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10.3 解二元一次方程组
知识点一、用代入消元法解二元一次方程组
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想；
2.代入消元法：通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
（1）代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的；
（2）代入消元法的技巧是：
①直接代入：当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②变形代入：若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；
③整体代入：方程组中某一未知数的系数成倍数关系.
（3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．
1．用代入法解方程组时，使用代入法化简比较容易的变形是( )
A．A由①，得 B．B.由①，得
C．C.由②，得 D．D.由②，得
知识点二、用加减消元法解二元一次方程组
1.加减消元法： 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4）将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
2．已知二元一次方程组，用加减消元法解方程组正确的（ ）
A．①×5-②×7 B．①×2+②×3 C．①×7－②×5 D．①×3-②×2
巩固练习
一．选择题（共8小题）
3．关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．方程组，下列步骤可以消去未知数的是（ ）
A． B． C． D．
5．适合二元一次方程和的部分x，y值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（ ）
表1 1 2 3
1
表2 0 1 2 3
0 1
A． B． C． D．
6．已知方程组，指出下列方法中最简捷的解法是（ ）
A．利用①，用含x的式子表示y，再代入② B．利用①，用含y的式子表示x，再代入②
C．利用②，用含x的式子表示y，再代入① D．利用②，用含y的式子表示x，再代入①
7．若单项式与是同类项，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
8．若方程x+y＝3，x﹣2y＝6和kx+y＝7有公共解，则k的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
9．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．要消去x，可以将①②
B．要消去y，可以将①②
C．要消去x，可以将①②
D．要消去y，可以将①②
10．在解二元一次方程组时，若①②可直接消去未知数，则和满足下列条件是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．关于的方程组，则的值等于 ．
12．二元一次方程组的解是 ．
13．关于x、y的二元一次方程组，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用得到的方程是 ．
14．若方程组解为，则方程组的解为 ．
15．对于有理数x，y，定义新运算“※”：x※y＝ax+by+1（a，b为常数），若2※4＝9，3※7＝5，则5※11＝ ．
16．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定．已知x，y同时满足，，则 ．
17．已知，满足，则 ； ．
18．若是方程的一个解，则 ．
19．如果和互为相反数，那么 ．
20．据记载，“幻方”源于我国古代的“洛书”，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，则m的值为 ．
5
9
8 13
三．解答题（共10小题）
21．（1）．
（2）．
22．小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，求原方程组中a的值．
23．请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题．
我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：．例如：．
(1)如果，，求y的值；
(2)，，求x，y的值．
24．求解：
(1)解方程组：
(2)如图，平分，，求证：．
25．阅读以下材料：
解方程组：，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得x+y＝1③，将③代入②得：
(1)请你替小阳补全完整的解题过程；
(2)请你用这种方法解方程组：．
26．阅读下列解方程组的部分过程，回答下列问题．
解方程组现有两位同学的解法如下：
解法一：由①得③，把③代入②中得．
解法二：得．
(1)解法一使用的具体方法是______，解法二使用的具体方法是______，以上两种方法的共同点是______．
(2)请你任选一种解法，把完整的解题过程写出来．
27．阅读小林同学数学作业本上的截图内容并完成任务．
解方程组 解：由①得，③第一步 把③代入①，得，第二步 整理得．第三步 因为x可以取任意实数，所以原方程组有无数个解．第四步
任务：
(1)这种解方程组的方法称为_________．
(2)小林的解法正确吗？_________（填“正确”或“不正确”），如果不正确，那么错在第_________步，并选择恰当的方法解该方程组．
28． 已知，当时，；当时，，则
(1)求k、b的值；
(2)求时，y的值．
29．对于数轴上的点A和正数r，给出如下定义：点A在数轴上移动，沿负方向移动r个单位长度后所在位置点表示的数是x，沿正方向移动r个单位长度后所在位置点表示的数是y，x与y这两个数叫做“点A的r对称数”，记作，其中．
例如：原点O表示0，原点O的1对称数是．
(1)若点A表示2，则点A的4对称数，则　 　，　 　；
(2)若，求点A表示的数及r的值；
(3)已知 ，，若点A、点B从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点A的速度是点B速度的2倍，当时，请直接写出点A表示的数．
30．已知一个三位自然数，若满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个数为“平衡数”，并把其百位数字与个位数字的乘积记为．
例如693，∵，∴693是“平衡数”．
．
规定：（s，t均为非零实数，m，n均为平衡数）．
