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5　三角形内角和定理
第1课时　三角形内角和定理的证明
●情景导入　如图，大三角形和小三角形见面了，大三角形炫耀说：“我的面积比你大，所以我的内角和也比你大！”
小三角形不服气地说：“那可不好说噢，你自己量量看！”
大三角形用量角器量了量自己的内角和，就不再说话了．你知道为什么吗？
【教学与建议】教学：用大小不相同的两个三角形的谈话，激发学生的好奇心，感知三角形内角和．建议：可以让学生寻找身边的三角图形，以便理解三角形内角和的特征．
●悬念激趣　如图，按规定，一块模板中AB，CD的延长线应相交成85°角．现有一块模板，因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，此时AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么呢？
【教学与建议】教学：通过设置问题情景，让学生对三角形内角和的知识加以回忆，激发学生探究三角形内角和的兴趣．建议：让学生充分发表自己的见解.
命题角度1　利用三角形内角和定理求角的度数
三角形的内角和是180°，结合角平分线、平行线的性质和判定等知识解决问题．
【例1】(1)如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片一角折叠(折痕为DE)，使点C落在△ABC内的点C′处，若∠AEC′＝20°，则∠BDC′的度数是(D)
A．30° B．40° C．50° D．60°
　　　
(2)如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE于点E，若∠A＝42°，则∠D＝__48°__．
命题角度2　利用三角形内角和定理判断三角形的形状
由三个角的大小之比可求出三个角的大小，从而可以判断三角形的形状．
【例2】(1)一个三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶5，则这个三角形一定是(B)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
(2)一个三角形的三个内角度数之比是1∶1∶3，这个三角形一定是__等腰__三角形，还是__钝角__三角形．
瘙嚔命题角度3　三角形内角和定理的应用
根据三角形内角和定理和平行线的性质解决方位角问题．
【例3】如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？
解：∠ACB＝90°.
高效课堂　教学设计
1．掌握三角形内角和定理的证明及简单的应用．
2．灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．
3．初步学会利用辅助线解题．
▲重点
三角形内角和定理及其证明．
▲难点
用不同的方法证明三角形内角和定理．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
如图，大三角形和小三角形见面了，大三角形炫耀说：“我的面积比你大，所以我的内角和也比你大！”
小三角形不服气地说：“那可不好说噢，你自己量量看！”
大三角形用量角器量了量自己的内角和，就不再说话了．你知道为什么吗？这节课我们将学习三角形内角和定理的证明．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】用折纸的方法验证三角形内角和定理
实验1：先将三角形纸片一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(如图①)，然后把另外两角分别对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合(如图②③)，最后得图④所示的结果．
　　
试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，还有其他折法吗？
实验2：将三角形纸片的三个顶角剪下，将它们拼凑在一起. (如图)试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，如果只剪下一个角呢？
【探究2】
已知：如图，已知△ABC.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：延长BC到D，过点C作直线CE∥AB，
则∠1＝__∠A__(两直线平行，内错角相等)，
∠2＝__∠B__(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角的定义)，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换)．
【探究3】
想一想：你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC(如图)，他的想法可行吗？如果可行，请你写出证明过程．与同伴进行交流．
处理方式：学生独立完成，一位学生黑板板演，教师巡视指导，对学生出现的问题及时纠正．
证明：过点A作PQ∥BC，
∴∠PAB＝__∠B__(两直线平行，内错角相等)，
∠QAC＝__∠C__(两直线平行，内错角相等)．
∵∠BAC＋∠PAB＋∠QAC＝180°(平角的定义)，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°(等量代换)．
【归纳】三角形的内角和等于180°.
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P179例1
【方法指导】三角形内角和定理的应用．
解：在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°(三角形内角和定理).
∵∠B＝38°，∠C＝62°(已知)，
∴∠BAC＝180°－38°－62°＝80°(等式的性质).
∵AD平分∠BAC(已知)，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×80°＝40°(角平分线的定义).
在△ADB中，∠B＋∠BAD＋∠ADB＝180°(等式的性质)，
∵∠B＝38°(已知)，∠BAD＝40°(已证)，
∴∠ADB＝180°－38°－40°＝102°(等式的性质).
【例2】如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，且∠B＝35°，∠C＝45°，求∠DAE的度数．
【方法指导】先根据三角形内角和求出∠BAC，再根据角平分线和高线求出∠DAE.
解：在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°－(35°＋45°)＝100°.
又∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×100°＝50°.
在△ACD中，∠ADC＝90°，∠C＝45°，
∴∠CAD＝180°－90°－45°＝45°.
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝50°－45°＝5°.
◆活动4　随堂练习
课本P179随堂练习T1、T2、T3.
解：1.90°.
2．60°.
3．证明：∵在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，
∴∠B＝180°－60°－70°＝50°.
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°.
4．△ABC的三个内角大小分别是x，x，3x，则x的值是多少？
解：36°.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的收获是什么？
教学说明：鼓励学生自己主动去猜想、推理、探究学习．
作业：课本P180习题7.6中的T1、T2、T3.
本节课通过折纸操作，观察、猜想、探索出三角形内角和定理，让学生切身感受到自己是学习的主人，为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础．培养学生的一题多思、一题多解的创新精神．

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