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6　二元一次方程与一次函数
●置疑导入　x＋y＝3是什么？
任意一个二元一次方程都可以转化成y＝kx＋b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数．
【教学与建议】教学：通过设置问题情景，让学生感受二元一次方程x＋y＝3和一次函数y＝－x＋3可以相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系．建议：先让学生进行讨论：为什么会出现争议？再提问学生口答原因．
●归纳导入　二元一次方程x＋y＝3中，
问题1：用含x的式子表示y，则y＝__－x＋3__．
问题2：由此可以判断y是x的一次函数吗？
问题3：二元一次方程2x－y＝1可转化成__y＝2x－1__，2x－y＝2可以转化成__y＝2x－2__．
问题4：所有二元一次方程都可以转化为一次函数的形式吗？
【归纳】任何一个二元一次方程都可以转化为__一次函数__的形式．
【教学与建议】教学：通过设置问题情景，初步直观地感受到二元一次方程与一次函数之间的关系，理解两者是可以互相转化的．建议：展示课件，学生口答4个问题．找二元一次方程的例子，接着转化成一次函数形式．
命题角度1　二元一次方程与一次函数的关系
一次函数的表达式都可以化成一个二元一次方程，反过来，任何一个二元一次方程都可以化成一次函数的形式．
【例1】(1)下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是(C)
(2)已知关于x的方程mx＋n＝0的解是x＝－2，则直线y＝mx＋n与x轴的交点坐标为__(－2，0)__．
命题角度2　二元一次方程组与一次函数的关系
从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，就是求相应的二元一次方程组的解；反过来，求二元一次方程组的解就是求相应的两个一次函数图象交点的坐标．
【例2】(1)如图，过点Q(0，3.5)的一次函数与正比例函数y＝2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是(D)
A.3x－2y＋3.5＝0
B．3x－2y－3.5＝0
C．3x－2y＋7＝0
D．3x＋2y－7＝0
(2)已知直线l1：y＝－3x＋b与直线l2：y＝－kx＋3在同一坐标系中交于点(1，－2)，那么方程组的解是____．
命题角度3　用图象法解二元一次方程组
用图象法解二元一次方程组：(1)先将二元一次方程组中的两个方程化成一次函数的形式；(2)在同一直角坐标系中作出两个一次函数的图象；(3)找出两个图象的交点坐标；(4)写出方程组的解．
【例3】(1)已知一次函数y＝－x＋4与y＝x＋2的图象如图所示，则方程组的解为(B)
A. B．
C． D．
(2)用图象法解方程组
解：由x＋2y＝4，可得y＝－x＋2，
由x－y＝1，可得y＝x－1.
在同一直角坐标系内作出一次函数y＝－x＋2的图象l1和y＝x－1的图象l2，如图所示．
通过观察可得l1和l2的交点为(2，1)，
所以方程组的解为
命题角度4　二元一次方程组解的情况与函数图象的位置关系
判断两个一次函数图象的位置关系时，只需要判断两个一次函数表达式所对应方程组的解的情况即可，有唯一解，则两直线相交；无解，则两直线平行；有无数组解，则两直线重合．
【例4】
(1)已知一次函数y1＝2x－m与y2＝2x－n(m≠n)的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解有(A)
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
(2)已知方程组的解为则一次函数y＝ax＋2与y＝kx＋10的图象位置关系是(A)
A．相交 B．平行 C．重合 D．无法确定
高效课堂　教学设计
1．使学生初步理解二元一次方程与一次函数的对应关系．
2．能根据一次函数的图象求二元一次方程组．
▲重点
掌握二元一次方程(组)和一次函数的关系．
▲难点
理解数形结合和数学转化的思想．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
我们已经学会了求一个二元一次方程组的解的方法，比如可以用代入法，也可以用加减法．我们如何用函数的观点来看待方程组的解呢？这是本节课我们即将学习的内容．(教材P123上面部分)
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】二元一次方程与一次函数的关系
(1)方程x＋y＝5的解有多少个？写出其中的几个．
(2)在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y＝5－x的图象上吗？
(3)在一次函数y＝5－x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x＋y＝5吗？
(4)以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同吗？
(5)方程x＋y＝5与函数y＝5－x有何关系？
【归纳】二元一次方程和一次函数图象的关系：
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条__直线__．
【探究2】二元一次方程组的解与对应的两个一次函数图象之间的关系
二元一次方程2x－y＝1与前面研究的x＋y＝5结合起来看：
问题1：两方程的公共解是什么？如何得到其公共解呢？
问题2：两方程对应的一次函数y＝－x＋5与y＝2x－1的图象有何位置关系？为什么？
问题3：已画出了一次函数y＝－x＋5的图象，请在同一直角坐标系内画出一次函数y＝2x－1的图象，并验证上一问题结论的正误．
问题4：观察并总结方程组的解与对应的两个一次函数图象的交点坐标有何关系．
问题5：对于方程组目前你都有哪些方法求其解？
【归纳】每个二元一次方程组都对应__两个__一次函数，于是也对应__两条__直线．一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组，相当于确定相应两条直线的__交点坐标__．
想一想：在同一直角坐标系内，一次函数y＝x＋1和y＝x－2的图象有怎样的位置关系？方程组的解的情况如何？你发现了什么？
【归纳】方程组的解的个数与对应的一次函数图象的交点个数之间的关系：
二元一次方程组无解 对应的两个一次函数图象平行(无交点)；
二元一次方程组有一组解 对应的两个一次函数图象相交(有一个交点)；
二元一次方程组有无数组解 对应的两个一次函数图象重合(有无数个交点)
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】点(2，3)在一次函数y＝2x－1的图象上，则方程y＝2x－1的一组解是____.
【方法指导】一次函数与二元一次方程的关系．
【例2】如图，直线l1：y＝x－1与直线l2：y＝－x＋2在同一直角坐标系中交于点(2，1).
(1)直接写出方程组的解是________；
(2)判断三条直线y＝x－1，y＝－x＋2，y＝x＋是否经过同一个点，请说明理由．
【方法指导】(1)函数图象的交点就是方程组的解；(2)先求两直线交点坐标，再判断该交点坐标是否满足第三条直线即可．
解：(1)
(2)由图象可知方程组的解为
把x＝2，y＝1代入y＝x＋，成立，
∴三条直线y＝x－1，y＝－x＋2，y＝x＋经过同一个点(2，1).
◆活动4　随堂练习
1．二元一次方程3x＋y＝6有__无数__个解，以它的解为坐标的点都在函数__y＝6－3x__的图象上．
2．方程组的解为____，所以一次函数y＝－－x和y＝－－x的图象的交点坐标为__(－2，0)__．
3．若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋b－1上，则常数b＝__2__．
4．若直线y＝ax＋7经过一次函数y＝4－3x和y＝2x－1的图象的交点，求a的值．
解：联立解得
把x＝1，y＝1代入y＝ax＋7，得1＝a＋7，解得a＝－6.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课要掌握几个知识点？
教学说明：思考、操作、引出方程(组)与函数之间的关系．
作业：课本P124随堂练习T1、T2，习题5.7中的T1、T2、T3.
本节课在学生已有了解方程(组)的基本能力和一次函数及其图象的基本知识的基础上，通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法，进一步揭示了二元一次方程和一次函数之间的对应关系，从而引出了二元一次方程组的图象解法，以及应用代数方法解决有关图象问题，培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．

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