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7　用二元一次方程组确定一次函数表达式
●置疑导入　
第四章我们学习了一次函数表达式的简单求法，首先我们看下面这个问题．
如图，直线l是一次函数y＝kx＋b的图象．
(1)b＝__2__，k＝__－__；
(2)当x＝9时，y＝__－4__；
(3)当y＝9时，x＝__－__．
问题1：一般怎样设一次函数的表达式？
问题2：确定一次函数的表达式关键是确定哪个参数的值？
问题3：确定一次函数的表达式需要几个点的坐标？
问题4：确定一次函数的表达式需要几个步骤？
问题5：当一次函数的图象与y轴相交时，交点的纵坐标与一次函数的表达式中b的取值有关吗？
【教学与建议】教学：置疑一次函数相关知识，使学生回顾以前所学，为新课学习奠定基础．建议：通过合作交流，自主完成上面的问题．
●复习导入　问题1：二元一次方程组与一次函数有何联系？
问题2：二元一次方程组有哪些解法？
问题3：前面，我们会利用一次函数关系式求二元一次方程组的解，能否用二元一次方程组来确定一次函数表达式呢？
【教学与建议】教学：体会函数和方程之间的联系，为后面利用二元一次方程组确定一次函数的表达式埋下伏笔．建议：教师要注意学生语言表达是否准确．
命题角度1　求一次函数表达式
这类题常常在题干中告知两种情况或两个条件下的数量关系，设一次函数表达式y＝kx＋b，列出方程组，求出k，b的值．
【例1】(1)一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为(2，0)，(0，－1)，则(A)
A．k＝，b＝－1 B．k＝2，b＝2
C．k＝1，b＝1 D．k＝2，b＝－1
(2)把直线y＝－2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点(m，n)，且2m＋n＝6，则直线AB表达式为__y＝－2x＋6__．
命题角度2　由表格求一次函数表达式
由表格求一次函数表达式的方法：首先根据表格确定出两组对应的值，再把这两组值分别代入y＝kx＋b中，列方程组求解．
【例2】(1)已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于(C)
x －1 0 1
y 1 m －5
　　A．－1 B．0 C．－2 D．
(2)已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．
水银柱的长度x(cm) 4.2 … 8.2 9.8
体温计的读数y(℃) 35.0 … 40.0 42.0
　　①求y关于x的函数表达式(不需要写出函数的自变量的取值范围)；
②用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2 cm，求此时体温计的读数．
解：①设y＝kx＋b，将(4.2，35)与(8.2，40)代入，得解得k＝1.25，b＝29.75.∴y＝1.25x＋29.75；
②令x＝6.2，则y＝1.25×6.2＋29.75＝37.5.
∴此时体温计的读数为37.5 ℃.
命题角度3　由图象求一次函数表达式
根据图象求一次函数表达式的方法：首先根据图象确定出两点的坐标，再把两点的坐标分别代入y＝kx＋b中，列方程组求解．
【例3】(1)弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数，图象如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是(B)
A．9 cm B．10 cm
C．10.5 cm D．11 cm
(2)“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170 km的某地．下面是他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间x(h)之间的函数图象．
①他们出发0.5 h时，离家多少千米？
②求出AB段图象的函数表达式；
③他们出发2 h时，离目的地还有多少千米？
解：①设OA段图象的函数表达式为y＝kx.
∵当x＝1.5时，y＝90，∴1.5k＝90，∴k＝60，∴y＝60x(0≤x≤1.5)，
∴当x＝0.5时，y＝60×0.5＝30，∴出发0.5 h时，他们离家30 km；
②设AB段图象的函数表达式为y＝k′x＋b.
∵A(1.5，90)，B(2.5，170)在AB上，
∴解得
∴AB段图象的函数表达式为y＝80x－30(1.5≤x≤2.5)；
③当x＝2时，y＝80×2－30＝130，∴170－130＝40，
∴他们出发2 h时，离目的地还有40 km.
