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10.7 二元一次方程组综合练习（单元测试提优）
一、选择题（共8小题）
1．把一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，所得的新两位数比原数大9，则符合条件的两位数的个数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．已知关于的二元一次方程组的解是，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．3
3．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个末完成的幻方，则的值是（ ）
A．0 B． C． D．32
5．一张竞赛试卷有25道题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，小明做了全部试题得到70分，则他做对的题有（　　）
A．16道 B．17道 C．18道 D．19道
6．如果|x+y-1|和2（2x+y-3） 互为相反数，那么x,y的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在解关于，的方程组时，小亮解出的结果为老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的抄错了，该方程组的正确结果比大5．”则，的值分别为（ ）
A．4， B．4，2 C．，2 D．，
8．普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（　　）倍．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
二、填空题（共11小题）
9．若方程组，则 ．
10．已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 ．
11．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
12．有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大45．设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组： ．
13．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ．
14．某书店开始销售甲、乙、丙三种书籍，最初这三种书籍的库存总数量大于700本且小于1100本．过了一段时间后，第一次补充了三种书籍，补充后库存总数量比最初时多了280本，且此时甲、乙、丙三种书籍的库存数量之比为．又过了一段时间，第二次补充了三种书籍，补充后库存总数量比第一次补充后多了230本，且此时甲、乙、丙三种书籍的库存数量之比为，则第二次补充后，乙种书籍的库存数量是 本．
15．已知和都是方程的解，则 ， ．
16．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y的值都为自然数的解有3对．其中正确的是 ．（只填序号）
17．方程组中， ．
18．三月初某书店销售A、B两种书籍，销售36本A书籍和25本B书籍收入3495元，销售24本A书籍和30本B书籍收入3330元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际购买了原价或打折的两种书籍，共花费3150元，其中购买的A种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买A种打折书籍 本．
19．小明今年4月份两次同时购进了A、B两种不同单价的水果，第一次购买A种水果的数量比B水果的数量多50%，第二次购买A水果的数量比第一次购买A水果的数量少60%，结果第二次购买水果的总数比第一次购买水果的总数量多20%，第二次购买A、B水果的总费用比第一次购买A、B水果的总费用少10%（A、B两种水果的单价不变），则B水果的单价与A水果的单价的比值是 ．
三、解答题（共12小题）
20．解方程组
(1)；
(2)．
21．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
22．已知，关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求的值．
23．某地为了打造风光地带，将一段长为360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用20天，已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治16米，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．
24．某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品5件与购进乙种商品6件的进价相同．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共80件，所用资金为9000元．甲种商品在进价的基础上提高50%后标价，又以8折优惠售出；乙商品售出后，每件可获利30元，则甲、乙两种商品全部售出后共可获利多少元？
25．方程组的解满足2x－ky＝10（k是常数）．
（1）求k的值；
（2）求出关于x，y的方程(k－1)x＋2y＝13的正整数解．
26．元旦当天，学校准备给老师购买一批围巾和袜子作为节日礼物，已知一条围巾比一仅袜子的标价多22元，买一条围巾的钱可以买6双袜子还剩2元，甲商场给出的节日优惠为：每购买5条围巾，送2双袜子；乙商场给出的节日优惠为：购买围巾超过10条，则袜子打五折．
(1)用二元一次方程组的知识求围巾和袜子的单价；
(2)学校计划购买围巾50条，袜子25双，只选择其中一家商场，你认为学校应该到哪个商场购买更合算？
27．已知是关于 x，y 的二元一次方程组．
(1)求方程组的解（用含 a 的代数式表示）；
(2)若 x - 3y = 10，求 a 的值；
(3)若 x，y 之间（不含 x，y）有且只有一个整数，求 a 的取值范围．
28．为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野，学校书店准备购进甲、乙两类中学生书刊，若购买本甲和本乙共需要元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表：
甲 乙
进价/(元/本)
售价/(元/本)
(1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元；
