资源简介

4　平行线的性质
●复习导入　问题：上节课我们通过推理证得了平行线的判定定理，要证明两条直线平行，有哪些方法？
一个基本事实是__同位角相等__，两直线平行；两个定理分别是__内错角相等__，两直线平行；__同旁内角互补__，两直线平行．
通过平行线判定的基本事实和判定定理，我们知道它们的条件是角的大小关系，结论是两直线平行．如果我们把它们的条件和结论互换，那么得到的命题是真命题吗？这节课我们就来研究“平行线的性质”．
【教学与建议】教学：教师提出问题，复习回顾上节课的重点内容，迅速将学生的注意力集中于课堂．建议：让学生回顾知识，为本节课的学习做好铺垫．
●悬念激趣　在数学课上，好玩的张明同学不小心把一把长方形直尺折断了，善于思考的同桌想考考张明就拼成如图所示的图形．点E，D，B，F在同一条直线上，若∠ADF＝55°，则∠DBC的度数为多少？∠F呢？你能帮张明同学解决这些问题吗？这些问题与我们将要学习的知识有关，这节课我们就来研究“如果两条直线平行，那么角之间会有什么关系”这一问题．
【教学与建议】教学：通过趣题导入，引出“两条直线平行，内错角、同旁内角分别有怎样的大小关系”，激发学生探究知识的欲望．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析．
命题角度1　利用平行线的性质解决与三角尺、直尺有关的问题
解决此类问题的关键是从图形中找准“三线八角”中对应的同位角、内错角和同旁内角．
【例1】(1)如图，把一块含有45°角的直角三角尺两个顶点放在直尺的对边上，若∠1＝20°，则∠2的度数是(C)
A．15° B．20° C．25° D．30°
　　　
(2)将一把直尺和一块含30°和60°角的三角尺ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为__10°__．
命题角度2　利用平行线的性质解决折叠问题
解决折叠问题的关键是找折叠前后的对应元素，然后利用对应元素的相等关系解决问题．
【例2】将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是(D)
A．45° B．55°
C．65° D．75°
命题角度3　平行线性质与判定的综合运用
以平行线为背景的角度等量关系判定，关键是要抓住“三线八角”中角之间的数量关系，进而由角的数量关系判断直线的关系．
【例3】(1)如图，直线a∥b，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3等于(B)
A．100° B．105° C．110° D．115°
　　　
(2)如图，因为DF∥AC(已知)，所以∠D＋__∠CBD__＝180°(　两直线平行，同旁内角互补　).因为∠C＝∠D(已知)，所以∠C＋__∠CBD__＝180°(　等量变换　)，所以DB∥EC(　同旁内角互补，两直线平行　).
高效课堂　教学设计
1．结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论．
2．总结归纳出证明的一般步骤．
▲重点
平行线的性质的探索及应用．
▲难点
运用平行线的性质和判定来解决问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补判定两条直线平行这三种方法．在这一节课里，大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？这是本节课我们将要学习的内容．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】证明：两直线平行，同位角相等．
已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角．
求证：∠1＝∠2.
【思考】若直接用基本事实能否证明出来？
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2，如图所示．
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.
又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线__CD__平行．
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾．
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2.
【探究2】证明：两直线平行，内错角相等．
(1)多媒体展示图形；
(2)如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角．
求证：∠1＝∠2.
证明：∵l1∥l2(已知)，
∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠2＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1＝∠2(等量代换)．
【探究3】证明：两直线平行，同旁内角互补．
(1)多媒体展示图形；
(2)已知：如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角．
求证：∠1＋∠2＝180°.
证明：∵a∥b(已知)，
∴∠3＝∠2(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＋∠3＝180°(平角的定义)，
∴∠1＋∠2＝180°(等量代换)．
【归纳】证明文字叙述类命题的一般步骤：第一步：先根据命题的条件即已知事项画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．
第二步：根据条件、结论、结合图形，写出已知、求证．
第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】(教材P176例题)已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角．
求证：b∥c.
【方法指导】平行线的性质．
证明：∵b∥a(已知)，
∴∠1＝__∠2__(两直线平行，__同位角__相等)．
∵c∥a(已知)，
∴∠3＝__∠1__(两直线平行，__同位角__相等)．
∴∠2＝∠3(等量代换)
∴b∥c(__同位角__相等，两直线__平行__).
【例2】如图，已知∠ABC＋∠C＝180°，BD平分∠ABC.∠CBD与∠D相等吗？请说明理由．
【方法指导】由∠ABC＋∠C＝180°得到AB∥CD，再根据AB∥CD得到∠D＝∠ABD.最后由角平分线得到结果．
解：相等，理由：∵∠ABC＋∠C＝180°，
∴AB∥CD.∴∠D＝∠ABD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD.∴∠CBD＝∠D.
◆活动4　随堂练习
1．如图，已知直线DE经过点A，∠1＝∠B，∠2＝52°，则∠3的度数为(A)
A．52°　　　B．38°　　　C．130°　　　D．80°
　　　　
2．如图，已知直线a⊥c，b⊥c，∠1＝140°，那么∠2的度数是(A)
A．40° B．50° C．60° D．140°
3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝120°，∠DCA＝20°，求∠BCA和∠DAC的度数．
解：∠BCA＝40°，∠DAC＝40°.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课学习了两条直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
教学说明：对这节课所学内容，学以致用．
作业：课本P177习题7.5中的T1、T2、T4.
通过生活中的事例，让学生感受数学来源于生活，通过问题的设置，训练学生语言表达的准确性和简洁性，为学生提供充分参与数学活动和探索的机会，让学生在轻松愉快的学习中掌握证明的步骤和格式．

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