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2　一次函数与正比例函数
●置疑导入　问题：某登山队大本营所在地的气温是5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃，登山队队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃，试用表达式表示y与x间的关系．
在教师指导下，由学生讨论回答：每升高1 km气温下降6 ℃，那么升高x km，气温下降6x ℃，因此所在位置的气温为5－6x，即y＝－6x＋5.
自变量是x，右边是自变量的一次式，像这样的函数就是我们今天所要学的一次函数．
【教学与建议】教学：采用学生熟悉的情景，既能让学生感受生活中的数学，又引出新知识．建议：分小组讨论，列出y与x之间的函数关系式，探究一次函数概念．
●复习导入　活动内容：复习上节课学习的函数，教师提出问题：
问题1：什么是函数？
问题2：函数有哪些表示方式？
问题3：假设你在从家去学校的过程中，以20 km/h的速度行驶，行驶的时间和行驶的路程有什么关系？能不能再举出类似的例子？
【教学与建议】教学：采用“复习旧知识，引出新内容”的引入方法，提高学生的应用意识．建议：问题1和问题2让学生独立思考．
命题角度1　判断一个函数是不是一次函数
在一次函数y＝kx＋b中，k，b为常数，k≠0，自变量的次数为1.
【例1】(1)下列函数中，y是x的一次函数的是(C)
A．y＝x2＋2x B．y＝－
C．y＝x D．y＝＋1
(2)有下列函数：①y＝x；②y＝；③y＝；④y＝2x＋1.其中是一次函数的是__①②④__．
命题角度2　根据一次函数的概念求未知字母的值
一次函数关系式中自变量的系数k≠0，自变量的次数为1.
【例2】(1)对于函数y＝(k－3)x＋k＋3，当k＝__－3__时，y是x的正比例函数，当k≠__3__时，y是x的一次函数．
(2)已知关于x的函数y＝(m＋1)x2－|m|＋n＋1是一次函数，则m＝__1__，n为任意实数．
命题角度3　根据实际问题列一次函数关系式
列一次函数关系式，首先要找出两个变量，并判断哪个是自变量，再按照题意写出两个变量间的关系式，并求出自变量的取值范围．
【例3】如图，正方形ABCD的边长为2，M是CD边上的动点(不与点C，D重合)，设CM＝x，四边形ABCM的面积为y，则y与x之间的函数表达式是__y＝x＋2__，自变量的取值范围是__0＜x＜2__．
高效课堂　教学设计
1．理解一次函数和正比例函数的概念．
2．能够根据条件写出简单的一次函数表达式．
▲重点
理解一次函数和正比例函数的概念．
▲难点
一次函数知识的运用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
(多媒体出示)
问题：某登山队大本营所在地的气温是5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃，登山队队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃，试用表达式表示y与x间的关系．
在教师指导下，由学生讨论回答：每升高1 km气温下降6 ℃，那么升高x km，气温下降6x ℃，因此所在位置的气温为5－6x，即y＝－6x＋5.
自变量是x，右边是自变量的一次式，像这样的函数就是我们今天所要学的一次函数.
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究】
1．某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5kg时弹簧的长度，并填入下表：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5
　　(2)你能写出y与x之间的关系式吗？__y＝0.5x＋3__．
2．某辆汽车油箱原有汽油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L.
(1)完成下表：
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L 0 6 12 18 24 36
　　(2)耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的函数关系式是__y＝x__；
(3)油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的函数关系式是__z＝60－x__；
(4)汽车行驶的路程x可以无限增大吗？有没有一个取值范围？剩余油量z呢？
【归纳】若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P79例1
【方法指导】理解并运用一次函数和正比例函数．
解：(1)由路程＝速度×__时间__，得y＝__60x__，y__是__x的一次函数，也__是__x的正比例函数；
(2)由圆的面积公式，得y＝__πx2__，y__不是__x的正比例函数，也__不是__x的一次函数；
(3)这个水池每时增加5 m3水，x h增加__5x__m3水，因而y＝15＋__5x__，y__是__x的一次函数，但__不是__x的正比例函数．
【例2】教材P80例2
【方法指导】求一次函数的值．
解：(1)当月收入超过3 500元而又不超过5 000元时，y＝0.03×(x－3 500)，即y＝0.03x－105；
(2)当x＝4 160时，y＝0.03×4 160－105＝19.8(元)；
(3)设此人本月工资、薪金收入是x元，则19.2＝0.03x－105.解得x＝4 140.即此人本月工资、薪金收入是4 140元．
◆活动4　随堂练习
1．有下列函数：(1)y＝；(2)y＝x＋5；(3)y＝－3x；(4)y＝3x2－4x；(5)y＝50－0.23x；(6)y＝.其中是正比例函数的有__(3)(6)__，是一次函数的有__(2)(3)(5)(6)__．(填序号)
2．已知函数y＝(m－1)x＋m＋2，当m__≠1__时，它是一次函数；当m＝__－2__时，它是正比例函数．
3．当k＝__1__时，y＝(k＋1)xk2＋k是y关于x的一次函数．
4．已知等腰三角形的周长为15 cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm，写出y与x之间的函数关系式．
解：y＝15－2x.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习你有什么收获？
教学说明：学生对本节课所学知识进行梳理，养成反思与总结的习惯．
作业：课本P80中的随堂练习，P82习题4.2中的T1、T2、T3，T4.
本节课从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发，再通过对一般规律的探索、总结、归纳的过程，最后从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念．教师在教学上恰当地设疑立障，引导学生大胆猜想，勇于探索，鼓励学生积极思考，总结出一次函数的定义，能很好地提高学生提出问题、分析问题、解决问题、总结归纳的能力．

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