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7　二次根式
第1课时　二次根式及化简
●情景导入　
如图是某地为“迎十一，庆国庆”摆放的美丽图案．
解决下面的问题：
(1)正方形喷泉池的面积为40 m2，则它的边长为____m.
(2)圆形花坛的面积为S，则它的半径是____．
问题：这两个式子有什么共同特征？
【教学与建议】教学：通过“国庆节”图案，吸引学生的学习兴趣，提高学生的注意力．建议：学生独立完成，写出两个答案，然后与同伴交流．
●归纳导入　前面我们学习了勾股定理和平方根等内容，请利用所学知识回答下列问题：(多媒体出示问题)
填空：
(1)11的算术平方根是____．
(2)面积为a(a>0)的正方形的边长是____．
(3)直角三角形的两直角边长分别是1和2，则斜边长是____．
上述式子有什么共同特征？
【归纳】一般地，形如(a≥0)的式子叫__二次根式__，其中“”称为__二次根号__，a是__被开方数__．
【教学与建议】教学：利用学生已学过的算术平方根，结合正方形的边长、直角三角形边的长度等实际问题给出二次根式的例子，归纳二次根式的定义．建议：先口答完成，再小组讨论什么是二次根式．
命题角度1　二次根式有意义的条件
二次根式中被开方数大于或等于0.
【例1】(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是(D)
A．x≤－6 B．x≥－6 C．x≤6 D．x≥6
(2)式子＝成立的条件是__x＞1__．
命题角度2　利用二次根式进行化简
当被开方数是分数时，一般要把它的分子、分母扩大相同的倍数，将它的分母化为一个平方数，从而通过开平方化简为一个有理数，而分子也要化成最简二次根式的形式．
【例2】(1)下列运算错误的是(B)
A．＝＝＝
B．＝－＝5－4＝1
C．＝×＝3×2＝6
D．＝＝2
(2)化简：①＝__2__；②＝__2__；③＝____；④＝____．
命题角度3　二次根式的非负性
利用二次根式的非负性求解问题时，当出现x≥a，x≤a的情况时，只有取“＝”才使得x成立．
【例3】(1)已知实数y＝＋＋2，则xy＝__6__．
(2)△ABC的三边长为a，b，c，其中a和b满足b2－4b＋4＋＝0，则c的取值范围是__3＜c＜7__．
命题角度4　运用数形结合思想化简二次根式
解决二次根式的化简问题，首先根据数轴上的点的位置确定各字母的取值范围，再利用二次根式的性质化简．
【例4】(1)实数a，b在数轴上的位置如图，化简＋－的结果是(A)
A．－2 B．0 C．－2a D．2b
　　　
(2)实数a在数轴上的对应点的位置如图，化简＋a＝__1__．
高效课堂　教学设计
1．认识二次根式和最简二次根式．
2．会用公式＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b>0)进行二次根式的化简运算．
▲重点
正确判断最简二次根式．
▲难点
利用二次根式的性质化简二次根式．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
观察下列代数式：
，，，，(其中b＝24，c＝25)，这些式子有什么共同特征？
特征：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负数．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】二次根式概念的探究
像这样的式子就是我们本节课要学习的二次根式(板书课题)．首先我们认识一下什么叫二次根式．(给出概念)
二次根式的概念：一般地，形如(a≥0)的式子叫做__二次根式__，a叫做__被开方数__．
请同学们结合二次根式的概念回答下面的问题：
问题1：你认为一个式子是二次根式应满足几个条件？
问题2：下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
，，，(x>0)，，4，－，，(x≥0，y≥0).
二次根式有__，(x>0)，，4，－，(x≥0，y≥0)__．
问题3：当二次根式在实数范围内有意义，则x≥____，其中x的最小整数值是__1__．
问题4：当a≥0时，的结果一定是__非负__数．
【探究2】(多媒体出示)计算下列各题，你发现了什么规律？
(1)计算下列各式，你能得到哪些猜想？
＝__6__，×＝__6__；
＝__20__，×＝__20__．
(2)＝____，×＝____．你又会产生怎样的猜想？
问题1：你能用字母表示这个规律吗？
问题2：你能用语言描述这个结论的意义吗？
【归纳】＝·(a≥0，b≥0).
【探究3】(多媒体出示)计算下列各式，你又发现了什么规律？
＝____；＝____；＝____；＝____．
【归纳】＝(a≥0，b>0).
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P42例1
【方法指导】一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．
解：(1)＝×＝9×8＝72；
(2)＝×＝5；
(3)＝＝.
【例2】教材P42例2
【方法指导】化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．
解：(1)＝＝×＝5；
(2)＝＝＝；
(3)＝＝.
◆活动4　随堂练习
1．下列二次根式中，最简二次根式有(B)
①；②；③；④；⑤5；⑥；⑦.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是(A)
A．x≥5 B．x≤5 C．x>5 D．x<5
3．下列式子中，属于最简二次根式的是(B)
A． B． C． D．
4.的倒数是____．
5．化简：
(1)； 　　　 (2)；
解：原式＝3； 　　　　解：原式＝；
(3)； 　　　　
解：原式＝×
＝156；
(4).
解：原式＝
＝.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的收获是什么？
教学说明：会正确判断最简二次根式，并会化简二次根式．
作业：课本P42随堂练习，P43习题2.9中的T1、T2、T4.
本节课让学生理解二次根式和最简二次根式的概念，领悟二次根式的性质，明确性质的应用，知道如何化简二次根式．教师要教会学生化简的方法．培养他们的合作精神和探索能力，也让他们获得成功的体验．在教学时加强了师生互动的教学环节，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体性，促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习．

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