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10.6 二元一次方程组综合练习（单元测试基础）
一．选择题（共8小题）
1．下列方程属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知方程组，将①代入②得（　　）
A． B． C． D．
3．已知二元一次方程2x+3y＝3，其中x与y互为相反数，则x，y的值为（　　）
A．x＝﹣4，y＝4 B．x＝4，y＝﹣4 C．x＝3，y＝﹣3 D．x＝﹣3，y＝3
4．古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则下列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．将方程写成用含y的式子表示x的形式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强．
下表是世界杯E组积分表：
排名 球队 积分
1 日本 6
2 西班牙 4
3 德国 4
4 哥斯达黎加 ？
如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问梨果各几何？”意思是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
9．若二元一次方程组的解为，则 ．
10．已知关于x、y的二元一次方程组的解也是方程的解，则m的值为 ．
11．《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：“今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出7钱，还差三钱．问合伙人数、羊价各是多少？”设合伙人数为x人，羊价为y钱，可列方程组为 ．
12．已知方程组与有相同的解，则 ．
13．二元一次方程的正整数解的个数是 ．
14．若二元一次方程组的解满足，则 ．
15．已知是二元一次方程ax+by-3=0的一个解，则1-6a+9b= ．
16．如果二元一次方程组的解为，则“”表示的数为 ．
17．若二元一次方程组，则的值是 ．
18．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”
译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”
设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为 ．
三．解答题（共12小题）
19．解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
20．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元；只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．
(2)该专卖店计划恰好用元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案．
(3)若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是元，元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．
21．一套格栅灯具由3个圆弧灯罩和2个栅板间隔组成，均可用铝合金板冲压制成，已知铝合金板可以冲压4个圆弧灯罩或12块栅板．现要用铝合金板制作这种格栅灯具，应分配多少平方米铝合金板制作圆弧灯罩，多少平方铝合金板制作栅板？恰好配成这种格栅灯具多少套？
22．某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号的无人机架数比总架数的三分之一少2架．求该公司上半年生产的甲、乙型号的无人机各多少架．
23．已知方程组与方程组的解相同，求的值．
24．感知：解方程组，下列给出的两种方法中，最简便的方法是（ ）
（A），先消去x，再代入求解．
（B）先①＋②，得；再②－①，得，最后重新组成方程组求解．
探究：利用最简单的方法解方程组；
应用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值为______．
25．已知关于、的二元一次方程（、为常数）的正整数解如下表所示：
1 2 3
5 3 ？
(1)______，______；
(2)当时，y＝______．
26．海姆立克急救法是日常抢救气管被异物堵塞的急救方法，但儿童和成人的施救方法不同，实验中学为教职工开设“成人急救班”与“儿童急救班”，已知报名参加“成人急救班”与“儿童急救班”的人数共人，其中报名参加“成人急救班”的人数比报名参加“儿童急救班”人数的一半还少人，求报名参加“成人急救班”与“儿童急救班”的教职工各多少人．
27．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值．
(1)按照小云的方法，的值为__________，的值为____________；
(2)请按照小辉的思路求出的值．
28．阅读理解：
在数学课上，李老师遇到下面问题：已知x，y满足方程组，求的值？
小红：把方程组解出来，再求的值．
小刚：把两个方程直接相加得方程两边同时除以解得．
李老师对两位同学的讲解进行点评：指出“小刚”同学的思路体现了数学中【整体思想】的运用．
请你参考小红或小刚同学的做法，解决下面的问题．
(1)已知关于、的方程组的解满足，求的值．
(2)运用【整体思想】解答：
若方程组的解是，求的值．
29．已知关于x ，y 的方程组．
(1)请写出方程 的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求 m的值；
(3)如果方程组有正整数解，求整数m 的值．
30．直播带货已经成为年轻人的购物时尚．为回馈粉丝，直播带货达人甜甜姐推出促销措施，在她的直播间按市场价购买火狐狸服装，均可到线上客服处领取的补贴．粉丝丽丽因此购买了一件皮衣和一件毛衣，共花去元，已知皮衣单价比毛衣单价的2倍还多元．
(1)丽丽所买皮衣与毛衣的单价各是多少元？
(2)丽丽可以到线上客服处领取多少元补贴？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据二元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意；
B、含有两个未知数，不是整式方程，故不是二元一次方程，不符合题意；
C、含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，是二元一次方程，符合题意；
D、含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键．
2．A
【分析】将①代入②消去即可．
【详解】解：，
将①代入②得，，
即．
故选：A．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的代入消元法是解题的关键．
3．A
【分析】x与y互为相反数，那么y＝ x，然后联立解方程组即可求解．
【详解】解：由题意得：x＋y＝0，即y＝ x，
代入已知方程得：2x 3x＝4，
解得：x＝ 4，
则y＝4．
故选：A．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解本题的关键．