高效课堂　教学设计
1．使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系．
2．能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．
3．能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．
▲重点
利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．
▲难点
利用二元一次方程组解决一次函数的实际问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
前面我们已经学了利用一次函数的关系式求二元一次方程组的解．相反地，能不能用二元一次方程组来确定一次函数的表达式呢？这是这节课我们将要学习的内容．
◆活动2　实践探究　交流新知
(多媒体展示教材P126)
【探究】利用二元一次方程组确定一次函数表达式
小组讨论，交流展示
方法一：距离s是骑车时间t的一次函数，交点的横坐标就是相遇时间，可以画函数图象．
方法二：s是t的一次函数，将s和t的值代入确定函数表达式，再解二元一次方程组．
方法三：行程问题中，利用“相遇时间＝路程÷速度和”这个公式解决．
解：方法一：因为他们各自到A地的距离s(km)都是骑车时间t(h)的一次函数，所以可以分别画出这两个一次函数的图象，交点的__横__坐标就是两人将相遇的时间，即经过__3__h两人将相遇．
方法二：对于甲，s与t是正比例关系，设s＝k1t，当t＝2时，s＝30，代入表达式可得k1＝__15__，所以s与t之间的表达式为__s＝15t__．
对于乙，s与t是一次函数关系，设s＝k2t＋b，当t＝0时，s＝100；当t＝1时，s＝80.将它们分别代入s＝k2t＋b中，求出k2＝__－20__，b＝__100__，所以s与t之间的表达式为__s＝－20t＋100__．
联立这两个表达式，得二元一次方程组____，解得t＝____.
【思考】方法一和方法二求出的结果相同吗？哪种方法求出的结果准确？
答：不相同，第二种方法求出的结果准确．
方法三：1 h后乙距离A地80 km，则乙行驶了__20__km，即乙的速度为__20__km/h；2 h后甲距离A地30 km，则甲的速度是__15__km/h，由相遇时间＝路程÷速度和，可得相遇时间t＝____．
【归纳】先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做__待定系数法__．
一次函数表达式的确定：
(1)方法：__待定系数__法；
(2)一般步骤：
①设，设出一次函数表达式的一般形式__y＝kx＋b__；
②列，将已知点的__坐标__代入函数表达式，得到方程(组)；
③解，解方程(组)，求出待定系数；
④写出一次函数表达式．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P127例题
【方法指导】用待定系数法确定一次函数表达式，关键是根据条件建立二元一次方程组的模型，得到关于k，b的二元一次方程组，求得k，b.
解：(1)设y＝kx＋b，根据题意，得②－①，得30k＝5，k＝.将k＝代入①，得b＝－5，所以y＝x－5.
(2)令y＝0，即x－5＝0，解得x＝30；当x>30时，y>0.所以旅客最多可免费携带30 kg的行李．
【例2】我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶，如图所示，l1，l2分别表示两船相对于两岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间的关系．当时间t等于多少分钟时，我边防快艇B能够追赶上A
【方法指导】先设函数表达式，再列方程组．
解：设l1，l2的表达式分别为s1＝k1t，s2＝k2t＋b.
由题意，得解得k1＝，k2＝，b＝5.
所以s1＝t，s2＝t＋5，当B追上A，即t＝t＋5.解得t＝.
即当时间t等于 min时，B追上A.
◆活动4　随堂练习
1．已知直线m与一次函数y＝－2x＋3的图象平行，并且直线m经过点(2，1)，则直线m的表达式是__y＝－2x＋5__．
2．甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y(km)与x(h)之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
(1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
(2)求线段CD对应的函数表达式；
(3)轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求货车从甲地出发多长时间后再与轿车相遇(结果精确到0.01 h)．
解：(1)根据图象得货车的速度v货＝＝60(km/h).
∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5 h，
∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为4.5×60＝270(km)，此时，货车距乙地的路程为300－270＝30(km).
答：轿车到达乙地后，货车距乙地30 km.
(2)设线段CD对应的函数表达式为y＝kx＋b(2.5≤x≤4.5).
∵点C(2.5，80)，D(4.5，300)在其图象上，
∴解得
∴CD段对应的函数表达式为y＝110x－195(2.5≤x≤4.5).
(3)设货车从甲地出发x h后再与轿车相遇．
∵v货＝60 km/h，v轿＝ (300－80)÷(4.5－2.5)＝110(km/h)，
∴110(x－4.5)＋60x＝300，解得x≈4.68.
答：货车从甲地出发约4.68 h后再与轿车相遇．
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：什么是待定系数法？你掌握了利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法吗？
教学说明：体会知识之间的普遍联系和相互转化．
作业：课本P128习题5.8中的T1、T2、T3.
本节课的主要内容是在已经学习了二元一次方程组的解法和一次函数图象的基础上，采用以引导学生自主学习，通过活动进行分组合作探究学习的形式进行教学，在教学中放手让学生在探究活动中去经历、体验、观察、类比、讨论、合作、归纳．通过充分的过程探究，最后总结归纳出：一次函数与二元一次方程组之间的联系．这就要求我们：在新课程标准的指导下，认真研究教材，体会教材的编写意图．在此基础上，设计出既体现课程精神，又适合本班学生实际的教学案例．

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