资源简介

1.1 锐角的三角函数
第1课时 正切与坡度
教学内容 第1课时 正切与坡度 课时 1
核心素养目标 理解正切的定义以及与现实生活的联系，能够用tan A表示直角三角形中两. 边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算； 经历操作、观察、思考、求解等探索直角三角形中边角关系的过程，渗透 函数思想与数形结合思想，培养理性思维习惯； 3.培养多角度思考问题和提出问题的能力以及合作意识与创新精神.
知识目标 1．理解正切的意义，并能举例说明； 2．能够根据正切的概念进行简单的计算； 3．能运用正切、坡度解决问题．
教学重点 1．理解正切的意义，并能举例说明； 2．能够根据正切的概念进行简单的计算；
教学难点 能运用正切、坡度解决问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 创设情境，导入新知 思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？ 小组合作，探究概念和性质 知识点一：正切的定义 梯子是我们日常生活中常见的物体. 从梯子的顶端 A 到墙角C 的距离，称为梯子的铅直高度. 从梯子的底端 B 到墙角 C 的距离，称为梯子的水平宽度. 梯子与地面的夹角∠ABC 称为倾斜角. 问题1 ：在图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 预设： 倾斜角越大——梯子越陡 思考：如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？ 预设： 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 问题2 ：在下图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 倾斜角越大，梯子越陡. 总结：铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度. 师生活动：同学们大胆讨论、交流，发表自己的见解。 想一想 如图，小明想通过测量 B1C1 及 AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量 B2C2 及 AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？ （1）Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系？ 如果改变 B2 在梯子上的位置.(如 B3C3 )呢？ 师生活动：学生思考片刻，举手回答问题. 预设：（1）两个直角三角形相似 （2）相等 （3）相似三角形的对应边成比例 议一议 在图中，梯子的倾斜程度与 tanA 有关系吗？ 在 Rt△ABC 中，如果锐角 A 确定，那么 ∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作 tanA，即 结论：tanA 的值越大，梯子越陡. ① tanA 是在直角三角形中定义的，∠A 是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）. ② tanA 是一个完整的符号，表示∠A 的正切，习惯省去“∠”号（注意 tanA 不表示 tan 乘以A ）. ③ tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比. ④ tanA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关. ⑤ 角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等. 典例精析 例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 提示：在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 对板演的内容进行评价纠错。 预设： 知识点二：坡度、坡角 正切通常也用来描述山坡的坡度. 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 坡角：坡面与水平面的夹角 α 称为坡角； 坡度(坡比)：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度 (或坡比)，即坡度等于坡角的正切. 例如，有一山坡在水平方向上每前进 100 m 就升高 60 m ，那么山坡的坡度(即 tanα )就是： 例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高 BC＝2 米，则斜坡 AB 的长是(　　)米. 方法总结：理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键． 当堂练习，巩固所学 1. 如图，在 Rt△ABC 中，锐角A的对边和邻边同时扩大 100 倍，tanA 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 2. 完成下列填空： (1) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AC = 12，tanA = ( ). (2) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AB = 13，tanA= ( ),tanB = ( ). (3) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，tanA = ，AC = ( ). 3. 在等腰 △ABC 中，AB = AC = 13， BC = 10 ，求tanB. 设计意图： 引入生活问题情境，使学生对 “山的倾斜程度”有初步的了解。激发学生的求知欲望，调动学生的积极性，把生活中的问题转化为数学问题. 设计意图： 借助对具体事物——梯子的顶端和底端到墙角的距离的具体描述，使学生从感性到理性等角度来刻画这一现象. 设计意图：利用直观，可使学生比较容易地认识到梯子与地面所成的角度越大，梯子越陡，角度越小，梯子越缓； 当梯子的顶端与地面距离（梯子的垂直高度）一定时，梯子底部离墙距离（梯子的水平宽度）越小，梯子越陡，距离越远，梯子越缓； 设计意图：利用直观不易判断，使学生产生认知冲突；启发学生联系（1）的结论，探究出可以通过梯子的垂直高度与水平宽度的比值来判断梯子的陡或缓；将判断梯子的陡或缓的问题转化为计算比值，也就时由“看”转化为“算”即学生的思维由感性上升到理性。 使学生初步感受到角度与比值之间具有某种关系. 设计意图：学生会用“算”来判断梯子的“陡”或“缓”,问题深入，为学生形成概念准备. 设计意图：正切概念的定义与分析，并使学生明确到三角函数定义方式的特殊性。 设计意图：让学生运用新知识能解决与直角三角形有关的实际问题，并将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。学生能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算. 设计意图：使学生知道正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等．培养学生用数学眼光认识世界，用数学方法解决实际问题。 设计意图：让学生运用新知识解决与直角三角形有关的实际问题，并进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法，加深学生对正切的理解，正切的前提是必须在直角三角形中. 设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
板书设计 正切与坡度 1．正切的概念 在直角三角形ABC中，tanA＝. 2．坡度的概念 坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，也就是坡角的正切值．
课后小结
教学反思 在教学中，要注重对学生进行数学学习方法的指导．在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解和掌握基本概念、基础知识

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