(2)第二次小卖部购进了本甲和本乙，为了扩大销量，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，乙书刊价格不变，全部售完后总利润为元，求甲书刊打了几折？
29．某书店购进甲、乙两种图书共本，甲、乙两种图书的进价分别为每本10元、30元，甲、乙两种图书的标价分别定为每本15元、40元．
(1)若书店恰好用了元购进这本图书，求购进的甲、乙图书各多少本？
(2)在销售时，该书店考虑到要迅速将图书售完，于是甲图书打8折，乙图书也打折进行促销，为使甲、乙两种图书全部销售完后共获利元,请问乙图书应打几折出售
30．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便．
解：①②得，，所以，③
将③，得，④
②④，得，由③，得，
所以方程组的解是．
(1)解方程组．
(2)猜想：下列关于x、y的方程组的解是什么？
31．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆）
汽车运费（元/辆）
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知他们的总辆数为辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据两位数的表示方法为：十位数字＋个位数字，列出正确的代数式，再利用整式的加减运算法则得出答案．
【详解】解：原数为，则新数为
可知，，且，均为整数，
由题意可知：
∴
∴，，，，，，，，
∴符合条件的两位数的有8个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确表示出两数的值是解题关键．
2．A
【分析】将代入二元一次方程组求出的值，即可解答．
【详解】解：将代入二元一次方程组得，
，
解得：，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟悉二元一次方程组的解法是解题的关键．
3．D
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选D ．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
4．B
【分析】设中间的数为，第三行第1个数字为，根据题意得出，由①得，由②得，得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设中间的数为，第三行第1个数字为，
由①得
由②得
∴，
解得：
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
5．D
【分析】设他共做对了x道题，根据题意列出方程并求解即可．
【详解】设他共做对了x道题，根据题意得，
，
解得，
∴他共做对了道题．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键．
6．C
【分析】根据非负数的性质，判断两个非负数必定都是0，列方程组解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，|x+y-1|和2（2x+y-3）2都是非负数，所以这个数都是0．
7．A
【分析】先由小亮的解求出a的值，并得到关于x，y的一个二元一次方程，再根据老师的话得到关于x，y的另一个二元一次方程，由上面两个方程联立可以得到原二元一次方程组的正确解，把此解代入含有b的二元一次方程可以得到b的值，问题即得解．
【详解】解：由题意可得：-2a+10=2，
∴a=4，
∴4x+5y=2①，
又由老师的话可得x=y+5②，
②代入①可得：4y+20+5y=2，
解得：y=-2，代入②得x=3，
把x=3，y=-2代入bx-7y=8可得：3b+14=8，
解得：b=-2，
∴，的值分别为4、-2，
故选A ．
【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，熟练掌握二元一次方程的有关概念及二元一次方程组的解法是解题关键．
8．A
【分析】设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，利用路程=速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出y=2x，进而可得出城际快车的平均速度是普通火车平均速度的2倍．
【详解】解：设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，
依题意得，
解得：，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
9．##0.6875
【分析】把当成已知数，求出方程组的解，再代入求出即可．
【详解】解：
①+②×5，得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能求出二元一次方程组的解是解此题的关键．
10．
【分析】根据二元一次方程组的解的定义得到，，求出、即可．
【详解】解：方程组可化为，
方程组的解是，
方程组中，，
解得，，
方程组的解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
11．####1.5
【分析】求得原方程组的解，再将方程组的解代入，得到关于的方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：，
①②得：
，
，
①②得：
，
，
原方程组的解为：．
关于，的二元一次方程组的解满足，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
12．
【分析】如果设原两位数的个位数字为，十位数字为，那么原两位数可表示为．此题中的等量关系有：①有一个两位数，它的两个数字之和为可得出方程；②根据“把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大”，可得出方程为．
【详解】解：原两位数可表示为，新两位数表示为．
根据题意得方程组为：．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．本题要注意两位数的表示方法．
13．
【分析】根据九宫图的填法，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，即可得到答案．
【详解】解：设第三行与第二列交点的数为,根据九宫图的填法，
∴，
解得：；
故答案为．
【点睛】本题考查了有理数加减法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键．