4．A
【分析】根据“耠子和耧共有63个，共有100条腿”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：耠子和耧共有63个，
；
耠子和耧共有100条腿，
．
根据题意可列出方程组．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．D
【分析】把代入，再根据去括号法则去掉括号即可．
【详解】
把②代入①，得，
去括号，得．
故选：D．
【点睛】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组和去括号法则，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解题的关键．解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
6．D
【分析】把y看作已知数求出x即可．
【详解】解：，
，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
7．D
【分析】根据题意可得小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场，再由表格可得日本队，西班牙队，德国队的胜负情况，即可求解．
【详解】解：根据题意得：小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场，
∵日本队得6分，
∴日本队胜2场，负1场，
∵西班牙队得4分，
∴西班牙队胜1场，平1场，负1场，
∵德国队得4分，
∴德国队胜1场，平1场，负1场，
∴哥斯达黎加队可以是胜1场，负2场，也可以是平2场，负1场，
∵本小组比赛中只有一场战平，那就是西班牙队和德国队战平，
∴斯达黎加队胜1场，负2场，
∴哥斯达黎加的积分是3分．
故选：D
【点睛】本题主要考查了逻辑推理，明确题意，准确得到日本队，西班牙队，德国队的胜负情况是解题的关键．
8．A
【分析】根据用999文钱可以买梨和果共1000个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．
【分析】把、的值代入方程组，再将两式相加即可求出的值．
【详解】解：将代入方程组，
得：，
得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出的值．
10．8
【分析】由可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：，
由得：，
∵二元一次方程组的解也是方程的解，
∴，
解得：．
故答案为：8
【点睛】本题考查利用二元一次方程组解的情况求参数，观察所给方程的特征，考虑用整体代入法求解是解题的关键．
11．
【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”中的等量关系分别列二元一次方程，即可求解．
【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y元，
依据“若每人出5钱，还差45钱”得：5x+45=y，
依据“若每人出7钱，还差3钱”得：7x+3=y，
因此可列方程组为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．12
【分析】根据方程组的解相同，四个方程可重新组合两个新的方程，解之代入可得，的值，进而可求的值．
【详解】解：由题意得，
得，，解得，
代入②得，
此方程组的解为，
把，代入得，
解得：，，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，解二元一次方程组，代数式求值等知识．掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
13．2
【分析】先用含的代数式表示出，再将符合条件的的值代入即可求解．
【详解】解：，
，
当时，，
当时，，
二元一次方程的正整数解的个数是2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握用含的式子表示是解题的关键．
14．-6
【分析】将代入该二元一次方程组，再解关于y和k的二元一次方程组即可．
【详解】将代入该二元一次方程组得：，
解得：．
故答案为：-6
【点睛】本题考查同解方程组．掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．
15．-8
【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的解代入可求出，然后再整体代入代数式即可求解．
【详解】解：将已知的解代入可得：，
把代入得：
．
故答案为：-8．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解定义，解决本题的关键是要理解二元一次方程解的定义．
16．10
【分析】把x=6代入2x+y=16求出y，然后把x，y的值代入x+y=☆求解．
【详解】解：把x=6代入2x+y=16得2×6+y=16，
解得y=4，
把代入x+y=☆得☆=6+10=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
17．5
【分析】由可得，然后把把分别看作一个整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、加括号等知识点，掌握整体思想是解答本题的关键．
18．
【分析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=48文钱，乙的钱+甲所有钱的文钱，据此列方程组可得．
【详解】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
根据题意，得：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
19．(1)
(2)
【分析】（1）方程组利用加减消元法求解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
②①，得，
把代入①，得，
故原方程组的解为；
（2）解：原方程组整理，得，
①②，得，
解得，
把代入①，得．
故原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
20．(1)冰墩墩毛绒玩具每只进价为元，雪容融毛绒玩具每只进价为元
(2)种
(3)利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，最大利润为元
【分析】（1）根据题意，设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元，根据数量关系列方程解方程即可求解；
（2）计划恰好用元购进玩家，由（1）可知“冰墩墩”毛绒玩具每只进价，“雪容融”毛绒玩具每只进价，设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，根据数量关系即可求解；
（3）根据（2）中的方案，分别计算各自的利润，进行比较，由此即可求解．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元，
