资源简介

4　应用二元一次方程组——增收节支
●情景导入　下面是两名养鱼专业户的对话，请你认真阅读并帮他们算一算，谁获得的利润大？
其实在实际中情况远比这两个专业户说得复杂得多，因此为了更好地解决这类问题，就让我们一起来探究一下如何利用二元一次方程组解决增收节支的问题．
【教学与建议】教学：利用同学们熟悉的生活中的经济问题去激发学生学习本节课的兴趣，导入课题．建议：明确本节内容的作用及重要性，从而激发学生的学习热情．
●归纳导入　填一填(演示幻灯片)
(1)某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了15%，则今年的总产值是__(1＋15%)x__万元；
(2)若该厂去年的总支出是y万元，今年的总支出比去年减少了8%，则今年的总支出是__(1－8%)x__万元；
(3)若该厂今年的利润为480万元，则由(1)(2)可得方程__(1＋15%)x－(1－8%)x＝480__．
【教学与建议】教学：学生通过回顾收入、支出、利润三者之间的关系，为新课的学习做好铺垫．建议：让学生思考，独立完成．
命题角度1　列方程组解百分率问题
列方程组解应用题，要分析题目中的已知量、未知量各是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的等量关系，有时也借助图表分析，这样更加直观、简便．
【例1】(1)某单位购买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水桶数的75%，设买甲种水x桶，乙种水y桶，则所列方程组中正确的是(A)
A． B．
C． D．
(2)某校去年有学生1 000名，今年比去年增加4.4%，其中寄宿学生增加了6%，走读学生减少了2%.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名？设去年有寄宿学生x名，走读学生y名，则可列方程组为____．
命题角度2　列方程组解增收节支问题
要理解清楚增收节支中有关概念：成本、标价、售价、收入支出利润等，主要应用的数量关系式是利润＝售价－成本，或利润＝收入－支出．
【例2】(1)某公司用30 000元购进两种货物，货物卖出后，一种货物的利润率是10%，另一种货物的利润率是11%，共获得利润3 150元．设两种货物的进货价分别为x元，y元．根据题意列方程组为____．
(2)某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约了10%，因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各多少万元？(完成下表再解答)
总产值/万元 总支出/万元 差
去年 x y 500
今年 (1＋15%)x (1－10%)y 950
解：根据题意列方程组，得
解这个方程组，得
则(1＋15%)x＝2 300，(1－10%)y＝1 350.
答：今年的总产值为2 300万元，总支出为1 350万元．
高效课堂　教学设计
1．会正确地运用表格分析与“增收节支”类似问题的数量关系，并会列二元一次方程组解决这类问题．
2．根据具体问题的数量关系形成方程模型，培养学生的数学应用能力．
▲重点
用列表法分析题目中的各个量之间的数量关系．
▲难点
借助列表法分析问题中隐藏的数量关系．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
【问题情境】在现实生活中，我们常常会听到这样一个词语，增收节支．当我们遇到实际问题的时候，该如何解决呢？
例如：某工厂去年的利润(总收入－总支出)为200万元．今年总收入比去年增加了20%, 总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元．去年的总收入、总支出各是多少万元？
如果设去年的总收入为x万元，总支出为y万元．
为了帮助同学们理清各个数量之间的关系，你能否采用表格的形式，用x，y的代数式来表示题目中的各个量呢？
◆活动2　实践探究　交流新知
问题1：找出问题中的等量关系
问题2：学生填表：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有：
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年 (1＋20%)x (1－10%)y 780
　　问题3：正确书写解题过程
解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则今年的总收入为(1＋20%)x万元，今年的总支出为(1－10%)y万元．
根据题意，得
解得
答：去年的总收入为2 000万元，总支出为1 800万元．
【归纳】对于比较复杂的数量关系，可以借助表格来表示．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P117例题
【方法指导】教师引导学生寻找等量关系，教学生画表格分析数量关系．
解：设每餐需甲原料x g、乙原料y g，则有
甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品
其中所含蛋白质 0.5x 0.7y 35
其中所含铁质 x 0.4y 40
　　根据上表，可以列出方程组____，解得____．所以每餐需甲原料__28__g__、乙原料__30__g__．
【例2】我区某学校原计划向内蒙古察右旗地区的学生捐赠3 500册图书，实际共捐赠了4 125册，其中初中学生捐赠了原计划的120%，高中学生捐赠了原计划的115%，初中学生和高中学生各比原计划多捐赠图书多少册？
【方法指导】可设原计划初中学生捐x册，高中学生捐y册，再列表分析等量关系进行求解．
解：设原计划初中学生捐x册，高中学生捐y册，填写下表．
初中学生捐的数量 高中学生捐的数量 合计
计划 x y 3 500
实际 120%x 115%y 4 125
根据上表列方程组，得解得
初中学生比原计划多捐的册数是2 000×(120%－1)＝400(册)，
高中学生比原计划多捐的册数是1 500×(115%－1)＝225(册)，
答：初中学生和高中学生各比原计划多捐赠图书400册和225册．
◆活动4　随堂练习
1．某市现有人口45万，计划一年后城镇人口增加0.7%，农村人口增加1.2%，这样，全市人口将增加1%，求这个市现在的城镇人口与农村人口．设现在城镇人口有x万，农村人口有y万，则下列方程组中正确的是(B)
A．
B．
C．
D．
2．将浓度为30%的酒精与浓度为60%的酒精混合，制成了浓度为50%的酒精30 kg.设浓度为30%的酒精需要x kg，浓度为60%的酒精需要y kg，则列出的方程组为____．
3．今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求该市今年外来和外出旅游的人数．
解：设去年外来旅游的人数为x万人，外出旅游的人数为y万人．
根据题意，得解得
所以(1＋30%)x＝(1＋30%)×100＝130，(1＋20%)y＝(1＋20%)×80＝96.
答：该市今年外来和外出旅游的人数分别是130万人和96万人．
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课学习了用什么方法分析问题？关键是明确各数量之间的关系．
教学说明：由具体实例的分析、思考到合作学习模式．
作业：课本P118随堂练习T1、T2，P119习题5.5中的T2、T4.
本节课着力于介绍分析问题的一种比较有效的方法——图表分析法．
列表分析有助于学生明确各数量间的关系，将较复杂的数量关系转化得更加清晰、简洁，帮助学生理清题中的未知量、已知量以及等量关系，条理清楚，很容易根据相等关系列方程，较易突破难点．

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