资源简介

9　有理数的乘方
●置疑导入　问题情境：同学们，你们吃过拉面么？你们知道拉面是怎么做出来的吗？
做一做：用准备好的拉面玩具做拉面捏合的练习，作好记录．
捏合次数 1 2 3 4 5 6 … 10 …
面条根数 2 4 8 16 32 64 … 1 024 …
　　【教学与建议】教学：通过生活中“拉面问题”的实例，将实际问题抽象为数学问题的过程．建议：先猜想捏合后的面条根数，再实验证明．讨论如果捏合10次、100次、n次的结果．
●类比导入　
问题1：比如2＋2＋2＋2＋2＝2×(　　)，这么长的式子就变得简单了．
问题2：我们现在学习了乘法，那么2×2×2×2×2＝(　　)？你们打算怎样简化一下呢？
【教学与建议】教学：通过类比的导入方式，使得知识的学习在迁移中更易于学生接受．建议：自主交流，对学生的每个回答都给予积极的评价．
●悬念激趣　珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔是8 844 m．把一张足够大的厚度为0.1 mm的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？
【教学与建议】教学：创设问题情境，激发学生的学习兴趣和主动学习的欲望．建议：现场进行演示，唤起学生的求知欲望，从而引入课题．
*命题角度1　乘方的意义
在an中，a叫做底数，n叫做指数，注意(－a)n与－an底数不同，读法不同．
【例1】关于式子(－5)3，正确的说法是(D)
A.－5是底数，3是幂 B．5是底数，3是幂
C.5是底数，3是指数 D．－5是底数，3是指数
【例2】(－3)5的指数为__5__，底数为__－3__；－35的指数为__5__，底数为__3__．
*命题角度2　有理数的乘方运算
理解an就是求n个相同因数a的积的运算，利用有理数的乘法运算计算有理数的乘方．
【例3】下列运算中，正确的是(D)
A.－23＝4　　B．－(－2)2＝4　　C．32＝6　　D．(－3)3＝－27
【例4】计算：
(1)(－3)4；(2)－34；(3)－(－)3；(4).
解：(1)原式＝(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝81；(2)原式＝－3×3×3×3＝－81；(3)原式＝－(－)＝；(4)原式＝()3＝.
*命题角度3　与有理数乘方相关的规律探究
0，1，5，6的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身；2的正整数次幂的个位数字是按2，4，8，6四个数字循环的；3的正整数次幂的个位数字是按3，9，7，1四个数字循环的；7的正整数次幂的个位数字是按7，9，3，1四个数字循环的；8的正整数次幂的个位数字是按8，4，2，6四个数字循环的；9的正整数次幂的个位数字是按9，1两个数字循环的．
【例5】根据下列等式：
1＝12；
1＋3＝22；
1＋3＋5＝32；
1＋3＋5＋7＝42；
……
可以归纳出一个含有自然数n的等式，你所归纳出的等式是__1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2__.
【例6】试验，观察，找规律：
计算：31＝__3__；32＝__9__；33＝__27__；34＝__81__；
35＝__243__；36＝__729__；37＝__2__187__；38＝__6__561__.
由此推测32 023的个位数字是__7__.
*命题角度4　乘方在实际中的应用
利用有理数乘方解决实际问题：(1)发现规律，以幂的形式表示出来；(2)结合问题进行有关运算．
【例7】13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装有7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为(C)
A.42 B．49 C．76 D．77
【例8】当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个．
(1)一个细菌在分裂4次后，数量变为________个；
(2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12 min分裂一次，如果现在盘子里有1 000个这样的细菌，那么1 h后，盘子里有多少个这样的细菌？
解：(1)一个细菌在分裂1次后，数量变为2＝21个，分裂2次后，数量变为2×2＝22个；分裂3次后，数量变为2×2×2＝23个，所以一个细菌在分裂4次后，数量变为24个，故答案为：24；
(2)因为细菌在1 h内分裂＝5次，所以1 h后，盘子里的细菌个数为1 000×25＝32 000(个).
高效课堂　教学设计
1．理解有理数乘方的意义，能正确进行有理数乘方的运算．
2．掌握乘方运算的符号法则．
正确理解乘方的意义，掌握运算方法．
有理数乘方运算的符号的确定过程．
活动一：创设情境　导入新课
贝贝同学说：“珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度约是8 844 m．如果有一张足够大且厚度为0.1 mm的纸，那么连续对折30次(理想状态下)的厚度能超过珠穆朗玛峰．”皮皮疑惑地说：“这不可能吧，一张纸能折那么高吗？”通过下面的学习，相信你一定能解开皮皮的困惑！
活动二：实验探究　交流新知
【探究】乘方的定义
1个细胞30 min后分裂成2个，1 h后分裂成2×2个，h后分裂成2×2×2个……5 h后要分裂10次，分裂成2×2×…×2×2,\s\do4(10个2)).为了简便，可将2×2×…×2×2,\s\do4(10个2))表示成什么？
【归纳】刚才的式子中所求的因数都相同．求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．a叫做底数，n叫做指数，an读作“a的n次幂”或a的n次方．
活动三：开放训练　应用举例
【例1】计算：(1)53；(2)(－3)4；(3).
解：(1)53＝5×5×5＝125；(2)(－3)4＝(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝81；(3)＝××＝－.
【方法指导】利用有理数和乘法运算来进行有理数乘方的运算．
【例2】计算：
(1)－(－2)3；(2)－24；(3)－.
解：(1)－(－2)3＝－[(－2)×(－2)×(－2)]＝－(－8)＝8；
(2)－24＝－(2×2×2×2)＝－16；
(3)－＝－＝－.
【方法指导】根据乘方的意义把乘方运算转化为乘法运算，再按乘法的计算法则进行计算．
【例3】计算：
(1)102，103，104，105；(2)(－10)2，(－10)3，(－10)4，(－10)5.
解：(1)102＝100，103＝1 000，104＝10 000，105＝100 000；(2)(－10)2＝100，(－10)3＝－1 000，(－10)4＝10 000，(－10)5＝－100 000.
根据结果你有什么发现：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
注意：0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1；－1的偶次幂为1，奇次幂为－1.
【方法指导】学生通过观察、计算，与同伴交流，教师引导进行归纳．
活动四：随堂练习
1．(1)在84中，底数是__8__，指数是__4__；
(2)在中，底数是__－__，指数是__3__．
2．计算：
(1)(－3)2；　　　　　　　
解：原式＝9;
(2)(－1.5)2；
解：原式＝2.25；
(3)；
解：原式＝－；
(4)－(－3)3.
解：原式＝27.
3．计算：
(1)－；
解：原式＝－；
(2)－；
解：原式＝－；
(3)－43;
解：原式＝－64;
(4)－.
解：原式＝－.
4．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏在一起拉伸，再捏合，再拉伸…反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根很细的面条，每捏合一次，拉面的根数就增加一倍，如图：
(1)第五次捏合后拉成的面条是多少根？
(2)捏合到第几次后可拉成128根面条？
解：(1)25＝32(根)；
(2)7次．
活动五：课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？
教学说明：教师引导学生回顾乘方的意义及运算，加深对乘方的意义的理解，熟练掌握乘方的运算．
作业：课本P59习题2.13中的T1、T2、T4
本节课从学生认识乘方的意义，到运用乘方的意义把乘方运算转化为乘法运算，培养学生动手、动脑习惯，提高学生的运算能力．对于有理数乘方的符号法则，学生还需进一步掌握．

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