14．420
【分析】设书店原有三种书籍共a本，第一次补充后甲、乙、丙三种书籍的库存数量分别为9x本、9x本、8x本，第二次补充后甲、乙、丙三种书籍的库存数量分别为5y本、6y本、9y本，
根据题意得：，再根据x、y、a都是正整数求出答案．
【详解】解：设书店原有三种书籍共a本，第一次补充后甲、乙、丙三种书籍的库存数量分别为9x本、9x本、8x本，第二次补充后甲、乙、丙三种书籍的库存数量分别为5y本、6y本、9y本，
根据题意得：
∵x、y、a都是正整数，
∴解得，
∴第二次补充后，乙种书籍的库存数量是本，
故答案为：420
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，正确设出未知数列得方程组是解题的关键．
15． 5 2
【分析】将方程的解代入方程求解，即可得到答案；
【详解】解：∵和都是方程的解，
∴，解得，
故答案为5，2；
【点睛】本题考查二元一次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值．
16．①②③
【分析】①将代入检验即可做出判断； ②将x和y分别用a表示出来，然后求出x+y=3来判断； ③将a=1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可； ④由x+y=3得到x、y都为自然数的解有4对．
【详解】解：①将代入方程组得：，
由⑤得a=3，由⑥得a=3，故①符合题意．
②解方程，
⑤-⑥得：8y=4-4a 解得：，
将y的值代入⑤得：，
所以x+y=3，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②符合题意．
③将a=1代入方程组得：，
解此方程得：，
将代入方程，
方程左边=3=右边，是方程的解，故③符合题意．
④因为x+y=3，
所以x、y都为自然数的解有 ， ，，．
故④不符合题意．
则符合题意的选项有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，方程组的解为能使方程组中两方程成立的未知数的值．解题的关键是根据条件，求出x、y的表达式．
17．
【分析】利用加减消元法计算即可．
【详解】解：
①+②+③得，，
则，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组是解题的关键．
18．15
【分析】设A种书籍的售价为x元，B种书籍的售价为y元，根据题意列二元一次方程求出x，y的值，设原价购买A种书籍本，打折购买A种书籍本，原价购买B中书籍本，打折购买B种书籍本，根据题意得，整理得到，表示出，由均为正整数得到方程的解，由此得到答案．
【详解】解：设A种书籍的售价为x元，B种书籍的售价为y元，则
，
解得，
设原价购买A种书籍本，打折购买A种书籍本，原价购买B中书籍本，打折购买B种书籍本，则
，
整理得：，
∴，
∴，
得，
∵均为正整数，
∴（舍去）或（舍去）或，
故答案为：15．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的解，正确理解题意，列得方程组或二元一次方程是解题的关键．
19．##0.5
【分析】根据水果数量的等量关系，可设第一次购买B种水果数量为x个，用x分别表示第一次购买A种水果的数量和第二次购买两种水果的数量．再分别设两种水果的单价为a元和b元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方程中x是可以约去的，化简即得到a与b的数量关系．
【详解】解：设第一次购买B种水果数量为x，
∴第一次购买A种水果的数量为：
∴第二次购买A种水果数量为：
∴第二次购买水果的总数量为：，
∴第二次购买B种水果个数为：
设A种水果单价为a元，B种水果单价为b元，依题意得：
化简得：
∴
∴B水果的单价与A水果的单价的比值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次方程的应用，在缺少确切数值的情况下，可先假设等量关系中的关键量为未知数，再列方程化简求值．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）将原方程变形为，再利用加减消元法进行求解即可．
【详解】（1）解：
由得：，解得：，
把代入①中得：，解得：，
故原方程组的解是：．
（2）解：原方程变形为：，
由得：，解得：，
把代入①中得：，解得：，
故原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握与运用．
21．兽有8只，鸟有7只
【分析】设兽有只，鸟有只，根据“今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设兽有只，鸟有只，根据题意得：
，
解得，
答：兽有8只，鸟有7只．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
22．(1)
(2)1
【分析】（1）根据题意列不含、的方程组求解即可；
（2）将（1）求得的方程组的解代入原方程组中含、的方程中求得、的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：（1）∵关于，的二元一次方程组和有相同的解，
∴，解得：，
∴这个相同的解为；
（2）由（1）可得：，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是根据题意重新联立方程组．
23．甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道
【分析】设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道，根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道，
由题意得：，
解得：，
答：甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，设好未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
24．(1)甲种商品每件的进价是120元，乙种商品每件的进价是100元
(2)甲、乙两种商品全部售出后共可获利2100元
【分析】（1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元，由题意：甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品5件与购进乙种商品6件的进价相同，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）可设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据所用资金恰好为9000元的等量关系列出方程可求该商场从厂家购进了甲种商品的件数，乙种商品的件数，即可解决问题．
