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1.5　有理数的乘方
1．5.1　乘方
第1课时　有理数的乘方
●置疑导入　同学们，你们吃过拉面吗？你们知道拉面是怎么做出来的吗？
做一做：用准备好的拉面玩具做拉面捏合的练习，作好记录．
次数 1 2 3 4 5 6 … 10 …
面条根数 2 4 8 16 32 64 … 1 024 …
　　【教学与建议】教学：通过生活中“拉面问题”的实例，问题：如果捏合100次、1 000次、n次，面条根数是多少？将实际问题抽象为数学问题的过程．建议：先让学生口答捏合后的面条根数，然后再让学生猜想回答第四次、第五次捏合后的根数．
●类比导入　
问题1：比如2＋2＋2＋2＋2＋2＝2×(　6　)，2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝2×(　10　)，2＋2＋…＋2,\s\do4(n个2))＝2×n.
问题2：2×2＝(　22　)，2×2×2＝(　23　)，2×2×2×2＝(　24　)，2×2×2×…×2,\s\do4(n个2))＝(　2n　).
问题3：我们在小学学过边长为a的正方形的面积是a·a＝a2，棱长为a的正方体的体积是a·a·a＝a3，则a×a×a×…a,\s\do4(n个a))＝(　an　).
【教学与建议】教学：通过类比的导入方式，使得知识的学习在迁移中便于让学生接受．建议：让学生自主交流，对学生的每个回答给予积极的评价．
●悬念激趣　导语：同学们，我们生活中有很多事件都蕴含了数学的知识，那么你知道下面这个事件所涉及的数学知识吗？
古希腊数学家阿基米德与国王下棋，国王输了，问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一颗麦子，在第二个格子中放进前一个格子的两倍，每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的两倍，一直将棋盘每一个格子摆满．”国王觉得很容易就可以满足他的要求，于是就同意了．但很快国王就发现，即使将国库所有的粮食都给他也不够．你们知道这是为什么吗？
【教学与建议】教学：通过趣味数学创设问题情境，吸引学生的注意力．建议：教师可以现场进行演示，唤起学生的求知欲望，从而引入课题．
*命题角度1　理解乘方的意义
n个相同因数a相乘的结果记作an，a叫做底数，n叫做指数．
【例1】(－4)6表示的意义是(D)
A．6个－4相加的积 B．－4乘6的积
C．4个－6相乘的积 D．6个－4相乘的积
【例2】把×××写成乘方的形式为____，读作“__五分之二的四次幂__”．
*命题角度2　有理数的乘方运算
理解an就是n个a相乘，根据有理数的乘法运算来计算有理数的乘方．
【例3】下列运算正确的是(B)
A．－24＝16 B．－(－2)2＝－4
C．＝－1 D．(－2)3＝8
【例4】计算：(1)(－6)3；(2)－63；(3)－；(4).
解：(1)－216；(2)－216；(3)－；(4).
*命题角度3　乘方在实际中的应用
利用有理数的乘方解决实际问题：(1)从特殊到一般，以幂的形式将结果表示出来；(2)结合问题进行有关运算．
【例5】13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头毛驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为(C)
A．42只 B．49只 C．76只 D．77只
【例6】1 m长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第6次后剩下的小棒长____m.
*命题角度4　用计算器计算有理数的乘方
用计算器上的数字键按题意的顺序计算．
【例7】用计算器计算：
(1)185；(2)(－1.8)6.
解：(1)原式＝1 889 568；(2)原式＝34.012 224.
*命题角度5　有理数乘方的正负性
任何一个有理数的偶次方都是非负数．若两个非负数的和为零，则每个数都为零．
【例8】若a为有理数，则下列各式总能成立的是(A)
A．(－a)2＝a2 B．－a2＝(－a)2
C．(－a)3＝a3 D．|－a3|＝a3
【例9】已知|a＋3|和(b－2)2互为相反数，那么ab＝__9__．
高效课堂　教学设计
1．理解有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系，会进行乘方的运算．
2．在生动的情境中让学生获得有理数乘方的初步经验；培养学生观察、分析、归纳、概括的能力；经历从乘法到乘方的推广过程，从中感受化归的数学思想.
▲重点
乘方的相关概念及运算方法．
▲难点
理解有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系．
◆活动1　新课导入
1．长为2的正方形，它的面积是多少？
解：2×2＝4.
2．边长为l的正方体，它的体积是多少？
解：l×l×l＝l3.
◆活动2　探究新知
1．教材P41　内容．
提出问题：
(1)2个2相乘记作22，3个2相乘记作23，n个2相乘记作多少？
(2)引入负数后，4个－2相乘记作多少？－24和(－2)4一样吗？为什么？
(3)求n个相同因数的积的运算，叫做什么？它们的结果又叫做什么？
(4)在an中，a和n分别叫做什么？
(5)填表：
乘方 65 (－5)4 －22
底数 6 －5 － 2
指数 5 4 3 2
　　学生完成并交流展示．
2．教材P42　思考．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．一般地，n个相同的因数a相乘，即记作__an__，读作__“a的n次方”__，其中a叫做__底数__，n叫做__指数__．求n个相同因数的__积__的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做__幂__．
2．负数的奇次幂是__负数__，负数的偶次幂是__正数__．正数的任何次幂都是__正数__，0的任何正整数次幂都是__0__．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P42　例1.
例2　教材P42　例2.
例3　算式×××可表示为(A)
A． B．×4
C．－ D．以上答案都不对
例4　计算：
(1)－；
解：原式＝－；
(2)－24×(－2)2；
解：原式＝－64；
(3)－42×(－4)2;
解：原式＝－256;
(4)×；
解：原式＝－；
(5)×÷(－1)3;
解：原式＝－1;
(6)－14×(－2)5×.
解：原式＝.
练习
1．教材P42～43　练习第1，2，3题．
2．关于－74的说法正确的是(C)
　A．底数是－7 B．表示4个－7相乘
　C．表示4个7相乘的相反数 D．表示7个－4相乘
3．下列各组数中，相等的一组是(C)
　A．23与32 B．23与(－2)3 C．32与(－3)2 D．－23与－33
4．(1)平方等于本身的数是__0或1__，立方等于本身的数是__0或±1__；
(2)平方等于64的数是__±8__，立方等于－64的数是__－4__；
(3)定义一种新的运算a&b＝ab，如2&3＝23＝8，那么(3&2)&2＝__81__．
◆活动5　课堂小结
1．乘方的概念．
2．乘方的运算及应用．
1．作业布置
(1)教材P47　习题1.5第1，2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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