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10.4 三元一次方程组
知识点一、三元一次方程组的概念
1.含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程；
2.三元一次方程组必须同时满足的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次.
知识点二、解三元一次方程组
1.解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．
2.解三元一次方程组的一般步骤
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
1．解三元一次方程组时，要使解法较为简单，应（　　）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数
巩固练习
一．选择题（共10小题）
2．已知且x＋y＝3，则z的值为(　 　)
A．9 B．－3 C．12 D．不确定
3．已知方程组，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　）
A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③
5．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
6．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么的最大值是（ ）
A． B． C． D．１
7．已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，其值为（ ）
A．4 B．8 C．62 D．52
8．若方程组 的解是，则的值是（ ）
A．－3 B．0 C．3 D．6
9．现有1元，5元，10元纸币各10张混在一起，从中任意抽取21张纸币合计100元，则抽取的纸币中10元纸币有（ ）张
A．7 B．6 C．5 D．3
10．下列说法错误的是（ ）
A．是一个二元一次方程组 B．是一个二元一次方程组
C．是方程组的解 D．二元一次方程x﹣7y＝11有无数个解
11．实数、、且，，，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
12．如果则的值为 ．
13．三元一次方程组的解是 ．
14．若方程组的解也是方程3x+ky=10的一个解，则k= ．
15．若方程组的解满足方程，则a的值为 ．
16．已知关于的整系数二次三项式，当取1、6、8、12时，某同学算得这个二次三项式的值分别是0、15、35、100．经验算，只有一个是错误的，这个错误的结果是 ．
17．已知，，则 ．
18．若方程组的解是，则方程组的解是 ．
19．若对于有理数x和y，定义一种运算“△”，x△y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数．已知3△5＝15，7△3＝﹣5，求5△4的值 ．
20．小铃观察三元一次方程组各个未知数的系数特点，先用，得，记为，消掉未知数z，那么下一步应完成的是 ，得到 ，记为，由可解得x，y的值，通过代入x，y的值求出未知数z的值，完成这个三元一次方程组的求解．
21．若x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，且3a-2b=2c2+2c-10，则关于x的不等式c2x-3a＞10x+2b的解集是 ．
三．解答题（共8小题）
22．解方程组：
（1）
（2）．
23．在等式中，当时，；当时，；当与时，y的值相等，求的值．
24．某足球联赛一个赛季共进行场比赛（即每队赛场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得分，这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？
25．下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题．
例1 解方程组： 解 由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得 代入④，得． 所以原方程组的解是
(1)其中的步骤二通过______法消去未知数，将三元一次方程组转化成了______．
(2)仿照以上思路解方程组，消去字母后得到的二元一次方程组为______．
26．解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：
解方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：______+______，得3x+4y=10，④
______+______，得5x+y=11，⑤
______与______联立，得方程组
（1）请你在方框中补全小曹同学的解答过程：
（2）若m、n、p、q满足方程组，则m+n-2p+q=______．
27．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”．
(1)求方程x+2y＝5的所有“好解”；
(2)关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由．
28．阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫做这个方程（组）的“好解”例如：就是方程的一组“好解”；是方程组的一组“好解”．
(1)请直接写出方程的所有“好解”；
(2)关于x，y，k的方程组有“好解“吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由；
(3)已知x，y为方程的“好解”，且，求所有m的值．
29．阅读：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：
试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：
（1）试求方程组的解
（2）已知x y z，满足，求z的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】第一个方程中不含z，而第二个方程和第三个方程z的系数互为相反数，所以②+③消去z，与①即可组成二元一次方程组，从而实现消元的目的．
【详解】解： ，
②+③得：7x-11y=6④，
④与①即可组成二元一次方程组，
∴要使解法较为简单，应先消去z．
故选：C
【点睛】此题考查解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．B
【分析】先利用x＋y＝3，得2x+2y=6,3x+3y=9,进而将方程组进行化简整理,再用代入消元法即可求解.
【详解】解：∵x＋y＝3，将其代入方程组得,
由（1）得y=z-6,将其代入（2）得z=-3,
故选B.
【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入消元的方法和对原方程组进行化简是解题关键.