已知：，．
(1)求s，t及的值；
(2)已知m，n是两个十位数字相同的“平衡数”，m加上其各个数位上数字之和是7的倍数，若，求n的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】用代入法解方程组的第一步：尽量用其中一个未知数表示系数较简便的另一个未知数．
【详解】解：A、B、C、D四个答案都是正确的，但“化简比较容易的”只有B．
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．D
【分析】方程组利用加减消元法变形，判断即可．
【详解】解：用加减消元法解方程组，用①×3-②×2可以消去x，
选项A，B， C无法消去方程组中的未知数，
故选：D．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法．
3．D
【分析】把代入，判断出用代入法消去y后所得到的方程是哪个即可．
【详解】解：把代入得：，
∴．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
4．C
【分析】根据加减消元法进行求解即可．
【详解】解：A、，得，变形后不能消元，故不符合题意；
B、，得，变形后不能消元，故不符合题意；
C、，得，可以消去，故符合题意．
D、，得，变形后不能消元，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．
5．B
【分析】找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解．
【详解】通过表1发现与表2中相同，所以方程组的解是
故选：B
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是理解二元一次方程组解的概念．
6．B
【分析】只需要看两个方程组哪个未知数的系数为1，就选该方程，用另一个未知数表示该未知数，代入另一个方程求解即可．
【详解】解：观察可知①种x的系数为1，而②中两个未知数的系数均不为1，因此利用①用含y的式子表示x，再代入②中是最简便的，
故选B．
【点睛】本题主要考查了代入消元法，正确理解题意是解题的关键．
7．C
【分析】根据同类项的定义可得到关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可得出m，n的值，再代入运算即可．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，同类项，解答的关键是由同类项的定义得出相应的二元一次方程组．
8．C
【分析】先求出的解，然后代入kx+y＝7求解即可．
【详解】解：联立，
②-①，得
-3y=3，
∴y=-1，
把y=-1代入①，得
x-1=3
∴x=4，
∴，
代入kx+y＝7得：4k﹣1＝7，
∴k＝2，
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，二元方程转化为一元方程是解题的关键．
9．C
【分析】观察方程组中与的系数特点，利用加减消元法判断即可．
【详解】解：要消去，可以将①②，
可得，
可得．
故A错误；
要消去，可以将①②，故B、D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．
10．C
【分析】根据加减消元法，即可求解．
【详解】解：①②得，
∵①②可直接消去未知数，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题关键．
11．5
【分析】根据加减消元法即可求解．
【详解】解：，
得，
，
∴，
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
12．
【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可得．
【详解】解：，
将②代入①得：，
解得，
将代入②得：，
则方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
13．
【分析】利用加减消元法进行计算即可．
【详解】解：解二元一次方程组时，
用得到的方程是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．
14．
【分析】先把x+2与y－1看作一个整体，则x+2与y－1是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案．
【详解】解：由题意得：方程组的解为，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出是解此题的关键．
15．13
【分析】根据新运算及已知可得关于a、b的一个二元一次方程组，则可求得a、b的值，那么可求得结果．
【详解】解：由题可得：，
解得，
∴5※11＝5a＋11b＋1＝5×20＋11×（－8）＋1＝13．
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了新运算，关键弄清楚新运算的含义，把新运算转化为已知的运算进行．
16．
【分析】利用题中的新定义得到二元一次方程组，求出与的值即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的乘法，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17． 1
【分析】先利用绝对值和平方数的非负性得到，，从而得到，，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
，
故答案为：1；．
【点睛】本题考查零指数幂和负指数幂的计算，解题的关键是根据绝对值和平方数的非负性求出，．
18．2
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，
解得：．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键．
19．0
【分析】利用非负数的性质，构建方程组解决问题．
【详解】解：∵和互为相反数，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：0．
【点睛】本题考查二元一次方程组，非负数的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用转化的思想解决问题．
20．6
【分析】根据幻方中，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母之和均相等列方程解答．
【详解】解：∵幻方中，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母之和均相等列得方程组是解题的关键．
