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第3课时　二次根式的综合运算
●归纳导入　解决下面的问题：
问题1：最简二次根式的概念是什么？
问题2：二次根式化简过程中，你有哪些体会？
【归纳】对于二次根式的乘除运算可借助公式及运算律，而二次根式的加减运算需要将二次根式化为最简二次根式，将被开方数相同的二次根式合并后再计算，有理数的运算法则和运算律在二次根式的混合运算中同样适用．
【教学与建议】教学：在巩固旧知识的同时，导入新课，为新课的学习做好铺垫．建议：让学生独立思考，小组讨论，并选代表在全班交流．
●复习导入　(1)什么是最简二次根式？
(2)二次根式的乘除法运算法则是什么？
·＝____(a≥0，b≥0)；＝____(a≥0，b>0).
(3)化简：①；②；③；④；⑤；⑥.
根号里面的数有一部分移到了根号外面，进一步思考：什么数能往外移呢？它们又具备什么条件呢？
【教学与建议】教学：通过复习之前学过的知识，直接引入本节课的主题内容．建议：采用分组讨论或者是师生问答互动的方式进行，同时还要针对学生在问题探究过程中所出现的问题进行分析讨论，并强调实数的运算法则与有理数的运算法则是相同的．
命题角度1　二次根式的混合运算
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的，计算结果化成最简二次根式．
【例1】(1)计算×＋的结果是(B)
A． B．5 C．5 D．6
(2)计算×(＋)的结果是__2__．
命题角度2　二次根式的应用
解答有关长方形、圆形面积问题时，首先应弄清楚涉及的图形的面积公式，列出算式，进行化简计算．
【例2】在一个边长为(6＋5)cm的正方形内部挖去一个边长为(6－5)cm的正方形，求剩余部分的面积．
解：由题意，S＝(6＋5)2－(6－5)2＝600，
∴剩余部分的面积为600 cm2.
命题角度3　分母有理化
在进行二次根式除法运算时，先将其转化为“分数”的形式，计算结果是最简二次根式．
【例3】(1)计算(5＋－6)÷的值是(A)
A．4 B．－4 C．2 D．－2
(2)若a＝－1－，b＝，则a与b的关系是(D)
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．互为负倒数
命题角度4　二次根式化简求值
利用二次根式的运算性质和运算顺序，结合运算律先化简，再代入字母求值.
【例4】(1)先化简，再求值：(a－)(a＋)－a(a－6)，其中a＝＋.
解：原式＝a2－3－a2＋6a＝6a－3.
将a＝＋代入，得6a－3＝6(＋)－3＝6.
(2)已知x－y＝，求代数式(x＋1)2－2x＋y(y－2x)的值．
解：原式＝x2＋2x＋1－2x＋y2－2xy＝(x－y)2＋1.
将x－y＝代入，得原式＝()2＋1＝4.
高效课堂　教学设计
1．学会二次根式的混合运算，并能熟练地进行二次根式的运算．
2．在多解中比较，寻找最快捷的计算方法．
▲重点
混合运算的法则，运算律的合理使用．
▲难点
灵活运用公式或运算律以及约分等技巧，使计算简便．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
问题情境：已知长方形的长是5＋2，宽是，求它的面积．
通过本节课的学习，我们就会容易解决这个问题．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】计算这个长方形的面积
问题1：长方形的面积公式是什么？
问题2：怎样求这个长方形的面积．
学生交流：长方形的面积＝长×宽，这个长方形的面积是(5＋2)×.
【探究2】怎样计算比较简单
学生交流：利用乘法分配律计算，最后化简成最简二次根式．
展示算法：(5＋2)×
解：原式＝__5__×____＋__2__×____……乘法的分配律
＝__5__＋__2__……二次根式的乘法计算
＝__10__＋__6__……结果化简成最简二次根式
【归纳】计算中灵活运用公式或运算律等技巧，使计算简便．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P46例6
【方法指导】如果二次根式的运算中，二次根式化简后的被开方数不相同，结果可以保留原来的形式．
解：(1)原式＝____－____＝____；
(2)原式＝__3__－__2__＋____＝____；
(3)原式＝__2__－____＝____；
(4)原式＝____＋－__3__＝__－__＋____．
【例2】计算：(1)＋3－－；(2)－－a2＋(a>0，b>0).
【方法指导】(1)二次根式混合运算的运算顺序是：先乘除后加减；(2)整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用；(3)二次根式的运算结果能化简的必须化简．
解：(1)原式＝__2__＋____－____－____＝____－__2__；
(2)原式＝__a__－__b__－__a__＋____＝__(1－b)__．
【例3】在计算×2－÷的值时，小明的解法如下：
解：原式＝2－……①
＝2－……②
＝(2－1)……③
＝……④
(1)老师认为小明的解法有误，请你指出小明是从第__③__步开始出错的；
(2)请写出正确解题过程．
解：原式＝2－
＝2－
＝6－2
＝4.
◆活动4　随堂练习
1．下列运算正确的是(C)
A．＋＝ B．＝2
C．·＝ D．÷＝1
2．计算：
(1)(2－3)÷；
解：原式＝(8－18)÷
＝4－6；
(2)(2＋3)(－2＋3)；
解：原式＝(3＋2)(3－2)
＝(3)2－(2)2
＝9y－4x；
(3)×.
解：原式＝×
＝9.
3．化简·，其中a＝3，b＝2.你是怎么计算的？与同伴交流.
解：方法一：先化简，再求值．
原式＝·－·
＝－b.
∵a＝3，b＝2，∴原式＝－2.
方法二：直接代入求值．
∵a＝3，b＝2，
∴原式＝·
＝－2.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：1.进行二次根式的混合运算，应注意哪些问题？
2．通过本节课的学习，你的收获是什么？
教学说明：让学生自主完成课后作业，诊断二次根式综合运算掌握情况．
作业：课本P47随堂练习，P48习题2.11中的T1、T3.
本节课主要学习二次根式的混合运算，通过练习，使学生掌握计算方法和运算技巧，能够灵活运用．习题可以分层次布置，以满足不同层次的学生的需要.

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