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第2课时　定理与证明
●归纳导入　师：前面我们认识了定义和命题的含义，那么什么是命题？你能举例说明吗？
生1：判断一件事情的句子，叫做命题．如“我是八年级六班的学生”，“我十五岁”．
师：那么他举的是命题吗？
生齐答：是．
师：谁还能再举一个？
生2：他不是十五岁．
师：他说的是命题吗？…“如果这个周日不下雨，那么周日一定会很热．”这是命题吗？分析这句话，这个周日一定会很热吗？为什么？
生2：是命题．周日不一定很热，因为天气只是影响气温的一部分原因．
师：很好，同学们已经准确地掌握了命题的含义，那么这节课让我们继续来研究与命题相关的知识吧！
【教学与建议】教学：通过学生举例明确命题的含义，初步感受命题的结构，从而为导入新课．建议：强调在理解命题的时候要抓住两个关键点：一是命题的条件，二是命题的结论．
●复习导入　回答下列问题：
①你的作业完成了吗？②同位角相等；③同角的余角相等；
④作∠AOB的平分线；⑤如果a2>b2，那么a>b；⑥对顶角相等．
(1)在上面的句子中，属于命题的是__②③⑤⑥__；
(2)在上面的句子中，把是命题的改写成“如果……那么……”的形式，并说出它们的条件和结论；
(3)在上面的命题中，是假命题的是__②⑤__，是真命题的是__③⑥__．
【教学与建议】教学：回顾上节课的内容导入课题．建议：先让学生独立做练习题，然后互相交流解题方法．
命题角度1　辨别公理与定理
公理是公认的真命题，公理是不需要证明的真命题，通常作为推理论证定理或其他命题真假的依据．定理是需要经过证明的真命题．
【例1】(1)命题“对顶角相等”是(D)
A．角的定义 B．假命题 C．公理 D．定理
(2)下列命题不是公理(基本事实)的是(C)
A．两点确定一条直线
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．三边分别相等的两个三角形全等
命题角度2　利用公理、定理证明
对于由一组图形组成的题目，一定要结合所有的图形分析已知条件，进行严格的推理证明．
【例2】(1)如图，AC⊥BC于点C，F是AC上一点，E是BC上另一点，并且∠CFE＝∠DEF，试问：DE与BC有何位置关系？并说明理由．
解：DE⊥BC.理由如下：
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
∴∠CFE＋∠FEC＝90°.
又∵∠CFE＝∠DEF，
∴∠DEF＋∠FEC＝90°，
即∠DEC＝90°，∴DE⊥BC.
(2)如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE.
①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.用以上三个等式中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①② ③；①③ ②；②③ ①.
①以上三个命题是真命题的为______(直接作答)；
②请选择一个真命题进行证明．(先写出所选命题，然后证明)
解：①①② ③，①③ ②，②③ ①　
②答案不唯一，如选择①③ ②.
证明如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD＝AE.
高效课堂　教学设计
1．了解命题中真命题、假命题的含义以及命题的构成，领会和理解公理、证明和定理的含义．
2．体验、理解证明的重要性．
3．理解证明命题的思路、书写的格式，能对推理证明有初步认识．
▲重点
公理化思想，定理的证明过程．
▲难点
按规定格式表达证明的过程．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】请看下面几位同学之间的讨论：(多媒体出示课件)
【探究2】自主学习教材P168～P169有关内容，结合手中的导学案完成(1)～(4)题．
(多媒体展示)公理、证明、定理的有关概念：
(1)__公认的真命题__称为公理．除了公理外，其他命题的真假都需要通过__演绎推理__的方法进行判断．
(2)__演绎推理__的过程称为证明，经过证明的__真命题__称为定理．每个定理都只能用__公理__、__定义__和已经证明为__真__的命题来证明．
(3)本套教科书选用九条基本事实(本教材的公理)作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是：
①__两点确定一条直线__；
②__两点之间线段最短__；
③__同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直__；
④__两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行)__；
⑤__过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行__；
⑥__两边及其夹角分别相等的两个三角形全等__；
⑦__两角及其夹边分别相等的两个三角形全等__；
⑧__三边分别相等的两个三角形全等__．
另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它．
(4)数与式的运算律和运算__法则__、等式的有关__性质__，以及反映大小关系的有关性质都可以作为__证明__的依据．例如，如果a＝b，b＝c，那么__a＝c__，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”．又如，如果a>b，b>c，那么a>c，这一性质同样可以作为证明的依据．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P169例题
【方法指导】从条件出发，用“因为……，所以……”形式．
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是__平角__(__平角的定义__).
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的__补角__(__补角的定义__).
∴∠AOC＝∠BOD(__同角的补角相等__).
【例2】已知：如图，∠AOB＝∠COD.
求证：∠1＝∠2.
【方法指导】因为∠AOB和∠COD都含有∠BOC，同时减去∠BOC就可以得到∠1＝∠2.
证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB，即∠1＝∠2.
【例3】命题“无论a取任何实数，式子a2－4a＋7的值都是正数”是真命题还是假命题？请说明理由．
【方法指导】先分析，然后通过推理证明．
解：是真命题．理由如下：∵a2－4a＋7＝a2－4a＋4＋3＝(a－2)2＋3，无论a为任何实数，都有(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋3>0，即式子a2－4a＋7的值都是正数．
◆活动4　随堂练习
1．下列说法正确的是(B)
A．真命题都可以作为定理
B．公理不需要证明
C．定理必须证明
D．证明只能根据定义、公理进行
2．已知∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角，
∴∠3＋∠1＝180°，∠4＋∠2＝180°(补角的定义).
∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4(等量代换).
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课你的收获是什么？
教学说明：经过确认可以通过逻辑推理证明的真命题有可能作为定理，是我们以后学习证明的依据，注意语言要科学严谨．
作业：课本P170随堂练习，P171习题7.3中的T1、T2.
本节课通过师生之间的对话调动了学生学习的积极性和求知欲，并鼓励学生多说多想，通过学生的小组合作使得比较枯燥的概念教学变得活泼有趣．

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