】解：依题意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0，
解得：m=5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程，②方程组中共含有两个未知数，③每个方程都是一次方程．
2．a=，b=
【分析】根据题意得出方程组，进而得出x，y的值代入另两个方程求出a，b的值即可．
【详解】解：将第一个方程组中的第一个方程和第二个方程组中的第一个方程联立，
组成新的方程组，
解得：，
将代入第一个方程组中的第二个方程和第二个方程组中的第二个方程，
得，-6a-45=4，-30-9b=1．
解得，a=，b=．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解，根据题意得出两方程的同解方程是解题关键．
3．A
【分析】根据二元一次方程组的定义逐一判断即可解题．
【详解】A. 能组成二元一次方程组，符合题意；
B.是二元二次方程，不能组成二元一次方程组，不符合题意；
C. 是分式方程，不能组成二元一次方程组，不符合题意；
D. 是一元二次方程，不能组成二元一次方程组，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键．
4．A
【分析】把代入方程中其余两个方程得，解方程组可得．
【详解】解：由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是
，
把
代入方程中其余两个方程得
解得
故选A．
【点睛】本题考核知识点：解二元一次方程组.解题关键点：熟练解二元一次方程组．
5．C
【分析】根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的=50，据此列方程组即可．
【详解】解：甲带钱x，乙带钱y，根据题意，得：
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此类的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
6．D
【分析】把代入中，求出的值，再将的值代入，求出的值即可．
【详解】解：由题意，得：，
把代入，得：，解得：，
∴，
把代入，得：，解得：；
故选D．
【点睛】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的值．正确的求出二元一次方程组的解，是解题的关键．
7．A
【分析】根据“x人，每人种4棵的树苗数总数量；x人，每人种5棵的树苗数总数量”可得答案．
【详解】解：设学生有人，树苗有棵，根据题意可列出方程组：
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．
8．B
【分析】首先把代入，求出的值，然后把、的值代入，求出的值即可．
【详解】解：∵方程组的解为，
，
解得：，
，
，
被和遮盖的两个数分别为2，．
故选：B
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解的含义和应用，解答此题的关键是求出y的值．
9．C
【分析】根据二元一次方程组的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、有三个未知数，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意；
B、最高次数为2，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意；
C、是二元一次方程组，故该选项符合题意；
D、含有分式，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个一次方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
10．A
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．A
【分析】设小张每分钟走x米，小王每分钟走y米，出发10分钟后两人同时到达了博物馆，可列方程，小张3分钟行走的路程比小王5分钟行走的路程少210米，可列方程，由此即可得到答案．
【详解】解：设小张每分钟走x米，小王每分钟走y米，
由题意得， ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
12．A
【分析】根据预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共20张作为奖品，总价为74000元，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设该企业预定了小组赛门票张，决赛门票张，根据题意，得：；
故选A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．
13．5
【分析】利用加减消元法求出方程组的解，再代入所求式子计算即可．
【详解】，
①+②得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴方程组的解是，
∴．
故答案为：5
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法．
14．
【分析】根据“若每人出9元，则多了5元；若每人出8元，则少了2元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】∵每人出9元，多了5元，
∴；
∵每人出8元，少了2元，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．26
【分析】根据方程组的相同，四个方程可重新组合两个新的方程，解之代入可得，的值，即可求得的值．
【详解】，
得，，，
代入②得，
此方程的解为，
把，代入得，，，
∴．
故答案为：26．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及解二元一次方程组的基本方法，掌握解方程组是解决问题的关键．
16．
【分析】得出，求出，根据方程组的解满足得出，再求出n即可．
【详解】解：，
得出，
除以4，得，
∵关于x、y的方程组的解满足，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
17．
【分析】将，当成整体，解方程组可求出，的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：，
得：③，
将③代入②得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，将，当成整体，通过解方程组求出，的值是解题的关键．
18．3
【分析】根据题意可知方程和方程是同一个方程，据此求解a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于，的方程组有无数组解，
∴方程和方程是同一个方程，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟知二元一次方程组有无数组解时，方程组的两个方程是同一个方程是解题的关键．
19．、、
【分析】先把a当作已知数，求解二元一次方程组，再根据方程有整数解得a 3必须同时整除10与15，从而得出或或或，求解各方程即可得解．
【详解】解：
得，，
∴，
将 代入得，
，
方程组有整数解，
或或或，
或或或，
又为正整数，故舍去，
的值为，，．
故答案为、、．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，求二元一次方程组中的参数，根据消元法求出x，y是解题的关键．
20．
【分析】方程组两方程相加表示出，代入已知方程计算即可求出m的值．
【详解】解：方程组两式相加得：，即，
∵，
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解及代数式求值、解一元一次方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解本题的关键．
21．
【分析】根据图1和方程组得关系即可确定图2的方程组．
【详解】根据题意，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
22．
【分析】根据题意可得等量关系：加工后的单价加工前的单价；樱桃千克加工后所卖总价钱加工前所卖总价钱元，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设加工前每千克售价x元，加工后每千克售价y元，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
23．
【分析】先用含k的代数式表示方程组的解，再代入得到关于k的方程，求出解即可．
【详解】解：
，得.