3．A
【分析】把三个方程相加即可得到的值．
【详解】解：，
①＋②＋③，得：
，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键．
4．C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去．
【详解】解：解三元一次方程组，
得：
得：
方程组变形为，刚好消去z，
故选：C．
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征灵活应用加减消元法．
5．B
【分析】把原方程组化为，根据 的解为，得出，依此解答，即可得出结果．
【详解】解：由 得，
∵的解为，
∴的解为：，
∴．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，得出根据题意求出是解此题的关键．
6．B
【分析】根据题意得，，，代入，已知是正整数，其最小值为1，于是的最大值是．
【详解】解：，
，
又，，，
，，，
，
是正整数，其最小值为1，
的最大值是．
故选：B．
【点睛】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组．
7．D
【分析】根据已知条件可知，由此解方程组求出a、b、c的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得
用①+②得：④，
用①×2+③得：⑤，
用⑤－④得：，
把代入④得：，解得，
把，代入①得：，解得，
∴当时，，
故选D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解三元一次方程，正确建立三元一次方程组求出a、b、c的值是解题的关键．
8．A
【分析】先把代入原方程组，可得，由①-②可得，再把代入①，可得，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵方程组 的解是，
∴，
由①-②得：，
∴，
把代入①，得：
，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解方程组的解就是使方程组中每一个方程都成立的未知数的值是解题的关键．
9．A
【分析】设出十元纸币取x张，五元纸币取y张，则一元纸币取12-x-y张，列出方程结合不等式求解即可．
【详解】设出十元纸币取x张，五元纸币取y张，则一元纸币取21-x-y张，
由题有：
且x、y为整数
则x=7，y=4
故选A
【点睛】此题考查二元一次方程的实际应用，由题找出蕴含关系是解题关键．
10．B
【分析】根据二元一次方程组的定义可判断A，B；根据方程（组）的解可C，D．
【详解】解：A.是一个二元一次方程组,此说法正确，不符合题意；;
B.含有3个未知数，不是一个二元一次方程组，此说法错误，符合题意；
C. 是方程组的解,此说法正确，不符合题意；
D. 二元一次方程x﹣7y＝11有无数个解, 此说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组以及二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解和二元一次方程组的概念是解答本题的关键．
11．A
【分析】根据已知等式得到x=y，z=0，从而分别分析各选项．
【详解】解：∵，
则，
同理：，
∴，
∴，
∴，
∴，成立，
∵，
∴且，
∴，，，
故B、C、D错误，
故选A．
【点睛】本题考查了等式的性质，有理数的混合运算，解题的关键是得到x=y，z=0．
12．4
【分析】把三个方程相加即可．
【详解】解：把三个方程相加可得：3x＋3y＋3z＝12，
所以x＋y＋z＝4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查三元方程组的问题，关键是观察条件与问题的关系，此处把三个方程相加即可解答，不比一一求出未知数．
13．
【分析】利用加减消元法解三元一次方程组即可得．
【详解】解：，
由②③得：，即④，
由①④得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
将，代入②得：，
解得，
则方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
14．-
【分析】解方程组求得x，y的值，再代入3x+ky=10中，求得k的值．
【详解】解：由题意得组，
解得，
代入3x+ky=10，
得9-2k=10，
解得k=-．
故本题答案为：-．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，当两方程中相同的未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法解方程组比较简单．灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
15．5
【分析】首先解方程组求得x、y的值，然后代入方程中即可求出a的值．
【详解】解：解得
把代入得：
故答案为5．
16．15
【分析】根据所给的值，和具有倍数关系，由此可知，这两个结果是解题的突破，因此和的结果中必有一个是错误的，假设当的结果是正确的，，，可得，不符合题意，由此即可求解．
【详解】∵时，时，
∴，，
∴，
∴，
∵二次三项式的系数是整数，
∴和的结果中必有一个是错误的，
当时，，
∴，
当时，时，
∴，
得，，
∴，
∵二次三项式的系数是整数，
∴时，的结果是错误的．
故答案为：15
【点睛】本题考查整数的运算，熟练掌握代数式求值的方法，观察所给的数可知和的结果是解题的关键．
17．
【分析】用将表示出来，代入式子，求解即可．
【详解】解：联立，可得
，即，解得
将代入可得
，
故答案为：
【点睛】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是正确用将表示出来，并代入代数式求解．
18．
【分析】首先根据题意，得出，然后再把代入方程组，得出，两式相加，得出，再根据题意，得出，解出即可得出的值，最后把代入，即可得出的值．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴，
∴，
∴把代入方程组，
可得：，
由，得：，
∵方程组的解是，
∴，
∴，解得：，
把代入，得：，
∴方程组的解是．
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组含参数问题，解本题的关键在熟练掌握二元一次方程组的定义以及基本解法．
19．5
【分析】根据定义列出三元一次方程组，得出a、b、c的关系，再整体求值即可．
【详解】解：∵3△5＝15，7△3＝﹣5，
∴，
①+②，可得：10a+8b+2c＝10，
∴5a+4b+c＝5，
∴5△4＝5a+4b+c＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了新定义运算和三元一次方程组，解题关键是准确理解题意，列出三元一次方程组，利用整体思想求出5△4的值．
20．
【分析】利用解三元一次方程组的基本思想—消元的思想，判断即可得到结果．
【详解】解：，
，得，
，得，
由得到二元一次方程组，
解得，
把代入①得，，
∴原方程组的解为，
