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第二章　实数
1　认识无理数
●复习导入　提问：同学们，我们学过不计其数的数，概括起来我们在小学阶段以及七年级阶段都学过哪些数呢？
在小学我们学过自然数、小数、分数；在七年级我们还学过负数．我们在小学学了非负数，在七年级发现数不够用了，引入了负数，即把数从小学学过的正数、零扩充到了有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题．
【教学与建议】教学：通过设疑让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数也不是分数的数，激发学生的求知欲．建议：学生口答完成，体会和感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．
●置疑导入　(1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？__22＋12＝5(cm2)__．
(2)设该正方形的边长为c，则c应满足什么条件？c是有理数吗？
老师：请大家先回忆一下勾股定理的内容．
学生：在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边长为c，则有a2＋b2＝c2.
老师：在这题中，两条直角边长分别为1和2，斜边长为c.根据勾股定理得c2＝12＋22，即c2＝5，则c是有理数吗？请举手回答．
学生：因为22＝4，32＝9，4<5<9，所以c不可能是整数；没有两个相同的分数相乘得5，故c不可能是分数；因为没有一个整数或分数的平方为5，所以c不是有理数．
经过大家的讨论可知，在等式c2＝5中，c既不是整数，也不是分数，所以c不是有理数，今天我们来探究像这样的无理数．
【教学与建议】教学：利用勾股定理的探究过程发现无理数，一来为之前学生的疑惑进行解释，二来能够进一步激发学生的求知欲和好奇心．建议：在新课引导过程中，老师一定要在每一个设问环节紧紧扣住问题的核心内容，然后汇总出学生们的结论再进行总结．
命题角度1　辨别无理数
无限不循环小数是无理数，理解无理数的概念来辨别无理数．
【例1】(1)下列数中属于无理数的是(B)
A．1 B．π C． D．－1
(2)半径是2的圆的周长的值是一个(D)
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
命题角度2　结合图形判别线段的长度是有理数还是无理数
通过动手拼图、观察、计算、思考、交流，感受线段的长度是有理数还是无理数.
【例2】如图，图中是16个边长为1的小正方形拼成的一个大正方形，则图中四条线段中长度既不是整数也不是分数的线段是__AB，AE__．
命题角度3　用有理数估计无理数
明确无理数的概念，并能正确判断无理数在哪两个有理数之间．
【例3】(1)a，b为连续正整数，且a＜＜b，则a2＋b2的值为__25__．
(2)已知直角三角形两直角边分别是9 cm和5 cm，斜边长是x cm，则x在整数__10__和整数__11__之间．
高效课堂　教学设计
1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．
2．通过计数器探究无理数是无限不循环小数．
3．能判断出不能用有理数表示的数．
▲重点
了解无理数与有理数的区别，并能正确判断．
▲难点
把两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形的动手操作过程．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
老师：同学们，我们学过不计其数的数，概括起来我们在小学阶段以及七年级阶段都学过哪些数呢？
学生：在小学我们学过自然数、小数、分数．
学生：在七年级我们还学过负数．
老师：对，我们在小学学了非负数，在七年级发现数不够用了，引入了负数，即把数从小学学过的正数、零扩充到了有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究】阅读课本P21，已知两个正方形的边长均为1，将这两个正方形进行裁剪，然后重新拼接成一个大正方形，假设新拼接后的大正方形的边长为a，则a是多少？又是怎样一个数？
(1)首先我们知道a是正方形的边长，所以从正负性来讲，a肯定是__正__数．
(2)再来看看拼接后的正方形的面积，因为两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，所以可以计算出新拼接后的大正方形的面积为__2__．
(3)结合12＝1，22＝4，那么由a2＝2我们来猜测一下，a的取值范围应该是__1【归纳】无理数无法用整数或者分数来表示，它是一个无限不循环小数．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】(教材P23例题)下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3．14，－，0.，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)．
【方法指导】无限不循环小数叫做无理数．
解：有理数有：3.14，－，0.；
无理数有：0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)．
【例2】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0．351，－，4.，π，－6.232 333 2…，0.123 456 789 101 112…(由相继的正整数组成)．
【方法指导】任何一个有理数都可以化成分数，无理数不能化成分数．
答案：有理数集合：0.351，－，4.
无理数集合：π，－6.232 333 2…，0.123 456 789 101 112…(由相继的正整数组成)
◆活动4　随堂练习
1．如图，正三角形ABC的边长为2，一边上的高为h，h是整数吗？h是分数吗？
解：易得h2＝22－12＝3，
∴h不是整数和分数．
2．已知直角三角形的两条直角边分别是9 cm和5 cm，斜边长是x cm，斜边x在哪两个整数之间？
解：103．如图，阴影部分是正方形，求出此正方形的面积．此正方形的边长是有理数吗？为什么？
解：正方形的面积为122－72＝95，所以边长是无理数.
4．有下列四个结论：
①任何一个有理数都可以用分数或整数表示；②无理数化为小数形式后一定是无限小数；③无理数与无理数的和是无理数；④有理数与有理数的积是无理数．
其中说法正确的有__①②__(填序号)．
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：1.通过拼图活动，结合实际背景，让学生感受有理数又不够用了.
2．能判断一个数是不是有理数．
教学说明：梳理和判断有理数和无理数．
作业：课本P24随堂练习，P25习题2.2中的T1、T2、T3.
本节课在无理数特征探讨过程中注意概念的引导，问题设问尽量简单，靠近学生所学知识点展开，循序渐进，让学生在老师的指导下得出结论．

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