由题意得，，解方程组得，，
∴“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元．
（2）解：设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，
由题意得，，
整理得，，
∵、为正整数，
∴或或，
∴专卖店共有种采购方案．
（3）解：当，时，利润为：（元）；
当，时，利润为：（元）；
当，时，利润为：（元）；
∵，
∴利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，最大利润为元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组与销售，利润的综合问题，掌握题意的数量关系列方程，判断最大利润，选择合适的方案是解题的关键．
21．用9平方米铝合金板做圆弧灯罩，用2平方米铝合金板做栅板，恰好配成这种格栅灯具12套．
【分析】设用铝合金板做圆弧灯罩，那么用铝合金板做栅板，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设用铝合金板做圆弧灯罩，那么用铝合金板做栅板．
所以
所以（套）
答：用9平方米铝合金板做圆弧灯罩，用2平方米铝合金板做栅板，恰好配成这种格栅灯具12套．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
22．该公司上半年生产甲型号无人机38架，乙型号无人机16架
【分析】根据二元一次方程组解实际应用题的方法步骤，按照问题设未知数，根据等量关系列式，最后计算即可得出结论
【详解】解：设该公司上半年生产甲型号无人机x架，乙型号无人机y架．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，
答：该公司上半年生产甲型号无人机38架，乙型号无人机16架．
【点睛】本题考查利用二元一次方程组求解实际应用题，根据问题设未知数，找等量关系列方程组是解决问题的关键．
23．
【分析】根据方程组与方程组的解相同可组成方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，最后求的值即可求解．
【详解】解：∵方程组与方程组的解相同，
∴，
解得，
将代入得：
，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，理解题意掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
24．B；；
【分析】（1）对比A，B，可知B的计算量少，更简洁，即可得；
（2）根据所给简便方法两式相加得，两式相减得，则，进行就是即可得；
（3）解二元一次方程组得，根据得，进行计算即可得．
【详解】解：（1）对比A，B，可知B的计算量少，更简洁，故选B；
（2）
①+②得，，
②-①得，，
则，
③+④得，，
把代入③得，，
故方程组的解为；
（3）
①+②得，，
∵，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握题中所给的简便方法．
25．(1)－2，7；
(2)1
【分析】（1）将表中的数据代入中得到二元一次方程组，然后求解即可；
（2）将x=3代入中求解即可．
【详解】（1）解：将x=1、y=5和x=2、y=3代入中，得：，
解得：，
故答案为：－2，7；
（2）解：由（1）知，，
将x=3代入中，得：y=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查二元一次方程的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．
26．报名参加“成人急救班”的教职工有人，报名参加“儿童急救班”的教职工有人
【分析】设报名参加“成人急救班”的教职工有人，报名参加“儿童急救班”的教职工有人，根据报名参加“成人急救班”与“儿童急救班”的人数共人及其中报名参加“成人急救班”的人数比报名参加“儿童急救班”人数的一半还少人，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设报名参加“成人急救班”的教职工有人，报名参加“儿童急救班”的教职工有人，
根据题意得：，
解得：，
答：报名参加“成人急救班”的教职工有人，报名参加“儿童急救班”的教职工有人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
27．(1)5；
(2)1
【分析】（1）①③联立解二元一次方程组即可；
（2）得：，根据得出m的方程，解关于m的方程即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
故答案为：5；．
（2）解：①+②，得，
即，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法和代入消元法，准确计算．
28．(1)
(2)
【分析】（1）利用，可求出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值；
（2）将代入原方程组，可求出，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：
得，，
又，
，
解得：，
的值为；
（2）解：将代入原方程组得：，
整理得：，
．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、整式的加减以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）利用整体思想，找出；（2）将方程组的解代入原方程组，找出．
29．(1)或
(2)
(3)或2
【分析】（1）对x、y分别赋值讨论即可；
（2）用代入法求二元一次方程组的解即可；
（3）用加减消元法求出方程组的解，由题意可得或或，再将满足条件的m的值进行验证即可．
【详解】（1）解：方程 的所有正整数解为：或；
（2）解：，
，即，
将③代入①得，，，
将，代入②得，；
（3）解；，
由得：，得，
将代入①得，，
∵方程组有正整数解，则或或，
或或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
综上所述，m的值为或2．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过讨论求二元一次方程组的正整数解是解题的关键．
30．(1)丽丽所买皮衣的单价是元，毛衣的单价是元
(2)元
【分析】（1）设丽丽所买皮衣的单价是x元，毛衣的单价是y元，根据购买了一件皮衣和一件毛衣，共花去元，已知皮衣单价比毛衣单价的2倍还多元列出方程组求解即可；
（2）用乘以即可得到答案．
【详解】（1）解：设丽丽所买皮衣的单价是x元，毛衣的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：丽丽所买皮衣的单价是元，毛衣的单价是元；
（2）解：元，
答：丽丽可以到线上客服处领取元补贴．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出方程组和式子是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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