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4　数据的离散程度
第1课时　极差与方差
●情景导入　两台机床都生产直径为(20±0.2)mm的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽取10个进行测量，结果如下：
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.0 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
　　你认为两台机床哪台加工零件的精度更稳定？
为了判断两台机床加工零件的精度的稳定情况，我们先用上节课学习的特征量来判断中位数都是20.00 mm，平均数还是20.0 mm.
如何反映这两组数据的区别呢？这是今天我们将要学习的内容．
【教学与建议】教学：通过生活中的一个实例提出问题，结果却发现零件精度的平均数、中位数、众数都一样，从而引发进一步学习新知识的欲望．建议：学生积极进行计算，得到平均数、中位数、众数，发现都是20.0 mm，极差与方差可解决此类问题．
●情景导入　
如图反映了甲、乙两个选手的射击成绩．显然，甲的成绩整体水平比乙的好．那么，甲、乙两人的射击成绩如何比较呢？除了平均水平外，是否还有其他统计量反映数据的信息呢？交流讨论下列问题：
(1)估计甲、乙两位选手射击成绩的平均数；
(2)具体算一算甲、乙两位选手射击成绩的平均数，并在图中画出纵坐标等于平均成绩的直线；
(3)甲、乙的平均成绩差不多，但稳定性差别挺大的．你认为哪个选手的成绩更稳定？你是怎么看出来的？
(4)一般地，你认为如何刻画一组数据的稳定性？
【教学与建议】教学：激发学生在操作过程中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证．建议：在学生操作时，要引导学生进行思考、分析．
命题角度1　方差的意义
方差可以刻画出一组数据离散程度的大小．
【例1】为迎接中考体育测试，小明和小勋分别统计了自己最近10次跳远的成绩，下列统计中能用来比较两人成绩稳定程度的是(D)
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
命题角度2　利用极差的概念求值
求极差的方法是求出所给数据中的最大值和最小值的差．
【例2】(1)有下列数据：75，80，80，80，85，这组数据的众数和极差分别是(A)
A．80，10 B．80，5 C．80，85 D．85，10
(2)数据3，4，2，3的极差是__2__．
命题角度3　利用极差求数据中的未知量
求极差的方法是用这组数据的最大值减去最小值，当题目中所给的数据包含字母时，字母可能是这组数据的最大值，也可能是这组数据的最小值，因此要注意分两种情况讨论．
【例3】若一组数据－1，0，2，4，x的极差为8，则x的值是(D)
A．－4 B．8 C．7 D．7或－4
命题角度4　利用方差的计算公式求方差
在计算方差时要先求出这组数据的平均数，再根据方差公式s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，代数计算即可．
【例4】(1)一组数据2，x，1，3，5，4，若这组数据的中位数是3，则这组数据的方差是____；
(2)一组数据3，5，a，4，3的平均数是4，这组数据的方差是__0.8__．
高效课堂　教学设计
1．了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差和方差．
2．能借助计算器求出方差、标准差．
▲重点
理解方差和标准差的概念．
▲难点
应用方差和标准差分析数据，并作出决策．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
我们知道接受检阅的仪仗队必须精挑细选，整齐划一，特别注重队员的身高，下面有两支仪仗队，准备抽取其中一支参与检阅．已知这两支仪仗队队员的身高(单位：cm)如下：
甲队 178 177 179 178 178 177 178 178 178 179
乙队 178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
　　你认为哪支仪仗队队员的身高更为整齐？你是怎么判断的？用以前学习的中位数或平均数能判断出来吗？这节课我们来学习其他知识来反映数据的区别．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】极差(多媒体出示P149图6－5)
阅读课本P149内容，回答问题．
(1)你能从图中估计出甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量吗？
解：甲厂鸡腿的平均质量为75，乙厂鸡腿的平均质量为75.
(2)从甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量分别是多少？在上图中画出纵坐标等于平均质量的直线．
解：甲厂鸡腿的平均质量为(72＋73×3＋74×4＋75×4＋76×4＋77×3＋78)÷20＝75(g).
乙厂鸡腿的平均质量为(71×2＋72×2＋73×3＋74＋75×4＋76×2＋77×2＋78×2＋79＋80)÷20＝75(g).
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是__78__ g，最小值是__72__ g，它们相差__6__g；乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是__80__g，最小值是__71__g，它们相差__9__g.
(4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应买__甲__厂的鸡腿，理由是__甲厂的质量相对集中__．
【归纳】实际生活中，除了关心数据的“集中趋势”外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于“集中趋势”的偏离情况．极差就是刻画数据离散程度的一个统计量．极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
【探究2】用方差刻画数据离散程度(多媒体出示教材P150图6－6)
阅读课本P150内容，回答问题．
(1)丙厂这20只鸡腿的平均数是__75.1__g__，极差是__7__g__．
(2)甲厂这20只鸡腿质量与平均数的差距(单位：g)依次是__0，1，1，1，2，1，0，2，2，1，1，0，0，1，2，1，2，3，2，3__．
丙厂这20只鸡腿质量与平均数的差距(单位：g)依次是__0.1，1.1，2.1，2.9，3.1，0.9，1.1，0.9，1.1，0.1，1.1，3.1，2.1，3.1，2.9，0.9，1.9，1.9，1.9，3.9__．
(3)__甲厂__的鸡腿质量更符合要求，从统计图可以看出来，也可以用上面的差距看出来．这个离散程度用方差或标准差刻画更准确．
【归纳】方差或标准差可以刻画数据离散程度．方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，即s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2].
其中，x是x1，x2，…，xn的平均数，s2是方差．而标准差就是方差的算术平方根．
一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P150例题
【方法指导】先用计算器计算出平均质量，再计算方差．
解：甲厂平均质量是x甲＝＝75(g).
甲厂20只鸡腿质量的方差是：s＝
＝2.5.
【例2】教材P150做一做
【方法指导】根据方差公式先求方差，方差小数据稳定．
解：(1)s＝＝4.39；
(2)s◆活动4　随堂练习
1．在方差计算公式s2＝[(x1－20)2＋(x2－20)2＋…＋(x10－20)2]中，数字10和20分别表示(C)
A．数据的个数和方差 B．平均数和数据的个数
C．数据的个数和平均数 D．数据的方差和平均数
2．数据－2，－1，0，1，2的方差是__2__，标准差是____．
3．五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a＝__3__，这五个数的方差是__5.6__．
4．为从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加市锦标赛，特统计了他们最近10次射击训练的成绩，其中，他们射击的平均成绩都为8.9环，方差分别是s＝0.8，s＝1.3.从稳定性的角度来看，__甲__(选填“甲”或“乙”)的成绩更稳定.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的收获是什么？什么是极差、方差、标准差？
教学说明：极差、方差和标准差可以刻画数据的离散程度，根据它们的大小应用于实际问题．
作业：课本P151习题6.5中的T1、T3、T4.
方差与标准差都是用来衡量一个样本波动大小的统计量，对一组数据的变化情况起着至关重要的作用．因此，在教学中，对于如何引入这两个基本概念可采用灵活多变的方法，切忌将这些概念与公式直接教给学生．要让学生在体会仅有平均水平还难以准确地刻画一组数据时，使学生的现有知识与现实矛盾产生碰撞而产生一种急于解决问题的心情，从而探索出这两个概念，使学生在解决实际问题的过程中认识到“波动状况”的意义和影响，形成一定的统计意识和解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值．

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