将代入①，得．
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等，掌握解方程（组）的步骤是解题的关键．
24．(1)
(2)①a=b；②
【分析】（1）直接将，代入二元一次方程中解关于y的方程即可；
（2）①将方程的解x，y代入原方程中整理可得；
②把代入，由取值无关可得a的系数为0，由此即可解题．
【详解】（1）解：当，时，原方程为：，
∴；
（2）①关系是a =b，理由：
把代入二元一次方程得
，
，
，
，
∴；
②由①知道，
∴原方程可化为：，
∴
∵该方程组的解与与的取值无关，.
∴．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义、完全平方公式的应用，“有解必代”是解题的关键．
25．(1)
(2)1
【分析】根据题意可得，再利用加减消元法解答，即可求解；
（2）把代入和，可得关于a，b的方程组，解出即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
由①+②得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴这两个方程组的解为；
（2）把代入和，得：
，解得：．
∴．
【点睛】本题主要考查了同解方程组，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
26．(1)
(2)m
(3)
【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可；
（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得：；
（2）解：依题意得，
解得：，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：由题意得： 方程组的解为，
∴由方程组得方程组，
∴方程组的解满足，
解得．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
27．(1)5；
(2)1
【分析】（1）①③联立解二元一次方程组即可；
（2）得：，根据得出m的方程，解关于m的方程即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
故答案为：5；．
（2）解：①+②，得，
即，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法和代入消元法，准确计算．
28．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目所给的新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）先根据题意得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组用m表示出x、y，再根据x+y=5进行求解即可；
（3）可令再根据同解题意可知关于m、n的方程组的解为，则据此求解即可；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝5，
∴，
∴
（3）解：∵，
∴可令，
∴，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴关于m、n的方程组的解为，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
29．（1）；（2）；
【分析】（1）利用加减消元法求出x和y的值，然后代入方程求出k的值；
（2）根据方程组的解为正数，求出k的取值范围，从而得出k的值．
【详解】解：（1）解方程组可得：，
将方程组的解代入方程可得：
，
解得：；
（2）根据题意可得：
解不等式组可得：，
当时，则方程组的解为：.
【点睛】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程的解，一元一次不等式组的解法，解题的关键是灵活掌握解方程组的方法，属于中考常考题型．
30．(1)该超市这一天购进种鲜奶瓶，购买种鲜奶瓶．
(2)要解决的问题是A种鲜奶与B种鲜奶各销售了多少瓶？小明所列的方程组不能解决这个问题，其中利润的计算是错误的，正确的方程组是：．
【分析】（1）设该超市这一天购进种鲜奶瓶，购买种鲜奶瓶，根据两种鲜奶的进价之和为1320元，列方程，再解方程即可；
（2）由方程组体现的含义可得小明所列的方程组要解决的问题，由于计算利润的方法错误可得小明所列的方程组不能解决这个问题，再确定正确的相等关系可得方程组，从而可得答案．
【详解】（1）解：设该超市这一天购进种鲜奶瓶，购买种鲜奶瓶，则
，
解得：，则，
答：该超市这一天购进种鲜奶瓶，购买种鲜奶瓶．
（2）小明列出方程要解决的问题是A种鲜奶与B种鲜奶各销售了多少瓶？
小明所列的方程组不能解决这个问题，其中利润的计算是错误的，
设种鲜奶卖出瓶，卖出种鲜奶瓶，则正确的方程组是：
．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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