21．（1）；（2）
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解；
（2）先将①式化简，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：（1）
得，，
解得：，
将代入①得
解得：，
∴方程组的解为：；
（2）
由①得
即③
得：，
将代入②得
解得：，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
22．
【分析】把小李、小张计算结果代入方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值．
【详解】解：将、代入得：
得：，
解得，
把代入①得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得出方程组，解答即可；
（2）根据题意，得出方程组，解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
把代入，
得，
解得；
（2）解∶根据题意，得，
解得．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．理解新定义是解题的关键．
24．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用加减消元法解答，即可求解；
（2）根据平分，可得，从而得到，即可．
【详解】（1）解：
，得，
解得：，
，得：，
解得：，
∴原方程组的解是；
（2）解：证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，平行线的判定，熟练掌握二元一次方程组的解法，平行线的判定定理是解题的关键．
25．(1)
(2)
【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可；
（2）利用整体代入法进行求解即可．
【详解】（1）解：由①得：，
将③代入②得：，
解得，
把代入①得，
，
解得，
故原方程组的解是；
（2）整理得，
，
把①代入②得，
，
解得，
把代入①得，
，
解得，
故原方程组的解是．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
26．(1)代入消元法，加减消元法，消元
(2)．
【分析】（1）分析两种解法的具体方法，找出两种方法的共同点即可；
（2）将两种方法补充完整即可．
【详解】（1）解：解法一使用的具体方法是代入消元法，
解法二使用的具体方法是加减消元法，
以上两种方法的共同点是基本思路都是消元；
故答案为：代入消元法，加减消元法，消元；
（2）解：方法一：由①得③，
把③代入②中得，
整理得：，
解得：，
把代入③，得，
则方程组的解为；
方法二：①②得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
27．(1)代入消元法
(2)不正确，二；见解析
【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法进行分析即可；
（2）根据解二元一次方程组的方法进行分析即可．
【详解】（1）解：这种解方程组的方法称为代入消元法；
故答案为：代入消元法；
（2）解∶小林的解法不正确，错在第二步，
由①得③，
把③代入②得：，
解得，
把代入③得：，
故方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程的方法的掌握．
28．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据题意，可得关于k、b的二元一次方程组，应用加减消元法，求出k、b的值即可；
（2）应用代入法，求出时，y的值是多少即可．
【详解】（1）解：根据题意，可得：
，
①②，可得，
解得，
把代入①，可得：，
解得，
∴原方程组的解是；
（2）解：由（1）得，
当时，
．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
29．(1)；6
(2)点A所表示的数为4，r的值为7
(3)
【分析】（1）根据新定义概念列式计算；
（2）根据新定义概念列方程组求解；
（3）设点A所表示的数为a，则B点所表示的数为，然后根据新定义概念用含a的式子表示出x，y，m，n，然后代入求解．
【详解】（1）解：当点A表示2时，
，，
故答案为：，6；
（2）解：设点A所表示的数为a，由题意可得：，
解得，
∴点A所表示的数为4，r的值为7；
（3）解：设点A所表示的数为a，则点B所表示的数为，
又∵，，
∴，，，，
当时，即，
解得，
∴点A所表示的数为．
【点睛】本题属于新定义题目，考查解二元一次方程组，一元一次方程的应用．理解新定义概念，掌握解二元一次方程组和解一元一次方程的步骤是解题关键．
30．(1)s=1，t=-1，G(286,341)=9
(2)n=286或682
【分析】（1）根据G（253，121）=5，G（231，693）=-16，列出方程即可求出s，t的值，进而利用规定可求G（286，341）；
（2）根据“平衡数”的定义表示出b=a+c=x+y，根据m加上各个数位上数字之和被是7的倍数，判定出a，b，c的值，从而求出m值，再利用F（m）-F（n）=-5，求出x，y的值，然后根据规定求出n的值．
【详解】（1）解：由题意，得G(253,121)=sF(253)+tF(121)=6s+t=5，G(231,693)=sF(231)+tF(396)=2s+18t=-16，即
，解得：，
∴G(286,341)=F(286)-F(341)=2×6-3×1=9，
（2）解：设“平衡数”m=100a+10b+c，n=100x+10b+y，
∴b=a+c=x+y，
∴m+a+b+c=100a+10b+c+a+b+c=101a+11b+2c=101a+11(a+c)+2c=112a+13c，
∵m加上其各个数位上数字之和是7的倍数，
∴为整数，
∵1≤c≤9的整数，
∴c=7,
∵1≤a≤9的整数, 1≤b≤9的整数,且b=a+c，
∴a=1,b=8,a=2,b=9，
∴m=187或297,
∵，
当m=187时，
∴7-F(n)=-5，
∴F(n)=12,
∴xy=12，x+y=8,
∴或，
∴n=286或682；
当m=297时，
∴14-F(n)=-5，
∴F(n)=19，
∴xy=19，x+y=8，方程无解，
综上，n=286或682．
【点睛】本题是一道以新定义为背景的阅读题目，考查了新定义，解二元一次方程组，能够根据定义列出代数式，根据各数的取值范围求出a，b，c，x，y的值是解答的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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