故答案为，．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．x＜-5
【分析】根据x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，且3a-2b=2c2+2c-10，求得，代入不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，
∴
①+②得：
3a-2b=2c2+2c-10，
②-①得：
即
c2x-3a＞10x+2b
即
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，求得是解题的关键．
22．（1）；（2）
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得；
（2）利用消元法解三元一次方程组即可得．
【详解】解：（1），
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
则方程组的解为；
（2），
由①②得：④，
由④③得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
将代入③得：，
解得，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
23．37
【分析】由当与时，y的值相等，得出a和b的关系，再将x与y的2对值代入等式，得出关于a，b，c的方程组求解即可．
【详解】解：∵当与时，y的值相等，
∴，即，
把当时，；当时，代入等式得
，
①-②得：，即，
将代入③得：，
将代入①得：，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
24．胜、平、负的场数分别是7场、场、6场
【分析】设这个队胜、平、负场数分别为x场，y场，z场，根据“共进行场比赛”可得第一个方程，根据“平局的场数比负的场数多7场”可得第二个方程，根据“共得分”可得第三个方程，然后解方程组即可．
【详解】解：设这个队在这个赛季中胜、平、负场数分别为x场，y场，z场，
可列方程组：，
解三元一次方程组得：．
答：这个队在这一赛季中胜、平、负的场数分别是7场、场、6场．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键．
25．(1)代入消元（代入） ， 二元一次方程组
(2)① 或 或等，答案不唯一
【分析】（1）根据解三元一次方程组的解法进行分析即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【详解】（1）解方程组：
由方程②，得
将④分别代入方程①和③，得
整理，得
故答案为：代入消元（代入） 二元一次方程组
（2）解方程组：
由方程②+①，得3x+3y=9
由方程①+③，得4x+6y=14
由方程③-②得x+3y=5
由x+y=3 （3x+3y=9）， 2x+3y=7（4x+6y=14） ， x+3y=5中 任意两个组合得到均可
故答案为： 或 或等，答案不唯一
【点睛】此题考查了一次方程组的解法，解三元一次方程组，解本题的关键是消元．
26．（1）①，②，②，③，⑤，④．（2）-2.
【分析】（1）根据每一步得到的方程反推其计算的由来，得到二元一次方程组后用代入消元或加减消元法解出x和y，再代回原方程组求z．
（2）把（m+n）看作整体，解关于（m+n）、p、q的三元一次方程组．
【详解】解：（1）方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：①+②，得3x+4y=10，④
②+③，得5x+y=11，⑤
⑤与④联立，得方程组
解得：
把代入①得：2+1+z=2，
解得：z=-1，
∴原方程组的解是
故答案为①，②，②，③，⑤，④．
（2）
②-①×2得：p-3q=8④，
③-①×3得：-5p-2q=-6⑤，
由④与⑤组成方程组
解得： ，
代入①得：m+n=4
∴m+n-2p+q=-2
故答案为-2．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，利用整体思想解多元方程组．解题关键是理解并正确运用消元法逐步减少未知数并解方程．
27．(1)或或
(2)有，或或或
【分析】（1）“好解”就是方程的非负整数解，使y＝0，y＝1，y＝2分别去求的值，由于时，的值为负，不符合要求，不需要再求；
（2）通过消元的方法得出k＝6﹣2y和x＝9+y，因为“好解”就是方程的非负整数解，所以x、y、k为非负整数，解不等式可得出满足条件的解．
【详解】（1）解：当y＝0时，x＝5；
当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3；
当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1，
所以方程x+2y＝5的所有“好解”为或或；
（2）解：有．
，
②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y，
①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y，
∵x、y、k为非负整数，
∴6﹣2y≥0，解得y≤3，
∴y＝0、1、2，3，
当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0，
∴关于x，y，k的方程组的“好解”为或或或．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和三元一次方程组的解法，准确理解题意并正确解出方程组是做出本题的关键．
28．(1)，，
(2)有“好解“，“好解”为
(3)63，73，83
【分析】（1）根据“好解”的定义，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解；
（2）解方程组求得，根据“好解”的定义得，即，在范围内列举正整数代入求解；
（3）由解得，根据“好解”的定义得到，即，在范围内列举正整数代入求解．
【详解】（1）由，得y（x、y为正整数），
∵，
即，
∴当时，；
当时，；
当时，；
即方程的“好解”有，，；
（2）由解得（x、y、k为正整数），
∵，即，
∴当时，，，
∴方程组有“好解“，“好解”为；
（3）由解得（x、y、m为正整数），
∵，即，
∴当时，，；
当时，，；
当时，，；
∴所有m的值为63，73，83．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是要理解方程（组）的“好解”条件，根据条件求解．
29．（1）；（2）z=2
【分析】（1）方程组利用“整体代换”思想求出解即可；
（2）方程组两方程变形后，利用“整体代换”思路求出z的值即可．
【详解】解：（1），
由②得③，
把方程①代入③得，，
解得：y=-3，代入①得，x=-1，
所以方程组的解为：；
（2），
由①得③，
由②得④，
③×2-④×3得z=2．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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