【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种商品每件的进价是120元，乙种商品每件的进价是100元；
（2）解：设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品件，
依题意得：，
解得：，
则，
∴（元），
答：甲、乙两种商品全部售出后共可获利2100元．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．
25．（1）；（2），
【分析】（1）先求出方程组的解，再代入方程，即可求出k值；
（2）把k的值代入方程得：，再根据x、y都是正整数，得到，由此求解即可．
【详解】解：（1），
把①×2得：③，
用②+③得：，解得，
把代入①，解得，
∴方程组的解为：，
将代入得：，
解得：；
（2）把代入方程得：
，即，
∵x、y都是正整数，
∴，
∴，
当时，；
当时，；
∴关于x，y的方程的正整数解为或．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法．
26．(1)围巾的标价为元，袜子的标价为元
(2)学校应该到甲商场购买更合算
【分析】（1）设围巾的标价为x元，袜子的标价为y元，由题意：一条围巾比一双袜子的标价多22元，买一条围巾的钱可以买6双袜子还剩2元，列二元一次方程组解题即可；
（2）分别求出甲、乙商场购买围巾50条，袜子25双的费用，再进行比较即可．
【详解】（1）解：设围巾的标价为x元，袜子的标价为y元，则
解得：
答：围巾的标价为元，袜子的标价为元．
（2）解：甲商场费用为：(元)
乙商场费用为：(元)
∵
∴学校应该到甲商场购买更合算．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
27．(1)；
(2)a=-2；
(3)-≤a≤且a≠0．
【分析】（1）①+②得到x+y=6③，①-③求得x，②-③求得y；
（2）将方程组的解代入，可求a的值；
（3）分a＞0和a＜0两种情况，根据x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：，
①+②得：3x+3y=18，
∴x+y=6③，
①-③得：x=3-2a，
②-③得：y=3+2a，
∴方程组的解为；
（2）解：∵x-3y=10，
∴3-2a-3（3+2a）=10，
∴a=-2；
（3）解：①当a＞0时，x=3-2a＜3，y=3+2a＞3，
∴，
∴0＜a≤；
②当a＜0时，x=3-2a＞3，y=3+2a＜3，
∴，
∴-≤a＜0；
综上，-≤a≤且a≠0．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，列出不等式组是解题的关键．
28．(1)甲类书刊的进价是元，乙类书刊的进价是元
(2)甲书刊打了八折
【分析】（1）根据“购买本甲和本乙共需要元．”列出方程，即可求解；
（2）先求出两类书刊进价设甲书刊打了折，再根据“全部售完后总利润为元，”列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
所以，
答：甲类书刊的进价是元，乙类书刊的进价是元；
（2）根据题意得：两类书刊进价为元，
设甲书刊打了折，则两类书刊售价为(元)，
根据题意得：，
解得：，
答：甲书刊打了八折．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
29．(1)购进甲图书本，乙图书本
(2)九
【分析】（1）根据数量与总进价列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据总利润列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）设购进甲、乙图书各x本、y本，
∴，
解得：，
∴购进甲图书本，乙图书本．
（2）设乙图书应打a折出售，
，
∴
∴乙图书应打九折出售．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是找到相等关系，列出方程或方程组．
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据题目信息，两个方程相减求出的值，然后再利用加减消元法求解；
（2）根据题目信息以及（1）的结论猜想方程组的解．
【详解】（1）解：，
①②得，，
所以，③，
将③，得④，
②④，得，
把代入③得，，
方程组的解是；
（2）猜想：关于、的方程组的解是．
理由：，
①②得，，
所以，③，
将③，得④，
②④，得，
把代入③得，，
方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，仔细阅读题目信息，理清方程组求解的方法思路是解题的关键．
31．（1）需要甲车8辆，乙车10辆
（2）有三种运送方案：
①甲车型8辆，丙车型8辆；
②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
（3）甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆时，最少运费是7800元.
【分析】（1）设需要甲车辆，乙车辆，根据运费元，总吨数120吨，列出方程组求解即可；
（2）设甲车有辆，乙车有辆，丙车有辆，列出方程组，再根据均为正整数，求出的值，即可求解；
（3）根据三种方案求出运费即可求解；
【详解】（1）设需要甲车辆，乙车辆
由题意可得：
解得：
需要甲车8辆，乙车10辆
（2）设甲车有辆，乙车有辆，丙车有辆
由题意可得：
消去可得：
由于是非负整数，且不大于16，得：
由是非负整数，解得
有三种运送方案：
①甲车型8辆，丙车型8辆；
②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
（3）三种方案得运费分别是：
①；
②；
③.
甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆时，最少运费是7800元.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用问题，根据题意准确的列出方程组是求解本题的关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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